宇宙際タイヒミュラー理論を用いる ことによってabc予想と呼ばれる 数論の難問が解決することが2012年 に発表 された。 日本の主な全国紙は言うに及ばず、New York Times などでも報道され、非専門家の間にも大きな話題 を提供 している。 宇宙際タイヒミュラー理論は数理解析研究所の望月新一教授(GCOE事業推進者)の独創によるものであるが、 その解説や応用には多くの若手研究者が関与している。 掲載論文等Shinichi Mochizuki, INTER‐UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I
前スレで、環と圏の話がありました 下記ご参考まで 一見の価値あり（＾＾ ”William Lawvere” ”3 Rings of operators (Theories of categories of modules) . . . . 105” 前スレ http://2chb.net/r/math/1588552720/653 http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html Functorial Semantics of Algebraic Theories and Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories F. William Lawvere Originally published as: Ph.D. thesis, Columbia University, 1963 and in Reports of the Midwest Category Seminar II, 1968, 41-61, The authors comments are F. William Lawvere, 2004. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures. For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study. History Starting with William Lawvere's thesis in 1963, techniques from category theory have become important in universal algebra.[9] Footnotes 9 Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)
後ろに、Appendix A〜Cも付けてあって C.4. On the Prime Number Theorem. C.5. On the Residual Finiteness of Free Groups. とか、基本的な知識の補足もある C.6. Some Lists on Inter-universal Teichmuller Theory とかは、IUTの重要な記号の一覧ですかね
P366 A.3. Hodge-Arakelov-theoretic Comparison Theorem.で ”Note that these can be considered as a discrete analogue of the calculation of Gaussian integral is a Gaussian distribution (i.e., j → j^2) in the cartesian coordinate is a calculation in the polar coordinate ・・・” とか、望月先生の講演ネタで使っていた話の解説もあるな
Cor 3.12は P359 ”Corollary 13.13. (Log-volume Estimates for -Pilot Objects, [IUTchIII, Corollary 3.12]) We write -｜ log(θ)｜∈ R ∪{+∞}” あと P360 ”Then we obtain -｜ log(q)｜＜ -｜ log(θ)｜” で、IUT III Cor3.12 になるけどねｗ（＾＾； （Proof.は、その直後から4ページほどある） 山下サーベイ論文は、それなりに面白いわ（＾＾
山下サーベイ、昨夜ざっと流し読みで眺めてみたが １）”The exposition was designed to be as self-contained as possible.”に拘りすぎで、失敗していると思う むしろ、加藤文元本か、星のIUT入門のように「ここの記述はIUT本体論文にゆずる」みたくしてページ数を圧縮した方が良かったかも （いろいろ、記述に工夫していることは、読み取れたけど、”こんなの読めないだろう”という箇所が結構多い） あるいは、（下記）Perelmanの証明に対する検証レポートのように、本論文よりもっとページ数が増えても良かったのでは？ ２）望月先生のサイトから、この山下サーベイに対するリンクが張られていない ”Bx (201x), 000?000”がねー、もう2020年だからねー（＾＾； ３）望月先生もいかん、はっきり「ここを、こうしろ」って指示出さないと 山下サーベイは、フェセンコ先生とのバトルがあったんだよね。フェセンコ先生が酷評したんだ、たしか。おれんとこのM生レベルだと サーベイの初版には、「お前こそ分かってない」とか書いてあった そこは、水に流して、ちゃんと”Bx (202x)”で掲載になるようにしてやらないと。それも教授の仕事だろ（＾＾；
（参考） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2019Jul5.pdf RIMS K?oky?uroku Bessatsu Bx (201x), 000?000 A PROOF OF THE ABC CONJECTURE AFTER MOCHIZUKI By Go Yamashita last updated on 8/July/2019. Abstract We give a survey of S. Mochizuki’s ingenious inter-universal Teichm¨uller theory and explain how it gives rise to Diophantine inequalities. The exposition was designed to be as self-contained as possible.
・2003 Poincare conjecture, Geometrization theorem, Geometrization conjecture. Perelman's original proofs of the Poincare conjecture and the Geometrization conjecture were not lengthy, but were rather sketchy. Several other mathematicians have published proofs with the details filled in, which come to several hundred pages.
Schmid[3] generalized further to non-commutative cyclic algebras of degree pn. In the process of doing so, certain polynomials related to addition of p-adic integers appeared. Witt seized on these polynomials. By using them systematically, he was able to give simple and unified constructions of degree pn field extensions and cyclic algebras. Specifically, he introduced a ring now called Wn(k), the ring of n-truncated p-typical Witt vectors. This ring has k as a quotient, and it comes with an operator F which is called the Frobenius operator because it reduces to the Frobenius operator on k.
Notation In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p-adic digits. In number theory, Teichmuller representatives are sometimes used as digits.[8]
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale_cohomology Etale cohomology In mathematics, the etale cohomology groups of an algebraic variety or scheme are algebraic analogues of the usual cohomology groups with finite coefficients of a topological space, introduced by Grothendieck in order to prove the Weil conjectures. Etale cohomology theory can be used to construct ｌ-adic cohomology, which is an example of a Weil cohomology theory in algebraic geometry. This has many applications, such as the proof of the Weil conjectures and the construction of representations of finite groups of Lie type.
一方で A の極大イデアルは f (x, y) = 0 の点と一対一に対応している。たとえば、上で定義した A の極大イデアル m = (x ? 1, y) は S 上の点 (1, 0) という点に対応している。そこで A の極大イデアルの集合を Spm A と定義すれば、これを今まで我々が考えてきた S と同一視することができる。これが、古典的な意味での点集合としての代数多様体である。
しかし、数論への応用を視野に入れた圏論的な定式化のためには、既約部分多様体をも点と見なした方が都合が良いことが知られている。つまり、任意の環の準同型 B → C に対し必ずアフィンスキームの射 Spec C → Spec B が存在する一方で、Spm C と Spm B の間にはアプリオリな対応が存在しない。このように、スキーム論では多様体上の点は部分多様体と捉え、逆に（既約）部分多様体も点のようにみなされる。
また、各点 p における構造層の茎は p の近傍でのみ定義されているような正則関数を考えることに対応している。
Examples ・A polynomial f over a field k, f ∈ k[x1,...,xn], determines a closed subscheme f = 0 in affine space An over k, called an affine hypersurface. Formally, it can be defined as {Spec} k[x_{1},・・・,x_{n}]/(f). For example, taking k to be the complex numbers, the equation x2 = y2(y+1) defines a singular curve in the affine plane A^2C, called a nodal cubic curve. (引用終り) 以上（＾＾；
数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M x ? が完全となる加群 M のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された[1]。
脚注 1^ ただし、彼はなぜ平坦（flat）という語を用いたか覚えていないと言っている。 http://mathoverflow.net/questions/6789/why-are-flat-morphisms-flat/ “Why are flat morphisms “flat?””. mathoverflow asked Nov 25 '09 at 11:41 Harrison Brown 2015年9月28日閲覧。 (抜粋) 55 @Mariano: A couple of weeks ago I asked Serre about this. He didn't remember why the word flat was used, or if the word was due to him or possibly Cartan/Eilenberg. One point he emphasized is that it was Grothendieck who deserves all credit for the discovery of the importance of flatness in geometry (fibral criteria, families, etc.). For Serre it was a matter of isolating the "right" algebraic notion with which to discuss the various changes of rings (analytic vs. algebraic local rings, completions thereof, general localization) which came up in GAGA and FAC. ? BCnrd May 23 '10 at 6:11
f: X → Y are the algebraic counterpart of local diffeomorphisms. More precisely, a morphism between smooth varieties is etale at a point iff the differential between the corresponding tangent spaces is an isomorphism. This is in turn precisely the condition needed to ensure that a map between manifolds is a local diffeomorphism, i.e. for any point y ∈ Y, there is an open neighborhood U of x such that the restriction of f to U is a diffeomorphism. This conclusion does not hold in algebraic geometry, because the topology is too coarse. For example, consider the projection f of the parabola
y = x2 to the y-axis. This morphism is etale at every point except the origin (0, 0), because the differential is given by 2x, which does not vanish at these points.
However, there is no (Zariski-)local inverse of f, just because the square root is not an algebraic map, not being given by polynomials. However, there is a remedy for this situation, using the etale topology.
