真数条件より
2x^2-x-3a>0,x-a>0…①
このとき
log[4](2x^2-x-3a)=log[2](x-a)を式変形して
2x^2-x-3a=(x-a)^2…②
②が①の範囲で解を1つのみ持てばよく
これは、2x^2-x-3a=(x-a)^2がx>aの範囲の解を1つのみ持つことと同値
②⇔x^2-(1-2a)x-a^2-3a=0…③
③の左辺をf(x)とおく
(1)③がx>aで重解をもつとき
③の判別式D=(1-2a)^2-4(-a^2-3a)=0かつf(x)の軸(1-2a)/2>a
⇔8a^2+8a+1=0かつa<1/4
∴a=(-2±√2)/4
(2)③が異なる2つの解をもち、1つの解のみがx>aの範囲にあるとき
『f(a)<0』または『f(a)=0かつf(x)の軸(1-2a)/2>a』
⇔『2a^2-4a<0』または『2a^2-4a=0かつa<1/4』
⇔『0<a<2』または『a=0』
∴0≦a＜2
よって(1)(2)より
a=(-2±√2)/4，0≦a＜2
scの方をチェックしまくりのスレ主が
scのヒントを得てやっと解けて投下した
そんなタイミングの投稿だな
円CとL1との交点P,Qのx座標は
x^2+y^2=1にy=ax-bを代入して
x^2+(ax-b)^2=1
(a^2+1)x-2abx+b^2-1=0
x={ab±√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
ただし、円CとL1が2点で交わることからa^2-b^2+1>0
p={ab+√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
q={ab-√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
とおくと
P(p,ap-b),Q(q,aq-b)とおけ
L2はL1とy軸について対称だから
R(-q,aq-b),S(-p,ap-b)とおける
四角形PQRSはPS//QRの台形だから
S[b](a)
=(1/2)(2p+2q){(ap-b)-(aq-b)}
=a(p+q)(p-q)
=a{2ab/(a^2+1)}{2√(a^2-b^2+1)/(a^2+1)}
=4a^2･b√(a^2-b^2+1)/(a^2+1)^2
次に
logS[b](a)=log(4b)+log(a^2)+(1/2)log(a^2-b^2+1)-2log(a^2+1)
から
f(t)=log(4b)+logt+(1/2)log(t-b^2+1)-2log(t+1) （t>b^2-1）
とおくと
f'(t)=(1/t)+{1/2(t-b^2+1)}-{2/(t+1)}
=-{t^2-(2b^2+1)t+2b^2-2}/{2t(t+1)(t-b^2+1)}
(1)
p,qを実数として↑AO=p↑b+q↑cとおく
△ABCは1辺が1の正三角形だから
|↑p|=|↑q|=1,↑p･↑q=1･1･cos60ﾟ=1/2を利用して
|↑OD|^2
=|↑AD-↑AO|^2
=|↑AD|^2-2↑AD･↑AO+|↑AO|^2
=t^2-2t↑b･(p↑b+q↑c)+|↑AO|^2
=t^2-2tp-tq+|↑AO|^2
|↑OC|^2
=|↑AC-↑AO|^2
=|↑AC|^2-2↑AC･↑AO+|↑AO|^2
=1-2↑c･(p↑b+q↑c)+|↑AO|^2
=1-p-2q+|↑AO|^2
|↑AO|^2=|↑OD|^2=|↑OC|^2より，t≠0とから
関係式：2p+q=t,p+2q=1を得る
これを解いて，p=(2t-1)/3,q=(-t+2)/3
∴↑AO={(2t-1)/3}↑b+{(-t+2)/3}↑c
(2)未確認
t≠2/3で↑AP={(9t-6)/7}↑b+(-3t+9)/7}↑c
