さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね459
http://2chb.net/r/math/1585492157/
(使用済です: 478)
前スレ
分からない問題はここに書いてね459
http://2chb.net/r/math/1585492157/
(使用済です: 478)
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
さぁんっ！
配列 A の中に v がある場合には、その位置を返し、 v がない場合には NIL を返す以下のプログラムを考えます。
LINEAR-SEARCH(A, v)
■■for i = 1 to A.length
■■■■if A[i] == v
■■■■■■return i
■■return NIL
各 i に対して、 A[i] == v である確率を p とします。
このとき、このプログラムが A[i] == v かどうかをチェックする回数の平均値を E(steps) とすると、 A.length の値に関係なく、
1 ≦ E(steps) < 1/p
を満たすため、 E(steps) = Θ(1) になります。
↑に述べたことは正しいでしょうか？
ちょっと意外なようでいて、もっともな結果とも思えます。
クラス全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
日本人全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
↑このような例を考えれば、もっともな結果と思えます。
LINEAR-SEARCH(A, v)
■■for i = 1 to A.length
■■■■if A[i] == v
■■■■■■return i
■■return NIL
各 i に対して、 A[i] == v である確率を p とします。
このとき、このプログラムが A[i] == v かどうかをチェックする回数の平均値を E(steps) とすると、 A.length の値に関係なく、
1 ≦ E(steps) < 1/p
を満たすため、 E(steps) = Θ(1) になります。
↑に述べたことは正しいでしょうか？
ちょっと意外なようでいて、もっともな結果とも思えます。
クラス全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
日本人全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
↑このような例を考えれば、もっともな結果と思えます。
Θ(1) って何？
>一方で分からない問題は回答を全部見て納得する、を繰り返せば、効率的に多くの問題を理解できるので、
>「全くもって未知の問題」に遭遇する確率そのものを下げることができる
ときたか
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、一体どうするのだろうか
こういう人は、考える前にひたすら類似問題を探すのかな
そもそも自力で問題を解いた経験が少ない人は、「自分の頭で考える」ということができるのだろうか
>「全くもって未知の問題」に遭遇する確率そのものを下げることができる
ときたか
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、一体どうするのだろうか
こういう人は、考える前にひたすら類似問題を探すのかな
そもそも自力で問題を解いた経験が少ない人は、「自分の頭で考える」ということができるのだろうか
>>6
考えない人間は存在しないし、回答を見て分からなければ、何でもかんでも質問することは現実的に不可能だから必然的に考えることになる
そして回答をほとんど見ずに問題を考えた人と回答をすぐ見た人とで未知の問題に対する得点に有意な差が見られるというデータを見たこともない
考えない人間は存在しないし、回答を見て分からなければ、何でもかんでも質問することは現実的に不可能だから必然的に考えることになる
そして回答をほとんど見ずに問題を考えた人と回答をすぐ見た人とで未知の問題に対する得点に有意な差が見られるというデータを見たこともない
>>8
あなたはそうやって生きてきて、今まで何とかなっているの?
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、
まず最初に何をするの？
あなたはそうやって生きてきて、今まで何とかなっているの?
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、
まず最初に何をするの？
>>9
普通に何とかなっているな
不幸は諦める他ない
不幸が訪れる確率をどれだけ下げられるかが準備期間にやることだろう
普通に何とかなっているな
不幸は諦める他ない
不幸が訪れる確率をどれだけ下げられるかが準備期間にやることだろう
諦めるのか…
想定外の問題に遭遇したらパニックになりそうで危うい人だな
もし人類のほとんどがこのような考え方の人になってしまったら、科学の進歩は止まるな
想定外の問題に遭遇したらパニックになりそうで危うい人だな
もし人類のほとんどがこのような考え方の人になってしまったら、科学の進歩は止まるな
ただコインの裏を引いただけで動揺する理由もない
たまたまそうなっただけなので諦めてできることをやるだけ
たまたまそうなっただけなので諦めてできることをやるだけ
想定外の問題が発生したときに「たまたまそうなった」と言う人は信用できないなあ
「想定が甘かった」と言う人ならまだ信用できるが
この場合の「できること」というのは、新しい解法を考えることではなくて、
既存の解法でなんとかならないかひたすら「考える」ことなんだろうなあ
「想定が甘かった」と言う人ならまだ信用できるが
この場合の「できること」というのは、新しい解法を考えることではなくて、
既存の解法でなんとかならないかひたすら「考える」ことなんだろうなあ
俺からすれば「考える力」を重視する人が信用できない
考える力とやらはそもそも何なのか全く不明だろう
ある意味スピリチュアルだ
考える力とやらはそもそも何なのか全く不明だろう
ある意味スピリチュアルだ
「考える力」を思考する能力と解釈すると、「思考とは何か」といった問題（分からない問題）は、
哲学、論理学、心理学、生物学、脳科学等の複数の分野で考えられてきた
生物学的な観点から見れば、「思考」こそが人間と他の動物（例えばチンパンジー）との違いであると言える
一方で、俺が書き込んでいる内容は所詮は誰かの受け売りに過ぎないという指摘も考えられる
しかし、少なくとも過去の人類はそうやって「考える」ことによって新しい何かを生み出してきた
卑近な例でいえば、例えばフィクション作家は、恐らく「考える」ことによって常に新しい何かを生み出している
なぜなら、過去の作品のコピーでない作品には、必ず新しい何かが含まれているから
哲学、論理学、心理学、生物学、脳科学等の複数の分野で考えられてきた
生物学的な観点から見れば、「思考」こそが人間と他の動物（例えばチンパンジー）との違いであると言える
一方で、俺が書き込んでいる内容は所詮は誰かの受け売りに過ぎないという指摘も考えられる
しかし、少なくとも過去の人類はそうやって「考える」ことによって新しい何かを生み出してきた
卑近な例でいえば、例えばフィクション作家は、恐らく「考える」ことによって常に新しい何かを生み出している
なぜなら、過去の作品のコピーでない作品には、必ず新しい何かが含まれているから
>>15については同意
だが、すぐ回答を見ることは全く考えないことを意味しない
回答がないとか、試験中とか、回答を見ることができないときにそれまでの知識を用いて考えれば良い
だが、すぐ回答を見ることは全く考えないことを意味しない
回答がないとか、試験中とか、回答を見ることができないときにそれまでの知識を用いて考えれば良い
1変数の微分方程式（ただし解が初等関数であるもの）を解く場合、ラプラス変換さえ知っていれば十分ですか？
正定値実対称行列の全体が行列の空間の中で開集合になっていることの示し方を教えてください
>>18
結論を否定すると、正定値対称行列Aと対称行列の列Aiと0以下の実数の列eiで
e=lim ei は収束有限確定値。
eiはAiの固有値
limAi=A
となるものが採れてしまう。
実際まずlimAi=A,eiをAiの固有値とするときlimAi=AからAiの固有多項式の係数は有界だからeiも有限集合なので収束部分列が採れてしまう。
結論を否定すると、正定値対称行列Aと対称行列の列Aiと0以下の実数の列eiで
e=lim ei は収束有限確定値。
eiはAiの固有値
limAi=A
となるものが採れてしまう。
実際まずlimAi=A,eiをAiの固有値とするときlimAi=AからAiの固有多項式の係数は有界だからeiも有限集合なので収束部分列が採れてしまう。
行列の空間から行列の空間へのランクを保つ線形写像
F:Mn(R)→Mn(R)
は、ある可逆行列A,Bを用いて
F(X)=AXBもしくはA(X^t)B
と書けることの証明わかる方いれば教えて下さい
F:Mn(R)→Mn(R)
は、ある可逆行列A,Bを用いて
F(X)=AXBもしくはA(X^t)B
と書けることの証明わかる方いれば教えて下さい
円(y軸上)と放物線(頂点は原点)の交点について厳密に説明できる方、いらっしゃいませんか？
双曲線とかも考えなきゃいけないんですよね？
よろしくお願いします。
双曲線とかも考えなきゃいけないんですよね？
よろしくお願いします。
f(x)=sin(x^2)とする。
区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、それをbとしたとき、f(b)>0となる確率をP(a)とおく。
lim[a→∞] P(a) を求めよ。
区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、それをbとしたとき、f(b)>0となる確率をP(a)とおく。
lim[a→∞] P(a) を求めよ。
X が [0,1) に一様に分布するとして
b = a+X
とする。
f(b) = sin(bb）> 0 は
0 <｛bb/2π｝< 1/2,
0 <｛bb/2π｝=｛bb/π}/2,
b = a+X
とする。
f(b) = sin(bb）> 0 は
0 <｛bb/2π｝< 1/2,
0 <｛bb/2π｝=｛bb/π}/2,
>>20
まず線形写像FとGが相似であるというのをある正則行列A,Bが存在して任意の行列に対しG(X)=F(AXB)が成立するときとする。
主張はFがrankを保存するとき、それは恒等写像と相似である事である。Eijを行列単位とし、Fij=F(Eij)とおく。
容易にF11=E11としてよい。
必要ならFを相似なものと取り替えてF12の一行目は0でないとしてよい。
F12の二行目以降が0でないとするとあるcをとってF(cE11+E12)のランクが2以上となって矛盾するからF12の二行目以降はすべて0である。
よってやはりFを相似なものと取り替えてF12=E12としてよい。
同様の議論を繰り返してF1i=E1iとしてよい。
同様の議論でF21も二行目以降が二列目以降のすべてが0であるが、後者とするとF(E12+E21)のランクが1以下となり矛盾するから前者である。
やはり同様の議論を繰り返してFi1=Ei1としてよい。
FijとFi1=Ei1に対して同様の議論をしてi行目以外のすべてが0か1列目以外のすべてが0である。
FijとFi1=E1jに対して同様の議論をしてj列目以外のすべてが0か1行目以外のすべてが0である。
この二つの条件を満たすのはFijがE11の定数倍であるか、Eijの定数倍であるかのいずれかの時であるが、前者のときF(E11+Eij)のランクが1以下となって矛盾する。
よってFij=cEijとおけるが、
rank(E11+E1j+Ei1+cEij)
=rank(F11+F1j+Fi1+Fij)=1
によりc=1である。
まず線形写像FとGが相似であるというのをある正則行列A,Bが存在して任意の行列に対しG(X)=F(AXB)が成立するときとする。
主張はFがrankを保存するとき、それは恒等写像と相似である事である。Eijを行列単位とし、Fij=F(Eij)とおく。
容易にF11=E11としてよい。
必要ならFを相似なものと取り替えてF12の一行目は0でないとしてよい。
F12の二行目以降が0でないとするとあるcをとってF(cE11+E12)のランクが2以上となって矛盾するからF12の二行目以降はすべて0である。
よってやはりFを相似なものと取り替えてF12=E12としてよい。
同様の議論を繰り返してF1i=E1iとしてよい。
同様の議論でF21も二行目以降が二列目以降のすべてが0であるが、後者とするとF(E12+E21)のランクが1以下となり矛盾するから前者である。
やはり同様の議論を繰り返してFi1=Ei1としてよい。
FijとFi1=Ei1に対して同様の議論をしてi行目以外のすべてが0か1列目以外のすべてが0である。
FijとFi1=E1jに対して同様の議論をしてj列目以外のすべてが0か1行目以外のすべてが0である。
この二つの条件を満たすのはFijがE11の定数倍であるか、Eijの定数倍であるかのいずれかの時であるが、前者のときF(E11+Eij)のランクが1以下となって矛盾する。
よってFij=cEijとおけるが、
rank(E11+E1j+Ei1+cEij)
=rank(F11+F1j+Fi1+Fij)=1
によりc=1である。
>>22
2kπ ≦ aa < 2(k+1)π,
2Lπ ≦ (a+1)^2 < 2(L+1)π,
(k,Lは自然数）とする。
(L-k-1)π < a + 1/2 <（L-k+1)π,
k,Lは自然数。
Y =（a+X)^2
とおくと、
X = √Y -a,
dX = dY/(2√Y),
P(a) = ∫_[0～1, sin((a+X)^2)>0] dX
= ∫_[aa～(a+1)^2, sin(Y)>0] dY/(2√Y),
∫_[2(k+1)π～2Lπ, sin(Y)>0] dY/(2(a+1)）< P(a）< ∫_[2kπ～2(L+1)π, sin(Y)>0] dY/(2a),
(L-k-1)π/(2(a+1)）< P(a）<（L-k+1)π/(2a),
(a +1/2 -2π)/(2(a+1)）< P(a）<（a +1/2 +2π)/(2a),
∴ lim[a→∞] P(a）= 1/2.
2kπ ≦ aa < 2(k+1)π,
2Lπ ≦ (a+1)^2 < 2(L+1)π,
(k,Lは自然数）とする。
(L-k-1)π < a + 1/2 <（L-k+1)π,
k,Lは自然数。
Y =（a+X)^2
とおくと、
X = √Y -a,
dX = dY/(2√Y),
P(a) = ∫_[0～1, sin((a+X)^2)>0] dX
= ∫_[aa～(a+1)^2, sin(Y)>0] dY/(2√Y),
∫_[2(k+1)π～2Lπ, sin(Y)>0] dY/(2(a+1)）< P(a）< ∫_[2kπ～2(L+1)π, sin(Y)>0] dY/(2a),
(L-k-1)π/(2(a+1)）< P(a）<（L-k+1)π/(2a),
(a +1/2 -2π)/(2(a+1)）< P(a）<（a +1/2 +2π)/(2a),
∴ lim[a→∞] P(a）= 1/2.
lim[a→∞] P(a) = 1/2 って本当？
直観的には a → ∞ のとき f(x) = sin(x^2) は区間 [a,a+1) に属する b について
ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから、 P(a) → 1 になる気がするけど
直観的には a → ∞ のとき f(x) = sin(x^2) は区間 [a,a+1) に属する b について
ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから、 P(a) → 1 になる気がするけど
ああ、そうか
f(b) > 0 になる b と同じくらい f(b) < 0 となり得るわけだから、
正負でキャンセルされて 1/2 に収束するのか
g(x) := (f(x) + |f(x)|) / 2 として、関数 h(x) を
f(x) ≠ 0のとき h(x) := g(x) / f(x) かつ、 f(x) = 0 のとき h(x) := 0
と定めると、
P(a) = ∫[a→a+1] h(x) dx = 1/2 + F(a)
の形に書けて、 F(a) → 0 (a → ∞) となるという認識で合ってる？
f(b) > 0 になる b と同じくらい f(b) < 0 となり得るわけだから、
正負でキャンセルされて 1/2 に収束するのか
g(x) := (f(x) + |f(x)|) / 2 として、関数 h(x) を
f(x) ≠ 0のとき h(x) := g(x) / f(x) かつ、 f(x) = 0 のとき h(x) := 0
と定めると、
P(a) = ∫[a→a+1] h(x) dx = 1/2 + F(a)
の形に書けて、 F(a) → 0 (a → ∞) となるという認識で合ってる？
２変数関数 f(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2+y^2) の極限 (x,y)→(0,0) で
y=mxとおいて解く方法って間違ってますよね？
具体的には、y=mxとおいて任意のmに対して
f(x,mx)=(x^3-m^3x^3)/(x^2+m^2 x^2)=((1-m^3)/(1+m^2)) x→0
なので極限値は0。という解法です。
y=mxだとy軸上の点は表せないし、原点の周りをまわりながら近づく場合とか、
どんな近づき方でも同じ値に近づくということを示せてないと思うんだけど。
マセマの「スバラシク実力がつく、、、」とかいう参考書に載ってて驚愕したんですがどうなんでしょう
y=mxとおいて解く方法って間違ってますよね？
具体的には、y=mxとおいて任意のmに対して
f(x,mx)=(x^3-m^3x^3)/(x^2+m^2 x^2)=((1-m^3)/(1+m^2)) x→0
なので極限値は0。という解法です。
y=mxだとy軸上の点は表せないし、原点の周りをまわりながら近づく場合とか、
どんな近づき方でも同じ値に近づくということを示せてないと思うんだけど。
マセマの「スバラシク実力がつく、、、」とかいう参考書に載ってて驚愕したんですがどうなんでしょう
>>30
もちろんダメです。
極形式で(θ∈(-π,π])
f(r,θ)=
1 (r=θ=1/n)
0 (otherwise)
で定めると、どんな定数θを固定してもlim[r→+0]f(r,θ)=0
だけどlim[P→O]f(P)=0にはなりません。
もちろんダメです。
極形式で(θ∈(-π,π])
f(r,θ)=
1 (r=θ=1/n)
0 (otherwise)
で定めると、どんな定数θを固定してもlim[r→+0]f(r,θ)=0
だけどlim[P→O]f(P)=0にはなりません。
>>30
何らかの別の手段で極限値の存在が保障されている状況で、値のみ求める方法としては妥当。
前後の文脈もわからず、問題文すら正確にかかれていないような質問に対する1問1答では
書籍の正誤は判別できないことには留意すべき。
何らかの別の手段で極限値の存在が保障されている状況で、値のみ求める方法としては妥当。
前後の文脈もわからず、問題文すら正確にかかれていないような質問に対する1問1答では
書籍の正誤は判別できないことには留意すべき。
>>18
一般に制約条件が等式で制約式が連続関数なら成り立つ
連続の定義を「開集合の逆像は開集合」とすれば証明は自明
一般に制約条件が等式で制約式が連続関数なら成り立つ
連続の定義を「開集合の逆像は開集合」とすれば証明は自明
つか開集合か？
[前スレ．917]
n次正方行列Aが対角化可能である条件は、
すべての固有値λi（mi重根とする）ついて、
dim(λiに属する固有空間）= m_i,
rank(A-λiE）= n - m_i,
* 固有空間は A-λiE を1回作用すればｏになる。
数セミ増刊「 数学100の定理」日本評論社 (1983）p.102-103
n次正方行列Aが対角化可能である条件は、
すべての固有値λi（mi重根とする）ついて、
dim(λiに属する固有空間）= m_i,
rank(A-λiE）= n - m_i,
* 固有空間は A-λiE を1回作用すればｏになる。
数セミ増刊「 数学100の定理」日本評論社 (1983）p.102-103
[前スレ．978]
〔ジョルダン分解〕
n次正方行列Aはたがいに可換な2つの行列の和に分解できる：
A = S + N.
ここで
Sは対角化可能（スペクトル分解可能, semi-simple）
Nはベキ零（nil-potent）行列である。
この分解は一通りしかない。(一意的)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.98-99
〔ジョルダン分解〕
n次正方行列Aはたがいに可換な2つの行列の和に分解できる：
A = S + N.
ここで
Sは対角化可能（スペクトル分解可能, semi-simple）
Nはベキ零（nil-potent）行列である。
この分解は一通りしかない。(一意的)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.98-99
この手の集団が閉、開、というのは案外難しい。
いわゆるconstructibleになるのは自明
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_set_(topology)
いわゆるconstructibleになるのは自明
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_set_(topology)
>>31
やっぱりそうですよね。ありがとうございます
>>32
極限値の存在は保証されてません。
本の掲載部分の画像リンクです。
https://imgur.com/XFm8Ivh
https://imgur.com/3kEqBec
１ページ目にはチェック法と書かれているけど、157ページ（２枚目）の
「∴ lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)=0」
と結論付けている部分は論理が破綻しているのでは？
これを読んだ学生は単純に「極限値lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)を求めよ。」
という問題が出題されたときに極限値の存在が保証されていないのに、
このような解法をしてしまうように書かれているように思います。
やっぱりそうですよね。ありがとうございます
>>32
極限値の存在は保証されてません。
本の掲載部分の画像リンクです。
https://imgur.com/XFm8Ivh
https://imgur.com/3kEqBec
１ページ目にはチェック法と書かれているけど、157ページ（２枚目）の
「∴ lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)=0」
と結論付けている部分は論理が破綻しているのでは？
これを読んだ学生は単純に「極限値lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)を求めよ。」
という問題が出題されたときに極限値の存在が保証されていないのに、
このような解法をしてしまうように書かれているように思います。
別解は正しいのがウケる
やマ糞
「近づき方が問題だ！」からの「(i) y = mx を使う」はもはやギャグ
東大工学部卒の人の本かな？
やはり工学部では大学の学部以上のレベルの本は無理なのかな？
やはり工学部では大学の学部以上のレベルの本は無理なのかな？
f(x) = |ax^2+bx+c|
g(x) = |bx^2+cx+a|
h(x) = |cx^2+ax+b|
が-1≦x≦1において
f(x)≦1 かつ g(x)≦1 かつ h(x)≦1
であるとき、実数a,b,cが満たすべき条件を求めよ。
g(x) = |bx^2+cx+a|
h(x) = |cx^2+ax+b|
が-1≦x≦1において
f(x)≦1 かつ g(x)≦1 かつ h(x)≦1
であるとき、実数a,b,cが満たすべき条件を求めよ。
>>42
「スバラシク実力がつくと評判の微分積分」馬場敬之、高杉豊 マセマ出版社
です。入手したのは第1版なのでその後どうなってるかは分かりませんが、
以下のサイトに改定内容が載ってたので多分そのままかと、、、
https://www.mathema.jp/%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88/
「スバラシク実力がつくと評判の微分積分」馬場敬之、高杉豊 マセマ出版社
です。入手したのは第1版なのでその後どうなってるかは分かりませんが、
以下のサイトに改定内容が載ってたので多分そのままかと、、、
https://www.mathema.jp/%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88/
lim[(x,y)→(0,0)]（xx-yy)/(xx+yy)
は近づく方角によって-1 ～ +1 まで変わるから、存在しない。(不連続)
例）
f(x,y）＝ xy(xx-yy)/(xx+yy), (x,y)≠(0,0)
f(0,0）= ０,
とおくと｜f(x,y)｜≦｜xy |,
さて、f_x_y(0,y）= -1（y≠0) 然るに
lim[y→0] f_x(0,y）= lim[y→0] (-y）= 0 = f_x(0,0)
だから f_x(0,y）は y=0 で連続。
故に f_x_y(0,0）= lim[y→0] f_x_y(0,y）= lim[y→0]（-1）= -1（定理23)
同様に f_y(x,0）= x, f_y_x(x,0）= 1 より f_y_x(0,0）= 1.
∴ f_x_y(0,0）≠ f_y_x(0,0)
は近づく方角によって-1 ～ +1 まで変わるから、存在しない。(不連続)
例）
f(x,y）＝ xy(xx-yy)/(xx+yy), (x,y)≠(0,0)
f(0,0）= ０,
とおくと｜f(x,y)｜≦｜xy |,
さて、f_x_y(0,y）= -1（y≠0) 然るに
lim[y→0] f_x(0,y）= lim[y→0] (-y）= 0 = f_x(0,0)
だから f_x(0,y）は y=0 で連続。
故に f_x_y(0,0）= lim[y→0] f_x_y(0,y）= lim[y→0]（-1）= -1（定理23)
同様に f_y(x,0）= x, f_y_x(x,0）= 1 より f_y_x(0,0）= 1.
∴ f_x_y(0,0）≠ f_y_x(0,0)
>>48
f_x_y(x,y）= f_y_x(x,y）=｛(xx-yy)/(xx+yy)}(1+････)
は（x,y)=(0,0）で不連続でござる。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
第2章 §23．微分の順序 p.58-59
f_x_y(x,y）= f_y_x(x,y）=｛(xx-yy)/(xx+yy)}(1+････)
は（x,y)=(0,0）で不連続でござる。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
第2章 §23．微分の順序 p.58-59
>>36
λが重根（m≧2）の場合：
拡張固有空間にＡ＝Ｓ＋Ｎを作用すると、
Ｓは単にλ倍するだけだが、
ベキ零成分Ｎ≠Ｏは、互いに混ぜてしまう。
λが重根（m≧2）の場合：
拡張固有空間にＡ＝Ｓ＋Ｎを作用すると、
Ｓは単にλ倍するだけだが、
ベキ零成分Ｎ≠Ｏは、互いに混ぜてしまう。
>>25
遅くなってすみません
レスありがとうございます
「同様の議論」がどこまで相似変換によってなのか、どこまで条件から自動決定してるのか、あるいは選択的に決めてしまってるのかが混乱してしまいました
(例えば単純に読むとこのままではXとX^tが相似であることも示せてしまいそうに見えました)
なんとか自分なりに整理して理解しました
ありがとうございました
遅くなってすみません
レスありがとうございます
「同様の議論」がどこまで相似変換によってなのか、どこまで条件から自動決定してるのか、あるいは選択的に決めてしまってるのかが混乱してしまいました
(例えば単純に読むとこのままではXとX^tが相似であることも示せてしまいそうに見えました)
なんとか自分なりに整理して理解しました
ありがとうございました
教えてください。高校数学ⅡBです。
数式P(x)をx-3で割ると余りが-11、x+2で割ると余りが4である。
P(x)をx^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。
数式P(x)をx-3で割ると余りが-11、x+2で割ると余りが4である。
P(x)をx^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。
P(x)=Q(x)(x^2-x-6)+ax+bとおく。
余りで次数が下がるってのは、この手の問題の最重要事実の一つだな
お願いします。
外接円の半径、内接円の半径、面積がそれぞれ等しい2つの三角形は
合同であることを示せ。
外接円の半径、内接円の半径、面積がそれぞれ等しい2つの三角形は
合同であることを示せ。
三角形の3辺の長さを a , b , c とし、外接円の半径をR , 内接円の半径を r とすると面積Sは
S = abc/(4R) = (a+b+c)r/2 = (ヘロンの公式)
もう一つの三角形の3辺の長さを a’ , b’ , c’ とすれば
上の面積の関係から
abc = a’b’c’ , a+b+c = a’+b’+c’ , ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ となるので同一の3次方程式の解
S = abc/(4R) = (a+b+c)r/2 = (ヘロンの公式)
もう一つの三角形の3辺の長さを a’ , b’ , c’ とすれば
上の面積の関係から
abc = a’b’c’ , a+b+c = a’+b’+c’ , ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ となるので同一の3次方程式の解
>>56
2s=a+b+c,u=s-a,v=s-b,w=s-cとおくと
S^2=uvw(u+v+w)
r^2=uvw/(u+v+w)
4RS=abc=(u+v)(v+w)(w+u)
=(u+v+w)(uv+vw+wu)-3uvw
2s=a+b+c,u=s-a,v=s-b,w=s-cとおくと
S^2=uvw(u+v+w)
r^2=uvw/(u+v+w)
4RS=abc=(u+v)(v+w)(w+u)
=(u+v+w)(uv+vw+wu)-3uvw
>>57
ヘロンの公式
S = √{σ(σ-a)(σ-b)(σ-c)}
= √{(ab+bc+ca)σσ - abcσ - σ^4},
より
ab+bc+ca =（S/σ)^2 + abc/σ + σσ
= rr + 4Rr +（S/r)^2,
ここに σ =（a+b+c)/2 とおいた。
3次方程式は
X^3 -（2S/r)X^2 +｛rr + 4Rr + (S/r)^2}X -4RS = 0,
3辺がそれぞれ等しいから合同。
ヘロンの公式
S = √{σ(σ-a)(σ-b)(σ-c)}
= √{(ab+bc+ca)σσ - abcσ - σ^4},
より
ab+bc+ca =（S/σ)^2 + abc/σ + σσ
= rr + 4Rr +（S/r)^2,
ここに σ =（a+b+c)/2 とおいた。
3次方程式は
X^3 -（2S/r)X^2 +｛rr + 4Rr + (S/r)^2}X -4RS = 0,
3辺がそれぞれ等しいから合同。
内接円の半径r と外接円の半径Rが与えられたら外心O と内心Iとの距離dは
有名なオイラー公式d^2=R^2-2Rrで決まるけど三角形の自由度はまだあるのか。
面積最大は二等辺三角形のとき？
有名なオイラー公式d^2=R^2-2Rrで決まるけど三角形の自由度はまだあるのか。
面積最大は二等辺三角形のとき？
[前スレ．988]
a(n）= cot((π/2-b)･2^(n-1))
ただし b = arctan(2）= 1.10714871779409
(π/2 - b)/π = 1/2 - arctan(2)/π = 0.147583617650433･･･
これを2進法で表わせば
(0.001001011100100000001010001110110011101111100････)_2
無理数だから循環しない。
nが1つ増えると2倍になるから、１桁左にずれる。
0または1がm個連続する箇所があれば、
πの整数倍から π/(2^m) 以内に入る。
任意の自然数mについてそれが存在すれば、a(n）は非有界。
a(n）= cot((π/2-b)･2^(n-1))
ただし b = arctan(2）= 1.10714871779409
(π/2 - b)/π = 1/2 - arctan(2)/π = 0.147583617650433･･･
これを2進法で表わせば
(0.001001011100100000001010001110110011101111100････)_2
無理数だから循環しない。
nが1つ増えると2倍になるから、１桁左にずれる。
0または1がm個連続する箇所があれば、
πの整数倍から π/(2^m) 以内に入る。
任意の自然数mについてそれが存在すれば、a(n）は非有界。
>>50
A = [a 1]
[0 a]
の場合
固有値は λ = a（重根)
固有ヴェクトルは
[x]
[0]
A-aE を作用すると
[x] → [y] → [0]
[y] [0] [0]
となり混ざっている。
A = [a 1]
[0 a]
の場合
固有値は λ = a（重根)
固有ヴェクトルは
[x]
[0]
A-aE を作用すると
[x] → [y] → [0]
[y] [0] [0]
となり混ざっている。
>>61
円周率πの10進表示については
｢9｣ 5桁目
｢99｣ 44桁目
｢999｣～｢999999｣ 762桁目（Feynman point）
｢999999｣ 762桁目、193034桁目、････
｢000000｣ 1699927桁目
｢9999999｣ 1722776桁目
｢99999999｣ 36356642桁目
｢999999999｣ 564665206桁目
{(10^n)π｝が 0か1から 1/(10^m）以内であるようなnがある？
円周率πの10進表示については
｢9｣ 5桁目
｢99｣ 44桁目
｢999｣～｢999999｣ 762桁目（Feynman point）
｢999999｣ 762桁目、193034桁目、････
｢000000｣ 1699927桁目
｢9999999｣ 1722776桁目
｢99999999｣ 36356642桁目
｢999999999｣ 564665206桁目
{(10^n)π｝が 0か1から 1/(10^m）以内であるようなnがある？
すみません、簡単な質問かもしれませんがお願いします。
賭け事でよく使われるマーチンゲールって知ってますか？1→2→4→8→16というふうに掛け金が倍ずつ増えていくやつです。
これで例えば10回目には掛け金がいくらになるか計算式で出す事はできますでしょうか？ちなみに10回目は512になります。よろしくお願いします。
賭け事でよく使われるマーチンゲールって知ってますか？1→2→4→8→16というふうに掛け金が倍ずつ増えていくやつです。
これで例えば10回目には掛け金がいくらになるか計算式で出す事はできますでしょうか？ちなみに10回目は512になります。よろしくお願いします。
10回目までの掛け金の合計を出したいってこと？
足し算するだけだよ
等比数列の和の公式を知りたいのか？
足し算するだけだよ
等比数列の和の公式を知りたいのか？
>>66
いえ、掛け金の合計を出したいのではないです。10回目の掛け金512というのは1個ずつ2倍にして数えて出しましたが、公式を使って「2倍で増えていく数が10回目には512になる」と出したいと思いまして。
これが分かれば2倍ではなく例えば1.2倍ずつ賭けた場合30回目の賭け金はいくらになるかなどもすぐに計算できると思ってお聞きしました。
どうでしょうか(｡･_･｡)
いえ、掛け金の合計を出したいのではないです。10回目の掛け金512というのは1個ずつ2倍にして数えて出しましたが、公式を使って「2倍で増えていく数が10回目には512になる」と出したいと思いまして。
これが分かれば2倍ではなく例えば1.2倍ずつ賭けた場合30回目の賭け金はいくらになるかなどもすぐに計算できると思ってお聞きしました。
どうでしょうか(｡･_･｡)
>>67
それなら倍率を変えたいと書かないと何を言っているのかわからんだろう。
倍率をxとしてn回目は x^(n-1)
それなら倍率を変えたいと書かないと何を言っているのかわからんだろう。
倍率をxとしてn回目は x^(n-1)
指数関数を使って x の (n-1) 乗 ですね
結論を言うなら、博打は胴元が儲かるけど、たまに大損するのでそれに対する対策が必要
子は平均的には負けるだけなので、出目のふらつきで小勝ちしたときに速攻で逃げるのが正解
マーチンゲール理論だと、1000ドルかけて1ドル勝利なんてのも珍しくない上に
普通は掛け金制限があるし、自分の所持金にも限界があるので、勝つ前にゲームから撤収なんてことも普通
多分、運の流れとかでやってるほうが勝つ確率は多いように思える
子は平均的には負けるだけなので、出目のふらつきで小勝ちしたときに速攻で逃げるのが正解
マーチンゲール理論だと、1000ドルかけて1ドル勝利なんてのも珍しくない上に
普通は掛け金制限があるし、自分の所持金にも限界があるので、勝つ前にゲームから撤収なんてことも普通
多分、運の流れとかでやってるほうが勝つ確率は多いように思える
男子7人、女子5人のグループの中で、5人の係を選ぶとき、係の中に男子が2人以上入る選び方は何通りあるか。
>>71
マーチンゲールは質問の例えとして使っただけですよ(･_･｡)仰る通りマーチンなんて使っているようじゃ絶対に勝てません。
いつも思うんですけど確率とか統計とか数学に長けてる人は絶対に賭け事勝てると思う、みなさんやったほうがいいですよw
マーチンゲールは質問の例えとして使っただけですよ(･_･｡)仰る通りマーチンなんて使っているようじゃ絶対に勝てません。
いつも思うんですけど確率とか統計とか数学に長けてる人は絶対に賭け事勝てると思う、みなさんやったほうがいいですよw
>>70>>73
小～中学校相当の質問なので、普通の高卒者には難しくないだろう。
あなたには難しいというだけのことです。
小～中学校相当の質問なので、普通の高卒者には難しくないだろう。
あなたには難しいというだけのことです。
>>70
公式すごいはいいけど、その公式を見て気づかないか？
実際の値を手計算や普通の電卓で求めるには結局掛け合わせていくしかないので君が512を求めた方法と同じだぞ
公式すごいはいいけど、その公式を見て気づかないか？
実際の値を手計算や普通の電卓で求めるには結局掛け合わせていくしかないので君が512を求めた方法と同じだぞ
じゃあ質問しますけど掛け合わせていく以外で答えの出る方法てあるんですか？
16^2を覚えているならその2倍とかするくらいがせいぜいかなあ
まあ、2の累乗だと2^10くらいまでは覚えてしまっている人の方が多いと思うけど
一般的な累乗の計算を簡単にやる方法は無いと思うよ
概算なら別だけど
まあ、2の累乗だと2^10くらいまでは覚えてしまっている人の方が多いと思うけど
一般的な累乗の計算を簡単にやる方法は無いと思うよ
概算なら別だけど
2^9=2^(2×2×2+1)=((2^2)^2)^2×2
2を自乗して2×2=4
4を自乗して4×4=16
16を自乗して16×16=256
256を2倍して256×2=512
うまくやれば掛け算は4回で済む
2を自乗して2×2=4
4を自乗して4×4=16
16を自乗して16×16=256
256を2倍して256×2=512
うまくやれば掛け算は4回で済む
>>78
そうか、初めに質問するとき「累乗の計算を簡単にやる方法はありますか？」と聞けば端的だったんですね。
確かに2の累乗なら覚えてしまったほうが早いです。
そうか、初めに質問するとき「累乗の計算を簡単にやる方法はありますか？」と聞けば端的だったんですね。
確かに2の累乗なら覚えてしまったほうが早いです。
電車の中でオンカジしながらその公式が思い浮ぶとはｵﾓｴﾅｲ(*_*)
よろしくです。
整数a,b,cについて
a^2±(a+b+c)
b^2±(a+b+c)
c^2±(a+b+c)
のすべてが平方数であるとき, a+b+c=0を満たすことを証明せよ。
整数a,b,cについて
a^2±(a+b+c)
b^2±(a+b+c)
c^2±(a+b+c)
のすべてが平方数であるとき, a+b+c=0を満たすことを証明せよ。
>>36
「ジョルダン分解」
佐武一郎「行列と行列式」裳華房 (1958)
IV章 §2 例１. p.146-147
齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)
第6章 §3．定理[3.8] p.199-201
「ジョルダン分解」
佐武一郎「行列と行列式」裳華房 (1958)
IV章 §2 例１. p.146-147
齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)
第6章 §3．定理[3.8] p.199-201
>>83
そうでないとしてさらに
|a|≦|b|≦|c| 、a+b+c>0
なる解が存在するとしてよい。
この時a+b+c≦3|c|‥‥①
ここで√(c^2+a+b+c)>|c|+2とすると
c^2+a+b+c-c^2
≧(|c|+3)^2-|c|^2
≧6|c|+9
コレは①に反するから
(c^2+a+b+c)=(|c|+2)^2, (|c|+1)^2。
∴a+b+c=4|c|+4,2|c|+1
前者の時3|c|≧4|c|+4は矛盾するから
a+b+c=2|c|+1‥‥②。
√(c^2-(a+b+c))<|c|-2とすると
c^2-(a+b+c)-c^2
≦(|c|-3)^2-|c|^2
≦-6|c|+9
∴-3|c|≦-6|c|+9
∴|a|≦|b|≦|c|≦1であるが、コレを満たす解はないから
(c^2-(a+b+c))=(|c|-2)^2, (|c|-1)^2
∴a+b+c=4|c|-4,2|c|-1
②とこの２つはいずれも矛盾する。
そうでないとしてさらに
|a|≦|b|≦|c| 、a+b+c>0
なる解が存在するとしてよい。
この時a+b+c≦3|c|‥‥①
ここで√(c^2+a+b+c)>|c|+2とすると
c^2+a+b+c-c^2
≧(|c|+3)^2-|c|^2
≧6|c|+9
コレは①に反するから
(c^2+a+b+c)=(|c|+2)^2, (|c|+1)^2。
∴a+b+c=4|c|+4,2|c|+1
前者の時3|c|≧4|c|+4は矛盾するから
a+b+c=2|c|+1‥‥②。
√(c^2-(a+b+c))<|c|-2とすると
c^2-(a+b+c)-c^2
≦(|c|-3)^2-|c|^2
≦-6|c|+9
∴-3|c|≦-6|c|+9
∴|a|≦|b|≦|c|≦1であるが、コレを満たす解はないから
(c^2-(a+b+c))=(|c|-2)^2, (|c|-1)^2
∴a+b+c=4|c|-4,2|c|-1
②とこの２つはいずれも矛盾する。
a,b,cは正の実数で、a<b<cを満たす。f(x,y)を
f(x,y)={xy/(x-y)}log(y/x)
とおくとき、f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)の符号を調べよ。
f(x,y)={xy/(x-y)}log(y/x)
とおくとき、f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)の符号を調べよ。
>>86
相異なる正の実数 x,y について
xy/(x-y)=1/{(1/y)-(1/x)} は x>y のとき正、x<y のとき負
log(y/x) は y/x<1 すなわち x>y のとき負、y/x>1 すなわち x<y のとき正
したがって積 {xy/(x-y)}log(y/x) は常に負
よってf(a,b)+f(b,c)+f(c,a)は負
相異なる正の実数 x,y について
xy/(x-y)=1/{(1/y)-(1/x)} は x>y のとき正、x<y のとき負
log(y/x) は y/x<1 すなわち x>y のとき負、y/x>1 すなわち x<y のとき正
したがって積 {xy/(x-y)}log(y/x) は常に負
よってf(a,b)+f(b,c)+f(c,a)は負
>>86
蛇足だが････
f(x,y）= -｛log(1/y）- log(1/x)}/(1/y - 1/x）=｛g(1/y）- g(1/x)}/(1/y - 1/x),
g(t）= - log(t)
これは g関数上の2点（1/x, log(1/x)) と（1/y, log(1/y)）を結ぶ線分の傾き。
0<a<b<c ゆえ 0<1/c<1/b<1/a
g(t）= - log(t）は下に凸だから
f(b,c）< f(a,c）< f(a,b）< 0,
蛇足だが････
f(x,y）= -｛log(1/y）- log(1/x)}/(1/y - 1/x）=｛g(1/y）- g(1/x)}/(1/y - 1/x),
g(t）= - log(t)
これは g関数上の2点（1/x, log(1/x)) と（1/y, log(1/y)）を結ぶ線分の傾き。
0<a<b<c ゆえ 0<1/c<1/b<1/a
g(t）= - log(t）は下に凸だから
f(b,c）< f(a,c）< f(a,b）< 0,
a,b,c,dを複素数の定数とし、方程式
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
の重複を込めた4解をそれぞれα,β,γ,δとする。
a,b,c,dのうち少なくとも1つが実数でないとき、β=α'かつδ=γ'が成り立つことはあるか。
ただしw'は複素数wの共役複素数を表す。
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
の重複を込めた4解をそれぞれα,β,γ,δとする。
a,b,c,dのうち少なくとも1つが実数でないとき、β=α'かつδ=γ'が成り立つことはあるか。
ただしw'は複素数wの共役複素数を表す。
(x-α)(x-α') も (x-γ)(x-γ') も実係数
∴与= (x-α)(x-α')(x-γ)(x-γ') は実係数。
∴与= (x-α)(x-α')(x-γ)(x-γ') は実係数。
a,bは|a|=|b|=1を満たす複素数の定数である。方程式
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
の重複を込めた4つの解をα,β,γ,δとおくとき、|α|=|β|=|γ|=|δ|=1となるようにa,bを定めよ。
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
の重複を込めた4つの解をα,β,γ,δとおくとき、|α|=|β|=|γ|=|δ|=1となるようにa,bを定めよ。
>>91
解と係数との関係と δ＝1/(αβγ) から
2次の係数は実数、1次と3次の係数は共役
が導け、a, b はともに実数とわかる
b=-1 とすると2つの ±1 でない実数解が現れ不適
∴ (a, b)=(-1, 1), (1, 1)
解と係数との関係と δ＝1/(αβγ) から
2次の係数は実数、1次と3次の係数は共役
が導け、a, b はともに実数とわかる
b=-1 とすると2つの ±1 でない実数解が現れ不適
∴ (a, b)=(-1, 1), (1, 1)
与式より、α が解ならばその逆数 1/α も解である。
題意により｜α｜=1 だから 1/α = α' など。
∴ α が解ならばその共役 α' も解である。（±1と共役複素解に限る）
与式の係数（a,b）は実数である。
題意により（a,b）＝（±1, ±1)
ただし、aの符号が逆転しても左右が入れ替わるだけである。
b=1 のとき
ax = e^(i(2kπ/5)) (k=1～4)
b=-1 のとき
x^4 +ax^3 -xx +ax+1 =｛xx +（√13 +1)ax/2 +1}{xx -（√13 -1)ax/2 +1}
(√13 +1)/2 = 2.3027756 >2 実根 |α| < 1 < |β| となり題意に不適。
(√13 -1)/2 = 1.3027756 < 2 複素根
答 (a,b）=（±1, 1)
題意により｜α｜=1 だから 1/α = α' など。
∴ α が解ならばその共役 α' も解である。（±1と共役複素解に限る）
与式の係数（a,b）は実数である。
題意により（a,b）＝（±1, ±1)
ただし、aの符号が逆転しても左右が入れ替わるだけである。
b=1 のとき
ax = e^(i(2kπ/5)) (k=1～4)
b=-1 のとき
x^4 +ax^3 -xx +ax+1 =｛xx +（√13 +1)ax/2 +1}{xx -（√13 -1)ax/2 +1}
(√13 +1)/2 = 2.3027756 >2 実根 |α| < 1 < |β| となり題意に不適。
(√13 -1)/2 = 1.3027756 < 2 複素根
答 (a,b）=（±1, 1)
塩化ベンザルコニウムの分子式およびモル濃度は未知である。
シーブリーズのボトルタイプを買ってきてスプレータイプに適量入れ、カルピスをうすめる要領で満杯にしたい。スプレータイプが130mlだったとして適量は何mlか。
シーブリーズのボトルタイプを買ってきてスプレータイプに適量入れ、カルピスをうすめる要領で満杯にしたい。スプレータイプが130mlだったとして適量は何mlか。
3/5x-x=18の解法がわからないので頼みます
答え見てこの後3/2x=18になるらしいのですがここに至るまでの解き方が全然わかりません
3/2x=18まで行ければ両辺に2/3でわかるのですが...
答え見てこの後3/2x=18になるらしいのですがここに至るまでの解き方が全然わかりません
3/2x=18まで行ければ両辺に2/3でわかるのですが...
>>94
与式より、解α≠0
α^4 +aα^3 +bα^2 +aα +1 = 0,
を α^4（≠0)で割ると
1 + a/α +b/α^2 + a/α^3 + 1/α^4 = 0,
∴ 1/α も解。
与式より、解α≠0
α^4 +aα^3 +bα^2 +aα +1 = 0,
を α^4（≠0)で割ると
1 + a/α +b/α^2 + a/α^3 + 1/α^4 = 0,
∴ 1/α も解。
>>96
表記がおかしいんじゃないか？
3分の5は5/3だぞ
左辺は(5/3)x-xなんじゃないの？
それなら={(5/3)-1}x=(2/3)x
表記がおかしいんじゃないか？
3分の5は5/3だぞ
左辺は(5/3)x-xなんじゃないの？
それなら={(5/3)-1}x=(2/3)x
>>97
自己相反多項式ってやつですね
f(x) = x^(deg f) f(1/x)
が成り立つとき、 α ≠ 0 が f(x) の根なら、 1/α も f(x) の根になる
自己相反多項式ってやつですね
f(x) = x^(deg f) f(1/x)
が成り立つとき、 α ≠ 0 が f(x) の根なら、 1/α も f(x) の根になる
>>83
a = mm+nn,
b = pp+qq,
c = xx+yy,
の場合。
a' = mm-nn, a" = 2mn とおくと（a,a',a"）はピタゴラス数で、
a^2 ± 2a'a" = (a')^2 +（a")^2 ± 2a'a" =（a'±a")^2, は平方数。
題意より
a+b+c =（mm+nn）+（pp+qq）+（xx+yy),
2a'a" = 4mn(mm-nn),
2b'b" = 4pq(pp-qq),
2c'c" = 4xy(xx-yy),
はすべて等しい。
う～む。
a = mm+nn,
b = pp+qq,
c = xx+yy,
の場合。
a' = mm-nn, a" = 2mn とおくと（a,a',a"）はピタゴラス数で、
a^2 ± 2a'a" = (a')^2 +（a")^2 ± 2a'a" =（a'±a")^2, は平方数。
題意より
a+b+c =（mm+nn）+（pp+qq）+（xx+yy),
2a'a" = 4mn(mm-nn),
2b'b" = 4pq(pp-qq),
2c'c" = 4xy(xx-yy),
はすべて等しい。
う～む。
>>98
ご指摘の通り3分の5xでしたすみません
解説ありがとうございます、5/3-3/3で2/3になるという事だったんですね。おかげで理解できました、本当にありがとう
ご指摘の通り3分の5xでしたすみません
解説ありがとうございます、5/3-3/3で2/3になるという事だったんですね。おかげで理解できました、本当にありがとう
有限集合A:={αl,α2・ …,αn}の幕集合2^A の個数 #^2^A は
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
有限集合A:={αl,α2・ …,αn}の幕集合2^A の個数 #^2^A は
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
すまん、連投した
これ誰か教えてくれ
これ誰か教えてくれ
教えてほしいなら、コピペせずにちゃんとタイプしましょう
優しいエスパーだらけじゃないぞ
なお、ちゃんとタイプしても回答がもらえることは保証しない
優しいエスパーだらけじゃないぞ
なお、ちゃんとタイプしても回答がもらえることは保証しない
幕集合ってなんだよ
冪(ベキ)集合の濃度ならwikiにも説明あるぞ
2πはナゾだが
2πはナゾだが
幕集合ワロタ
何のpdfからコピペしたらそうなるんだよ
何のpdfからコピペしたらそうなるんだよ
>>109
有限集合だって言うんだから
濃度＝元の個数nについての数学的帰納法を使えばいいだけ違うん？
どこも難しくない
有限集合だって言うんだから
濃度＝元の個数nについての数学的帰納法を使えばいいだけ違うん？
どこも難しくない
1/2と1÷2
これって同じ意味だけど、それぞれの式に式としての名前（種類）ってある？
要するに横棒を使ってる式と操作記号を使ってる式のそれぞれの名称が知りたい
これって同じ意味だけど、それぞれの式に式としての名前（種類）ってある？
要するに横棒を使ってる式と操作記号を使ってる式のそれぞれの名称が知りたい
有限集合A：＝｛a1,a2,………an｝の冪集合2^Aの個数#^2^Aは
#^2^A = 2^#^A = 2^n
であることを証明せよ
打ち直してみた
>>115
具体的にどうすればいい？
#^2^A = 2^#^A = 2^n
であることを証明せよ
打ち直してみた
>>115
具体的にどうすればいい？
(#＾２＾)ﾂｰﾝ
微分可能なf(x,y)があったとき
x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
>>117
聞かないとわからんのかい？
n=#A とする
n=0 のとき A={}、2^A={{}}
#2^A = #{{}} = 1 = 2^0 = 2^n = 2^#A
n=k で #2^A = 2^#A = 2^n が成立するとき、
n=k+1 で A={a1, ..., ak, a(k+1)}
2^A = 2^{a1, ..., ak} ∪ {B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}}
#2^A = #2^{a1, ..., ak} + #{B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}} = 2^k + 2^k = 2^(k+1) = 2^n = 2^#A
∴#2^A = 2^#A □
聞かないとわからんのかい？
n=#A とする
n=0 のとき A={}、2^A={{}}
#2^A = #{{}} = 1 = 2^0 = 2^n = 2^#A
n=k で #2^A = 2^#A = 2^n が成立するとき、
n=k+1 で A={a1, ..., ak, a(k+1)}
2^A = 2^{a1, ..., ak} ∪ {B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}}
#2^A = #2^{a1, ..., ak} + #{B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}} = 2^k + 2^k = 2^(k+1) = 2^n = 2^#A
∴#2^A = 2^#A □
fは他変数の狭義凸関数とします
このとき(x,y,...,z)→f'(x,y,...,z)は単射になると思うのですが示し方を教えて下さい
このとき(x,y,...,z)→f'(x,y,...,z)は単射になると思うのですが示し方を教えて下さい
SL(n,R)の2つの元
cos(2π/5) -sin(2π/5)
sin(2π/5) cos(2π/5)
1 0
0 -1
で生成されるSL(n,R)の部分群の位数を求めよ
cos(2π/5) -sin(2π/5)
sin(2π/5) cos(2π/5)
1 0
0 -1
で生成されるSL(n,R)の部分群の位数を求めよ
{x^3+y^3+z^3≦1|x,y,z≧0} が凸集合というのはどうやって証明するのでしょうか？
図を書くと感覚的にわかるのですが不等式で説明することは難しいのでしょうか？
図を書くと感覚的にわかるのですが不等式で説明することは難しいのでしょうか？
問題文をタイプミスしたので修正します
{(x,y,z)∈R^3|x,y,z≧0, x^3+y^3+z^3≦1} が凸集合であることを示せ でした
{(x,y,z)∈R^3|x,y,z≧0, x^3+y^3+z^3≦1} が凸集合であることを示せ でした
n=2 と思われるので SL(2,R) として
[ cos(2π/m), -sin(2π/m) ]
[ sin(2π/m), cos(2π/m) ]
[1, 0]
[0,-1]
2π/m の回転と鏡映は正m角形を保つ。
∴ 二面体群Ｄ_m
mが奇数のとき 2m,
mが偶数のとき m,
[ cos(2π/m), -sin(2π/m) ]
[ sin(2π/m), cos(2π/m) ]
[1, 0]
[0,-1]
2π/m の回転と鏡映は正m角形を保つ。
∴ 二面体群Ｄ_m
mが奇数のとき 2m,
mが偶数のとき m,
出来るやつおらんか？
字汚くてすまん
字汚くてすまん
いないんじゃない
>>122
全微分可能とします
|∂f(x,y)/∂x|<φ(y)が成り立つならルベーグの収束定理から微分可能になると思うのですがそれを使うんですかね？
全微分可能とします
|∂f(x,y)/∂x|<φ(y)が成り立つならルベーグの収束定理から微分可能になると思うのですがそれを使うんですかね？
>>125
それに含まれる2点
P_0 (x_0, y_0, z_0)
P_1 (x_1, y_1, z_1)
を結んだ線分上の点を
P_λ ((1-λ)x0+λx1, (1-λ)y0+λy1, (1-λ)z0+λz1)
= (x_λ, y_λ, z_λ)
とする。ここに 0<λ<1. Jensenにより
(x_λ)^3 =｛(1-λ)x_0 + λx_1}^3 ≦（1-λ)(x_0)^3 + λ(x_1)^3,
3成分の和をとると
x^3+y^3+z^3 ≦（1-λ)(x0^3+y0^3+z0^3) + λ(x1^3+y1^3+z1^3)
≦（1-λ）+ λ
= 1
∴ 線分P0-P1上の点はすべてそれに含まれる。
∴ 凸集合。
それに含まれる2点
P_0 (x_0, y_0, z_0)
P_1 (x_1, y_1, z_1)
を結んだ線分上の点を
P_λ ((1-λ)x0+λx1, (1-λ)y0+λy1, (1-λ)z0+λz1)
= (x_λ, y_λ, z_λ)
とする。ここに 0<λ<1. Jensenにより
(x_λ)^3 =｛(1-λ)x_0 + λx_1}^3 ≦（1-λ)(x_0)^3 + λ(x_1)^3,
3成分の和をとると
x^3+y^3+z^3 ≦（1-λ)(x0^3+y0^3+z0^3) + λ(x1^3+y1^3+z1^3)
≦（1-λ）+ λ
= 1
∴ 線分P0-P1上の点はすべてそれに含まれる。
∴ 凸集合。
>>127
ddx/(dt)^2 + 3(dx/dt）+ 2x = 5
を次のように2元連立の微分方程式に変形した
場合、以下の問に答えよ。
dx/dt = y, ････（1)
dy/dt = -2x -3y + 5, ････（2)
(1）+（2）より
d(x+y)/dt = -2(x+y）+5,
x + y = C e^(-2t) + 5/2,
(1)*2 +（2）より
d(2x+y)/dt = -（2x+y）+5,
2x + y = C' e^(-t）+ 5,
辺々引いて
x(t）= C' e^(-t）- C e^(-2t) + 5/2,
ddx/(dt)^2 + 3(dx/dt）+ 2x = 5
を次のように2元連立の微分方程式に変形した
場合、以下の問に答えよ。
dx/dt = y, ････（1)
dy/dt = -2x -3y + 5, ････（2)
(1）+（2）より
d(x+y)/dt = -2(x+y）+5,
x + y = C e^(-2t) + 5/2,
(1)*2 +（2）より
d(2x+y)/dt = -（2x+y）+5,
2x + y = C' e^(-t）+ 5,
辺々引いて
x(t）= C' e^(-t）- C e^(-2t) + 5/2,
問いはどれだよ
>>132
そんなに凝視(みつ)めるな わかい友
････
問ひはそのままに答へであり
堪へる痛みもすでにひとつの睡眠(ねむり)だ。
････
伊藤静雄「そんなに凝視(みつ)めるな」より
「知性」 1939年12月号に発表。
第４詩集「反響」(1947/Nov) /「凝視と陶醉」の部
「伊藤静雄 詩集」新潮文庫 (1957/May) 桑原武夫・富士正晴 編
「伊藤静雄 詩集」岩波文庫 (緑125-1) (1989/Aug) 杉本秀太郎 編
そんなに凝視(みつ)めるな わかい友
････
問ひはそのままに答へであり
堪へる痛みもすでにひとつの睡眠(ねむり)だ。
････
伊藤静雄「そんなに凝視(みつ)めるな」より
「知性」 1939年12月号に発表。
第４詩集「反響」(1947/Nov) /「凝視と陶醉」の部
「伊藤静雄 詩集」新潮文庫 (1957/May) 桑原武夫・富士正晴 編
「伊藤静雄 詩集」岩波文庫 (緑125-1) (1989/Aug) 杉本秀太郎 編
訂正
× 伊藤静雄
○ 伊東静雄（1906/12/10～1953/03/12）
× 伊藤静雄
○ 伊東静雄（1906/12/10～1953/03/12）
行列の問題なんですけれど
「tAA=Aならば、Aは冪等かつ対称行列である事を示せ。」って言うのがわかりません。
Aが正則行列の時は右側からA^-1を掛ければ良いというのは分かるんですけど、Aが特異行列の時は分かりません。
「tAA=Aならば、Aは冪等かつ対称行列である事を示せ。」って言うのがわかりません。
Aが正則行列の時は右側からA^-1を掛ければ良いというのは分かるんですけど、Aが特異行列の時は分かりません。
なぜ右側からA^-1を掛ければ良いと思ったのだろう
非自明な例: A を全成分が 1/2 の2次正方行列とすれば、 tAA = A を満たす
. ⬜⬜⬜３
⬜⬜⬜）⬜⬜⬜７⬜⬜
⬜０⬜
⬜⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜８
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜３
⬜⬜⬜）⬜⬜⬜７⬜⬜
⬜０⬜
⬜⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜８
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜３
>>143
p,qにおける微分が等しいときp,qにおける接平面で分けられる閉半空間のうち、曲面Sを含む側をD,Eとする。
D⊂Eとしてよい。E⊂Dでないとすると∂E∩D=φであるから特にqはDに含まれない。
これはDがSを含む事に反する。
∴D=E
∴{p}=∂D∩S=∂E∩S={q}
p,qにおける微分が等しいときp,qにおける接平面で分けられる閉半空間のうち、曲面Sを含む側をD,Eとする。
D⊂Eとしてよい。E⊂Dでないとすると∂E∩D=φであるから特にqはDに含まれない。
これはDがSを含む事に反する。
∴D=E
∴{p}=∂D∩S=∂E∩S={q}
フーリエ解析で、下記のように2変数関数u(x,t)をu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離せよと指示のある問題がありました
問題では触れられていませんが、2変数関数を1変数関数の積として表すことは常に可能なのでしょうか。よろしくおねがいします。
（略記して引用）
u(x,t)は位置xの時刻tでの温度を表し、kは正の定数である。
1次元の熱伝導は、偏微分方程式du/dt=k{d^2(u)/d(x^2)}で記述される。
t0に対し、0�x�ﾎでの1次元の熱伝導を
境界条件：u(0,t)=u(π,t)=0
初期条件：u(x,0)=x(π-x)
のもとで考える。以下の問に答えよ。
(1)u(x,t)をxのみに依存する関数X(x)とtのみに依存する関数T(t)を用いてu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離する。
（以下略）
問題では触れられていませんが、2変数関数を1変数関数の積として表すことは常に可能なのでしょうか。よろしくおねがいします。
（略記して引用）
u(x,t)は位置xの時刻tでの温度を表し、kは正の定数である。
1次元の熱伝導は、偏微分方程式du/dt=k{d^2(u)/d(x^2)}で記述される。
t0に対し、0�x�ﾎでの1次元の熱伝導を
境界条件：u(0,t)=u(π,t)=0
初期条件：u(x,0)=x(π-x)
のもとで考える。以下の問に答えよ。
(1)u(x,t)をxのみに依存する関数X(x)とtのみに依存する関数T(t)を用いてu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離する。
（以下略）
できないに決まっとる
積で表わした関数の無限和なら表わせるから
その1要素を求めただけだ
積で表わした関数の無限和なら表わせるから
その1要素を求めただけだ
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(x)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(x)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
yがない
a,b,cを三角形の辺の長さとし
Max{ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)} が最小となるようなx,y (0<x<1, y>1, xy<1)
を求めたいのですがどうやればよいのでしょうか
Max{ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)} が最小となるようなx,y (0<x<1, y>1, xy<1)
を求めたいのですがどうやればよいのでしょうか
すいません修正しました
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
>>153
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。
よろしくお願いします。
>>154
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？
ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？
ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない
>>157
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。
209700 ÷ 109 = 1923...93
>>148
除数も商も余りも合ってるのに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。
そういう芸風かなぁ。
除数も商も余りも合ってるのに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。
そういう芸風かなぁ。
次の微分方程式の解を級数の形で表せ。
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2
虫食い箇所が多すぎてプログラムを組む意欲も起きなかったなぁ。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。
>>119
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h
nは4以上の自然数とする。
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。
>>119
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。
まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。
きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。
まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。
きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。
台形ABCD（AD//BC,∠C＝∠D＝９０度)の対角線ACとBDの交点をE、
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを
底辺と高さが同じ三角形をたくさん描いて
それを同じ高さのとこで切ってみよう
それを同じ高さのとこで切ってみよう
AD と FG の距離 をp、FG と BC の距離をq とする。
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.
なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.
なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).
笠原 微分積分学 96頁
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せばあとは無限小となる。だから、
f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)}
となる理由がわかりません。
教えてください。
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せばあとは無限小となる。だから、
f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)}
となる理由がわかりません。
教えてください。
>>177
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }
δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }
δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}
Tax=ax(1-x)、X=Iについて、0<a<1とするとき、x=0は漸近安定であることを示せ。
タックスヘイヴン
>>172
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
(BM/MC）= 1,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
(BM/MC）= 1,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
質問です。よろしくお願いします。
命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？
もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？
さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？
命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？
もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？
さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？
>>172
ABの延長線とCDの延長線の交点をXとおく。
AD < BC としてもよい。
題意より
AD//BC
(XA/AB）=（XD/DC) ･･･ (*)
対角線ACと△BMX についてメネラウスの定理より
(XA/AB)(BC/CM)(ME/EX）= 1,
対角線BDと△CMX についてメネラウスの定理より
(XD/DC)(CB/BM)(ME/EX）= 1.
辺々割るとチェヴァの定理になる。
(*）を使えば
BM = MC,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
ABの延長線とCDの延長線の交点をXとおく。
AD < BC としてもよい。
題意より
AD//BC
(XA/AB）=（XD/DC) ･･･ (*)
対角線ACと△BMX についてメネラウスの定理より
(XA/AB)(BC/CM)(ME/EX）= 1,
対角線BDと△CMX についてメネラウスの定理より
(XD/DC)(CB/BM)(ME/EX）= 1.
辺々割るとチェヴァの定理になる。
(*）を使えば
BM = MC,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
対偶命題「Pでない⇒Qでない」 P，Q逆では？
>>152
題意より
ay/(y-1）> a,
b/(1-xy）> b,
c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
ay/(y-1）→ a,
b/(1-xy）→ b,
c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。
題意より
ay/(y-1）> a,
b/(1-xy）> b,
c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
ay/(y-1）→ a,
b/(1-xy）→ b,
c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。
次の等式を成立させる非負整数a,bが存在することを示せ。
331777=(2^a)(3^b)+1
331777=(2^a)(3^b)+1
331777 = 331775 + 2
= 25･13271 + 2
= 25･23･577 + 2
=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
= 24^4 + 1
=（2^3･3)^4 + 1
= (2^12)(3^4) + 1,
a=12, b=4
= 25･13271 + 2
= 25･23･577 + 2
=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
= 24^4 + 1
=（2^3･3)^4 + 1
= (2^12)(3^4) + 1,
a=12, b=4
331776を素因数分解するだけと違うのか
局所系係数のホモロジーの計算例の中で以下のような式が出てきたのですが
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います
Sを2単体⊿^2上の加群の局所系として、⊿^2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)
自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺はプラスになるのではないかと考えたのですが
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います
Sを2単体⊿^2上の加群の局所系として、⊿^2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)
自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺はプラスになるのではないかと考えたのですが
>>190ですが条件を勘違いしていました
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します
>>182
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね
命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね
命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います
6桁の整数A=331777を考える。
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。
N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。
N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。
>>194
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます
>>186
0<ε<1 に対して
xy = 1/y < ε/2,
とすれば
x < (ε/2)^2 < ε/2,
Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),
0<ε<1 に対して
xy = 1/y < ε/2,
とすれば
x < (ε/2)^2 < ε/2,
Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),
Sを自己交差がなくて凸な閉曲線とする
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します
∫ cos(sin(x)-nx) dxは特殊関数でしょうか。そうだとしたら何か有名な名前がついているのでしょうか。
>>198
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね
perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
http://emis.matem.unam.mx/journals/JIPAM/images/016_99_JIPAM/016_99.pdf
にリストがありました。
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね
perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
http://emis.matem.unam.mx/journals/JIPAM/images/016_99_JIPAM/016_99.pdf
にリストがありました。
>>197
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？
二つの全単射 f:X→Y,g:Y→Zについて
（g○f）^－１=ｆ^－１○g^－１
を証明せよ
（g○f）^－１=ｆ^－１○g^－１
を証明せよ
すみません、どなたか教えてください
gof(x)=g(f(x)) くらい自明な式に見えるけど
>>203
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした
ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした
ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう
>>204
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。
書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)
任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x
任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。
書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)
任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x
任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z
>>199
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。
g○f≠g(f(x))となる例はありますか？
(g○f)(x) の定義を述べよ
(f○g)○h≠f○(g○h)となるような例はありますか
((f○g)○h)(x) と (f○(g○h))(x) の定義を述べよ
>>199
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな
次の問題が全く分かりません。
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。
（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。
（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。
ググれば出てくるけど、{0^n 1^n | n≧1}の応用
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう
https://www.classes.cs.uchicago.edu/archive/2015/winter/28000-1/Lec13.pdf
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう
https://www.classes.cs.uchicago.edu/archive/2015/winter/28000-1/Lec13.pdf
>>219
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう
「ある実数列についてコーシー列ならば収束列であり収束列ならばコーシー列であることを示せ」
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？
ε=0のときが言えてしまうなら、N<n, mですべてのn, mのときにa_n = a_mがいえてることになるわけど
そんな強い主張はしてない
そんな強い主張はしてない
極限の定義だからしょうがない
εが近いときという定義ができない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない
てことは定数列はコーシー列じゃないんですね
ありがとうごさいました
ありがとうごさいました
ワロタ
四次元対称群S4の元(1,2,3,4)で生成される部分群Hを考える。S4のHによる右剰余類で(1,2)を含むものの元を全て書け。
ただの計算問題
詳しくも何も…
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ
任意の ε>0 に対応して番号Nが定められて
m>N, n>N なるとき |a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第１章、§6 p.11 定理8
m>N, n>N なるとき |a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第１章、§6 p.11 定理8
なんで「俗に」と断ってるのかと思ったらカントールが導入したからなのか
コーシーの収束判定法が前にあったのね
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。
微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
>>239
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。
連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。
連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？
>>239
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能
にゃるほど
>>240－241
ありがとうございました。
開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？
1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。
2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。
ありがとうございました。
開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？
1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。
2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。
正規分布N(μ,σ^2)に従うX1,...,Xnがあったとき、対数尤度関数のヘッセ行列が半負定値だということは示せますか？
>>216
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。
同次形微分方程式
(1)dy/dx＝2y/x+x/y
(2)dy/dx＝x+2y/2x+y
一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式
(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx
(2)dy/dx-2xy＝e^x2
(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？
(1)dy/dx＝2y/x+x/y
(2)dy/dx＝x+2y/2x+y
一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式
(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx
(2)dy/dx-2xy＝e^x2
(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？
大学の課題は自力でやれ
局所系の係数版のポアンカレ双対定理を円周S^1について直接計算して確かめろという問題がわからず困っています
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました
しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました
しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください
lim(1+2^n)^1/n
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；
上から抑えるのに1+2^n≦2^n+2^n=2^(n+1)を使う
下からは1を落とせばいい
下からは1を落とせばいい
２項公式から
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････
∴ 2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････
∴ 2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),
>246
大学の課題は「大学学部レヴェル質問スレ」でやれ
と言いたいが生憎 複素函数論の入口辺りで渋滞してるので･･･
同次形
(1) は y(x) = x･u(x) とおけば
dy/dx = u(x) + x(du/dx),
y(x) = ±x√(Cxx-1), (C>0)
(2) は x-y=u, x+y=v とおけば
dy/dx = {(dv/du)-1}/{(dv/du)+1},
(x+2y)(2x+y) = (3v-u)/(3v+u),
より
dv/du = 3v/u,
v = Cu^3,
x+y = C(x-y)^3,
一階線形方程式は
(1)
{y･e^(2sin(x))} ' = e^(2sin(x))sin(x)cos(x),
y･e^(2sin(x)) = (1/4){2sin(x)-1} e^(2sin(x)) + C,
y = (1/4){2sin(x)-1} + C･e^(-2sin(x)),
(2)
{y･e^(-xx)} ' = 1,
y･e^(-xx) = x + C,
y(x) = (x+C)e^(xx),
(3)
非線型項 y^n があれば y^(1-n) = u(x) とおく。
本問では 1/yy = u(x)
du/dx -2u = -6 e^x,
{u･e^(-2x)} ' = -6 e^(-x),
u･e^(-2x) = 6 e^(-x) + C,
1/yy = u(x) = 6 e^x + C e^(2x),
大学の課題は「大学学部レヴェル質問スレ」でやれ
と言いたいが生憎 複素函数論の入口辺りで渋滞してるので･･･
同次形
(1) は y(x) = x･u(x) とおけば
dy/dx = u(x) + x(du/dx),
y(x) = ±x√(Cxx-1), (C>0)
(2) は x-y=u, x+y=v とおけば
dy/dx = {(dv/du)-1}/{(dv/du)+1},
(x+2y)(2x+y) = (3v-u)/(3v+u),
より
dv/du = 3v/u,
v = Cu^3,
x+y = C(x-y)^3,
一階線形方程式は
(1)
{y･e^(2sin(x))} ' = e^(2sin(x))sin(x)cos(x),
y･e^(2sin(x)) = (1/4){2sin(x)-1} e^(2sin(x)) + C,
y = (1/4){2sin(x)-1} + C･e^(-2sin(x)),
(2)
{y･e^(-xx)} ' = 1,
y･e^(-xx) = x + C,
y(x) = (x+C)e^(xx),
(3)
非線型項 y^n があれば y^(1-n) = u(x) とおく。
本問では 1/yy = u(x)
du/dx -2u = -6 e^x,
{u･e^(-2x)} ' = -6 e^(-x),
u･e^(-2x) = 6 e^(-x) + C,
1/yy = u(x) = 6 e^x + C e^(2x),
>252
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！
統計学です！解いて欲しいです！
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。
（1）p=2αを示せ。
（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。
（1）p=2αを示せ。
（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。
>>255
1億回シミュレーションして検算
> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068
1億回シミュレーションして検算
> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068
グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。
>>260
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0
f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)
f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0
f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)
f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)
>>261
>f''(m)<0 かつ f''(M)>0
なぜ？
これは極大極小の必要条件ではないはず
>f''(m)<0 かつ f''(M)>0
なぜ？
これは極大極小の必要条件ではないはず
範囲Dが√x+√y ≦ 1, x≧0, y≧0で
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．
>>260
3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
f(m)>f(M) で決めることになる。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9 と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b が この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9) が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M) ならば、m<M がいえる。
二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
f(m)>f(M) で決めることになる。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9 と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b が この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9) が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M) ならば、m<M がいえる。
二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
離散力学系について質問です。
T^px=T'(T^(p-1)x)T'(T^(p-2)x)...T'(x)を示せ
T^px=T'(T^(p-1)x)T'(T^(p-2)x)...T'(x)を示せ
>>259
ウォルフラム先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&;lang=ja
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
ウォルフラム先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&;lang=ja
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&;lang=ja
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
∫1/(x^4-x^3)^(1/2)dxが分かりません
>>268
正規分布近似が精度が低いなぁ
> pnorm(0.33,0.3,sqrt(0.00021),lower=F)
[1] 0.019216965118390775
正規分布近似が精度が低いなぁ
> pnorm(0.33,0.3,sqrt(0.00021),lower=F)
[1] 0.019216965118390775
>>265
興味深い議論だが、
>3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
>f(m)>f(M) で決めることになる。
>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？
興味深い議論だが、
>3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
>f(m)>f(M) で決めることになる。
>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？
>>262
この方針による証明も書いておこう
まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。
この方針による証明も書いておこう
まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。
>>260
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■
ちなみに f(m) > f(M) は m < M と同値です
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
>>274
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。
このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。
極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、 極大値 ＞ 極小値 で確定。
四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。
このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。
極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、 極大値 ＞ 極小値 で確定。
四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。
cos(π/4)^4=1/4 sin(π/4)^4=1/4
>>72
> re=0
> for(b in 2:5){
+ re = re + choose(7,b)*choose(5,5-b)
+ }
> re
[1] 756
> re=0
> for(b in 2:5){
+ re = re + choose(7,b)*choose(5,5-b)
+ }
> re
[1] 756
>>286
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。
> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。
> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951
X=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)
xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)
xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？
>>280
さらに言えば
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、 f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない
さらに言えば
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、 f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない
>>289
>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない
なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。
二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
この二点の傾きは、
{f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9)
これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという
問題の設定から、f'(x)=0 →、3x^2+2ax+b=0 の解 が二つの実数解を持つ
という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。 というだけ。
投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。
それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、
反論の為の反論を行うのは止めなさい。
>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない
なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。
二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
この二点の傾きは、
{f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9)
これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという
問題の設定から、f'(x)=0 →、3x^2+2ax+b=0 の解 が二つの実数解を持つ
という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。 というだけ。
投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。
それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、
反論の為の反論を行うのは止めなさい。
260の証明になっていないと思っているのはあなただけではないだろうか？
260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。
つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値 ＞ 極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。
しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c としたとき、
a,b,c 等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？ と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。
260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。
つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値 ＞ 極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。
しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c としたとき、
a,b,c 等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？ と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。
×：「停留点に於ける微係数が負なら極大」
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します
投稿者が納得するかと数学的な証明になっているかというのは異なる
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ
そやねー
2次関数なら「平方完成」によってちょうど1つの極値点を持つことと、
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？
>>299
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも
>>300
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない
確率論がまったくわからないので教えてください！
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）
上記の公理を使いP（A^C）＝1－P（A）を証明せよ
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）
上記の公理を使いP（A^C）＝1－P（A）を証明せよ
もし俺が知っている公理と同じなら、補集合の定義を考えれば明らかだが
整数b,cで、b^2-4c≧0を満たすものを考える。
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。
>>260
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c
x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）
pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d) のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、√(a^2-3bd)>0 なので、極小
従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d , M={-a+√(a^2-3bd)}/3d となる。
dが正なら、m<M だし、dが負なら、m>Mとなる
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c
x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）
pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d) のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、√(a^2-3bd)>0 なので、極小
従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d , M={-a+√(a^2-3bd)}/3d となる。
dが正なら、m<M だし、dが負なら、m>Mとなる
>>302
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)
>>310
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？
>>309
(-1+√33)/8 = 0.593070
f(x) = xx +bx +c とおくと、題意より
f((-1+√33)/8)･f(0.6) < 0,
これより
(b,c) = (-(9+5n),5+3n) |b|+|c| = 14+8n,
(b,c) = (23+5n,-(14+3n)) |b|+|c| = 37+8n,
は題意を満たす。nは非負整数 (n≧0)。
最小の解は
(b,c) = (-9,5), |b|+|c| = 14, (9-√61)/2 = 0.594875
(-1+√33)/8 = 0.593070
f(x) = xx +bx +c とおくと、題意より
f((-1+√33)/8)･f(0.6) < 0,
これより
(b,c) = (-(9+5n),5+3n) |b|+|c| = 14+8n,
(b,c) = (23+5n,-(14+3n)) |b|+|c| = 37+8n,
は題意を満たす。nは非負整数 (n≧0)。
最小の解は
(b,c) = (-9,5), |b|+|c| = 14, (9-√61)/2 = 0.594875
>>312
> 基準となる量を明示的に書けますか？
そりゃあ書けるでしょ。
例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。
でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？
> 基準となる量を明示的に書けますか？
そりゃあ書けるでしょ。
例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。
でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？
1から6の目が等確率で出るサイコロをn回振ったときの、k回目（k=1,2,...,n）に出た目をa[k]とする。
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。
期待値の極限？
(0.777…) / 2 じゃなくて？
(0.777…) / 2 じゃなくて？
シミュレーションしてみた。
> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493
7/18でいいみたい。
> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493
7/18でいいみたい。
k桁目とk+1桁目の和の期待値が7だからか。
なるほどね。
なるほどね。
実数を成分とし,
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。
どのように説明すればいい？
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。
どのように説明すればいい？
1秒考えてベクトル空間になるわけないとわかる
SL(2,R) も SO(2) も和については閉じてないんぢゃ？
[ cosθ, sinθ] + [cosθ, -sinθ] = [2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ] [sinθ, cosθ] [0, 2cosθ]
行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,
思い違いかな？
[ cosθ, sinθ] + [cosθ, -sinθ] = [2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ] [sinθ, cosθ] [0, 2cosθ]
行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,
思い違いかな？
ここにいる人って自分の興味で数学勉強してるの?
それとも学業とか仕事なのかな
それとも学業とか仕事なのかな
>>322
実数倍についても閉じてない。
det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,
ケッタイな問題だな。
実数倍についても閉じてない。
det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,
ケッタイな問題だな。
>>319
各桁の期待値が(1+2+..+5+6)/6=3.5で0.77777..../2の方がわかりやすいな。
各桁の期待値が(1+2+..+5+6)/6=3.5で0.77777..../2の方がわかりやすいな。
三角形ABCの内接円のBC,CA,AB上の接点を各々D,E,Fとする.
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。
微分の定義
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ
証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ
証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください
随分と変わった定義だな
>>328
最初は恐らくlim ⊿y→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う
最初は恐らくlim ⊿y→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う
⊿y→0が⊿x→0の誤りじゃないかってことね
同じ記号が使われていても、文脈によって意味が変わるってことだろ
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ
そもそも何の証明でその仮定は何かというのを聞いたらダメなのか
チェインルールの話っぽいが
最初の△ｙ→０は間違いでした
おっしゃるとおり△ｘ→０です
証明ですが
二つの関数ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ),ｚ＝ｇ(ｙ)の合成
ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ)→ｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ)
の微分を考える。ｘを△ｘ増分させると
ｘ＋△ｘ→ｙ＋△ｙ＝ｆ(ｘ＋△ｘ)→
→ｚ＋△ｚ＝ｇ(ｙ＋△ｙ)＝ｇ(ｆ(ｘ＋△ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ＋△ｘ)
となり、△ｘ→０⇒△ｙ→０⇒ｚ→０に注意して
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)
＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝ｄｚ/ｄｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｘ]△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｙ]△ｙ/△ｘ
＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
即ち
ｄｚ/ｄｘ＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
詳しい記法では
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝[ｄ/ｄｙ・ｇ(ｙ)]・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)｝
・ｄ/ｄｘ・ｆ(ｘ)
ここで記法「・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)}」の意味は・・・の中の計算が完了してから
・・・の中のｙにｆ(ｘ)を代入するということである。
おっしゃるとおり△ｘ→０です
証明ですが
二つの関数ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ),ｚ＝ｇ(ｙ)の合成
ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ)→ｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ)
の微分を考える。ｘを△ｘ増分させると
ｘ＋△ｘ→ｙ＋△ｙ＝ｆ(ｘ＋△ｘ)→
→ｚ＋△ｚ＝ｇ(ｙ＋△ｙ)＝ｇ(ｆ(ｘ＋△ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ＋△ｘ)
となり、△ｘ→０⇒△ｙ→０⇒ｚ→０に注意して
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)
＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝ｄｚ/ｄｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｘ]△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｙ]△ｙ/△ｘ
＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
即ち
ｄｚ/ｄｘ＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
詳しい記法では
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝[ｄ/ｄｙ・ｇ(ｙ)]・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)｝
・ｄ/ｄｘ・ｆ(ｘ)
ここで記法「・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)}」の意味は・・・の中の計算が完了してから
・・・の中のｙにｆ(ｘ)を代入するということである。
なんだ、合成関数の微分か
それならその「証明」ではダメで、有名な回避方法がある
記号の使い方がイマイチなのが気になるが
それならその「証明」ではダメで、有名な回避方法がある
記号の使い方がイマイチなのが気になるが
>>337
微分の定義を、商を使わない形に書き換える
解析概論に載っている方法なら、 y = f(x) について、 Δx ≠ 0 のとき
Δy = f'(x)Δx + εΔx
と置くと、 x を固定すれば、 Δx → 0 のとき ε → 0 になる
ただし、 Δx = 0 のときは ε = 0 と定義する
逆に、 Δx ≠ 0 のとき、A = A(x) を x に依存するが Δx には依存しない定数として
Δy = AΔx + εΔx
かつ Δx → 0 のとき ε → 0 と仮定すると、 A = f'(x) が成り立つ
微分の定義を、商を使わない形に書き換える
解析概論に載っている方法なら、 y = f(x) について、 Δx ≠ 0 のとき
Δy = f'(x)Δx + εΔx
と置くと、 x を固定すれば、 Δx → 0 のとき ε → 0 になる
ただし、 Δx = 0 のときは ε = 0 と定義する
逆に、 Δx ≠ 0 のとき、A = A(x) を x に依存するが Δx には依存しない定数として
Δy = AΔx + εΔx
かつ Δx → 0 のとき ε → 0 と仮定すると、 A = f'(x) が成り立つ
ボードゲームの必勝法の存在等の質問はどこでしたらいいですか?
総論的な話ならここでいいんじゃないでしょうか
コネクト4(7x6の重力つき四目ならべ)が先手必勝であると証明されているとwikipediaに記載がありました。
重力つき四目ならべのルールは...
タテヨコのマス目に下に地面が存在
2人のプレイヤーが交互に、コマをおく
列を作るために下にコマがない場所(空中)にコマを置く事は出来ない
タテ・ヨコ・ナナメのいずれかに4個ないしそれ以上の数を先に列を作れば勝利
1.実際にその論文を読む方法、読んだ方、説明・要約できる方等について聞きたいです。
また、コンピューターで総当たりした等の証明ですか?
2.先手必勝である理由は、盤面が有限だからという事が関わってきますか?
3.高さが無限であれば、先手必勝ではなく最善手同士ならば永久に勝負がつかないですか?
またはそのようにあなたは予測しますか?
4.左右も無限である場合の予測はどうですか。
5.コネクト4(7x6マスの玩具)に限った話で、終盤でのハメ手の例を思いついたら教えて下さい。
0.ルールの記載に不備ありましたら、指摘と意図を汲んだ修正をお願いします。
重力つき四目ならべのルールは...
タテヨコのマス目に下に地面が存在
2人のプレイヤーが交互に、コマをおく
列を作るために下にコマがない場所(空中)にコマを置く事は出来ない
タテ・ヨコ・ナナメのいずれかに4個ないしそれ以上の数を先に列を作れば勝利
1.実際にその論文を読む方法、読んだ方、説明・要約できる方等について聞きたいです。
また、コンピューターで総当たりした等の証明ですか?
2.先手必勝である理由は、盤面が有限だからという事が関わってきますか?
3.高さが無限であれば、先手必勝ではなく最善手同士ならば永久に勝負がつかないですか?
またはそのようにあなたは予測しますか?
4.左右も無限である場合の予測はどうですか。
5.コネクト4(7x6マスの玩具)に限った話で、終盤でのハメ手の例を思いついたら教えて下さい。
0.ルールの記載に不備ありましたら、指摘と意図を汲んだ修正をお願いします。
>>341
まさにそのwikipediaにリンクが張られているんだから読めばいいやん。
https://tromp.github.io/c4/c4.html
まさにそのwikipediaにリンクが張られているんだから読めばいいやん。
https://tromp.github.io/c4/c4.html
ベルトランの仮設の拡張として
nとmを1以上の整数としたときに
mn<p<(m+1)n (1≦m≦n)
となる素数pが少なくとも一つ存在する
という命題が成立すると考えられます。
nとmを1以上の整数としたときに
mn<p<(m+1)n (1≦m≦n)
となる素数pが少なくとも一つ存在する
という命題が成立すると考えられます。
アホは○○○、○○○ばかり言っているが
整数論は、その学者しかいないと思っているんだろうか？
笑える
整数論は、その学者しかいないと思っているんだろうか？
笑える
>>281
チョト改良････
μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},
σ^2 = (n+1)p(1-p),
非対称な（歪度≠0）ものを対称関数で近似するのはナニだが。
チョト改良････
μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},
σ^2 = (n+1)p(1-p),
非対称な（歪度≠0）ものを対称関数で近似するのはナニだが。
放物線y=x^2と、y軸上に中心がある円x^2+(y-a)^2=r^2が接するような実数a,rの条件を求める問題が出ました。
円の式に放物線の式を代入して
y+(y-a)^2=r^2
とyの方程式を作りました。
そこから(i)2点で接する場合、(ii)1点で接する場合に分けて、それぞれ異なる2実数解・重解を持つようにa,rを定めたのですが、答案はバツでした。
何か致命的な勘違いをしているのでしょうか。よろしくお願いします。
円の式に放物線の式を代入して
y+(y-a)^2=r^2
とyの方程式を作りました。
そこから(i)2点で接する場合、(ii)1点で接する場合に分けて、それぞれ異なる2実数解・重解を持つようにa,rを定めたのですが、答案はバツでした。
何か致命的な勘違いをしているのでしょうか。よろしくお願いします。
（どうして採点者に聞かないんだろう…）
>>348
横だけど、作った方程式ってあってる?
1点の場合って多分原点だよね?
先に場合分けした方がいいかもしれん?
横だけど、作った方程式ってあってる?
1点の場合って多分原点だよね?
先に場合分けした方がいいかもしれん?
接してるのか交わってるのか区別つかんよね
まあ、1交点はたまたま1接点になるけど
まあ、1交点はたまたま1接点になるけど
>>348
その方針からスタートして誤答ではない答案を作成することは可能なため、あなたのその書き込みからバツの原因は特定できません。
その方針からスタートして誤答ではない答案を作成することは可能なため、あなたのその書き込みからバツの原因は特定できません。
nは自然数とする。
nの2以上の約数dで、(n^2+1)/dが整数となるようなdを全て求めよ。
nの2以上の約数dで、(n^2+1)/dが整数となるようなdを全て求めよ。
>>355
存在しない
(n^2+1)/d=((n^2)/d)+(1/d)
(n^2)/dは整数で(1/d)は整数でないからその和が整数となることはない。
存在しない
(n^2+1)/d=((n^2)/d)+(1/d)
(n^2)/dは整数で(1/d)は整数でないからその和が整数となることはない。
1
>>358
２点で接するなら
接点(p,p^2)
2p*(p^2-a)/p=-1
2(p^2-a)=-1
p^2=a-1/2
x^2+(y-a)^2=r^2
p^2+(p^2-a)^2=r^2
a-1/2 + (-1/2)^2=r^2
a=r^2+1/4
かなぁ？
２点で接するなら
接点(p,p^2)
2p*(p^2-a)/p=-1
2(p^2-a)=-1
p^2=a-1/2
x^2+(y-a)^2=r^2
p^2+(p^2-a)^2=r^2
a-1/2 + (-1/2)^2=r^2
a=r^2+1/4
かなぁ？
接点１箇所ならa=-r
接点１箇所交点２箇所ならa=r
接点１箇所交点２箇所ならa=r
xyz空間の放物線z=x^2(y=0)の0≦x≦1の部分をz軸の周りに一回転してできる曲面をCとする。
いま、曲面Cで囲まれる領域D(0≦z≦1)にz軸の正の方向から水を注いでいっぱいにする。z軸の正の方向からDに球を近づけていき、Cに接するまで水の中に沈めていく。
（1）球がDに完全に沈み込むような、球の半径の最大値を求めよ。
（2）球の半径をrとする。Dからあふれ出す水の量をrで表せ。
いま、曲面Cで囲まれる領域D(0≦z≦1)にz軸の正の方向から水を注いでいっぱいにする。z軸の正の方向からDに球を近づけていき、Cに接するまで水の中に沈めていく。
（1）球がDに完全に沈み込むような、球の半径の最大値を求めよ。
（2）球の半径をrとする。Dからあふれ出す水の量をrで表せ。
知ってる人も居るかも知れんが、わしはこの答えに納得してない
２種類のくじがあり、一方は一万分の一の確率で「当たり」があり、
もう一つは、百分の一の確率で「当たり」があるとする。
この２種類のくじを一つづつ引いて、どちらかが「当たり」だったとする。
引いた当たりは、どちらの「当たり」であった可能性が高いか？
当然、百分の一で起こる当たりの可能性の方が高いと考えるだろう。
希にしか起こらないことを「当たり」と呼ぶこととしよう。
陽性と判定されるのは、
実際に感染していて、検査も正しく判定された場合と、
実際には感染していないが、検査が誤った場合がある。
実際に感染している「１万分の１の当たり」か、誤判定という「１００分の１の当たり」か
どちらを引いたと考える方が、可能性が高いと考えられるか？
もう一つは、百分の一の確率で「当たり」があるとする。
この２種類のくじを一つづつ引いて、どちらかが「当たり」だったとする。
引いた当たりは、どちらの「当たり」であった可能性が高いか？
当然、百分の一で起こる当たりの可能性の方が高いと考えるだろう。
希にしか起こらないことを「当たり」と呼ぶこととしよう。
陽性と判定されるのは、
実際に感染していて、検査も正しく判定された場合と、
実際には感染していないが、検査が誤った場合がある。
実際に感染している「１万分の１の当たり」か、誤判定という「１００分の１の当たり」か
どちらを引いたと考える方が、可能性が高いと考えられるか？
まあ、心にストンと落ちるとは限らんよね
人間心理というか、脳のヒューリスティックな「論理学」や「確率論」は多分に本能的な感覚なんだから
人間心理というか、脳のヒューリスティックな「論理学」や「確率論」は多分に本能的な感覚なんだから
精度って(TP+TN)/(TP+TN+FP+FN)が定義だけど
どういう意味で使っているのだろう？
どういう意味で使っているのだろう？
作図の練習
>>365
ベイズ統計学はまさにそれだよね。
CIは信頼区間confidence intervalじゃなくて信用区間credibility intervalと区別する人もいるくらい。
ベイズ統計学はまさにそれだよね。
CIは信頼区間confidence intervalじゃなくて信用区間credibility intervalと区別する人もいるくらい。
数学は門外漢なんだが、『1万人に1人』感染するのなら0.01%だろ？
それが100%でない検査受けたら1%って、なんで100倍になってんの？
それが100%でない検査受けたら1%って、なんで100倍になってんの？
>>363
問題文の1行目がないと知らなければほぼ全員が「条件不足で答えられない」という正答を出せない問題
問題文の1行目がないと知らなければほぼ全員が「条件不足で答えられない」という正答を出せない問題
『1万人に1人』でも『1,000万人に1人』の奇病でも、診断結果が99%の確率で陽性と判断したんなら感染確率は99%じゃないの？
>>372
そのような感覚をお持ちの方のために書いたのが >>364 です。お読み下さい。
>>371
「ほぼ全員」というのは、「全員ではない」ということがミソですね。同意です。
罹患率と検査精度の問題として出されたのなら、「納得いかない」と感じる人が
いるかもしれないが、数学的にはそれが正しいのだろうという、コンセンサスが得られている。
もし、罹患率が不明なら、たとえ検査精度が「これこれ」だという情報があっても、
その「これこれ」が実際に罹患している確率ではないことも、同様と思われる。
しかし「二つの封筒問題」として出された場合は、異常な方向へ問題が進展してしまった。
本質的には、罹患率不明（言及無し）、検査精度既知（0.5）の問題と差がないのに、
「条件不足で答えられない」という回答を受け入れられない人が、なんと多く現れたことか．．．。
嘆かわしい。
そのような感覚をお持ちの方のために書いたのが >>364 です。お読み下さい。
>>371
「ほぼ全員」というのは、「全員ではない」ということがミソですね。同意です。
罹患率と検査精度の問題として出されたのなら、「納得いかない」と感じる人が
いるかもしれないが、数学的にはそれが正しいのだろうという、コンセンサスが得られている。
もし、罹患率が不明なら、たとえ検査精度が「これこれ」だという情報があっても、
その「これこれ」が実際に罹患している確率ではないことも、同様と思われる。
しかし「二つの封筒問題」として出された場合は、異常な方向へ問題が進展してしまった。
本質的には、罹患率不明（言及無し）、検査精度既知（0.5）の問題と差がないのに、
「条件不足で答えられない」という回答を受け入れられない人が、なんと多く現れたことか．．．。
嘆かわしい。
精度の定義をはっきりさせないと議論にならない。
>>372
あ、逆に読んでしまった。
「初見の「二つの封筒問題」」
と同様、ほとんどの人が引っかかってしまうことを指摘されていたんですね。
全くの同意です。
あ、逆に読んでしまった。
「初見の「二つの封筒問題」」
と同様、ほとんどの人が引っかかってしまうことを指摘されていたんですね。
全くの同意です。
精度accuracyは感度sensitivity,特異度specificity,有病率prevalenceによって決まる。
的中率も同様
的中率も同様
3次元空間において連立不等式
x^2+y^2+z^2≦(1+x)(1+y)(1+z)≦x^2-2y^2+4z^2
0≦x
0≦y
0≦z
を満たす(x,y,z)全体からなる領域Dで、x+y+zを最大とする点の座標を求めよ。
x^2+y^2+z^2≦(1+x)(1+y)(1+z)≦x^2-2y^2+4z^2
0≦x
0≦y
0≦z
を満たす(x,y,z)全体からなる領域Dで、x+y+zを最大とする点の座標を求めよ。
フビニの定理をリーマン積分の範囲内で証明してください。
割合の問題
１．もっと「なるほど！」的な回答ある？
２．分かりやすい図にできる？
３．植木算とか鶴亀算とかあるじゃん。どういう分野の問題？どうぐぐればよい？
エレベーターのカウンターウェイト(ロープのカゴと反対側につけるおもり)の重さについて。
おもりの重さはどのようにして決定されているのか、または最適な重さはどれくらいなのかと言う疑問がありました。
工学的には、かごの重量と、モーターの最大可搬重量の半分、の和が最も昇降出来る重量が大きくなると言う理由から設定されるそうです。
さて、数学的に最適なカウンターウェイトの重量の定義とその求め方は何が考えられますか?
数学的とか、物理的、統計的、経済的とか、このような点を重視し、○○が最小(最大)になるのが最善とし、その計算方法は...等の解答をお願いします。
例)一ヶ月間の使用電力が最も少ない重さが経済的に最適
おもりの重さはどのようにして決定されているのか、または最適な重さはどれくらいなのかと言う疑問がありました。
工学的には、かごの重量と、モーターの最大可搬重量の半分、の和が最も昇降出来る重量が大きくなると言う理由から設定されるそうです。
さて、数学的に最適なカウンターウェイトの重量の定義とその求め方は何が考えられますか?
数学的とか、物理的、統計的、経済的とか、このような点を重視し、○○が最小(最大)になるのが最善とし、その計算方法は...等の解答をお願いします。
例)一ヶ月間の使用電力が最も少ない重さが経済的に最適
東京大学の入試問題の類題です。
ものすごい計算量になってしまいました。対称性を活用して式変形できないでしょうか。
y=x^3-3xの-1≦x≦1の曲線をC、Cをx軸方向にs,y軸方向にtだけ平行移動させた曲線をC(s,t)とする。
（1）s,tを色々と変化させる。CとC(s,t)の共有点はいくつあるか。ありえる値を全て求めよ。
（2）（1）において、ちょうど2個の共有点を持つようなs,tの範囲をst平面上に図示せよ。
ものすごい計算量になってしまいました。対称性を活用して式変形できないでしょうか。
y=x^3-3xの-1≦x≦1の曲線をC、Cをx軸方向にs,y軸方向にtだけ平行移動させた曲線をC(s,t)とする。
（1）s,tを色々と変化させる。CとC(s,t)の共有点はいくつあるか。ありえる値を全て求めよ。
（2）（1）において、ちょうど2個の共有点を持つようなs,tの範囲をst平面上に図示せよ。
>>378
自然数nに対して
f(x) = x^2 + n^2 + n^2 - (1+n)^2･(1+x),
とおく。
f(x) = (x-1){x-n(n+2)} -4n -1 < (x-1){x-n(n+2)},
f(x)=0 は2つの正根をもつ。
小さい根は0と1の間にあり、大きい根は n(n+2) より大きい。
大きい根を x_n とおくと
(x, y, z) = (x_n, n, n) ∈ D
x+y+z > n(n+4) → ∞ (n→∞)
自然数nに対して
f(x) = x^2 + n^2 + n^2 - (1+n)^2･(1+x),
とおく。
f(x) = (x-1){x-n(n+2)} -4n -1 < (x-1){x-n(n+2)},
f(x)=0 は2つの正根をもつ。
小さい根は0と1の間にあり、大きい根は n(n+2) より大きい。
大きい根を x_n とおくと
(x, y, z) = (x_n, n, n) ∈ D
x+y+z > n(n+4) → ∞ (n→∞)
>>343
この命題は、ルジャンドル予想を解決したから書いているんですからね
変な反応は止めていただきたい
この命題は、ルジャンドル予想を解決したから書いているんですからね
変な反応は止めていただきたい
>>382
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3,3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3,3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
>>382
そうでもなくね？
まず、 -1 ≦ x ≦ 1 の条件から、C と C(s,t) が共有点を持つための必要条件として、
-2 ≦ s ≦ 2 がわかる
f(x) = x^3 - 3x とおくと、 f(x) は閉区間 [-1, 1] で狭義単調減少だから、
s = 0 の場合は無数の共有点を持つ（C(0, 0) = C）か、あるいは1つも共有点を持たない
s ≠ 0 のとき、 C と C(s, t) が共有点を持つとすると、 x についての2次関数が得られるから、
共有点の個数はその2次関数の判別式 D の符号で決まる
g(s) = D/3s とおくと、 g(s) は3次関数で、閉区間 [-2, 2] で狭義単調増加であることがわかる
あとは s > 0 と s < 0 で場合分けすれば st 平面上の範囲が求められるはず
そうでもなくね？
まず、 -1 ≦ x ≦ 1 の条件から、C と C(s,t) が共有点を持つための必要条件として、
-2 ≦ s ≦ 2 がわかる
f(x) = x^3 - 3x とおくと、 f(x) は閉区間 [-1, 1] で狭義単調減少だから、
s = 0 の場合は無数の共有点を持つ（C(0, 0) = C）か、あるいは1つも共有点を持たない
s ≠ 0 のとき、 C と C(s, t) が共有点を持つとすると、 x についての2次関数が得られるから、
共有点の個数はその2次関数の判別式 D の符号で決まる
g(s) = D/3s とおくと、 g(s) は3次関数で、閉区間 [-2, 2] で狭義単調増加であることがわかる
あとは s > 0 と s < 0 で場合分けすれば st 平面上の範囲が求められるはず
>>387
いやごめん
交点の x 座標が実際に -1 ≦ x ≦ 1 になるための条件も必要だったわ
忘れてくれ
いやごめん
交点の x 座標が実際に -1 ≦ x ≦ 1 になるための条件も必要だったわ
忘れてくれ
>>260
f'(s)=f'(t)=0, s＜t となったとする(問題の前提条件)
すでに繰り返し述べられているように
f(s)＞f(t) は簡単に示せる(f(x)をf'(x)で割り算する)
さて, f(x)が x=s で極大値を取ることを示そう
f'(x)は因数定理より f'(x)=3(x-s)(x-t) とかけるから
x＞s で f'(x)＜0 であり x＜s で f'(x)＞0 だから
f(x)は x=s で極大値を取ることがいえる
同様に x=t で極小値を取ることがいえる
この解法のほうが高校数学的かもしれない
高校数学だと極値を取るかどうかの判定が前後で符号変化するかどうかがメインだからね
極値の定義から直接議論するなら これも既にあるようにテイラー展開するのがいいだろう f(x)がすでに多項式の形をしてるからテイラー展開の概念を知らなくても ただの式変形で議論できる これも代数的かつ初等的 ただし高校数学的とはいえないだろう
f'(s)=f'(t)=0, s＜t となったとする(問題の前提条件)
すでに繰り返し述べられているように
f(s)＞f(t) は簡単に示せる(f(x)をf'(x)で割り算する)
さて, f(x)が x=s で極大値を取ることを示そう
f'(x)は因数定理より f'(x)=3(x-s)(x-t) とかけるから
x＞s で f'(x)＜0 であり x＜s で f'(x)＞0 だから
f(x)は x=s で極大値を取ることがいえる
同様に x=t で極小値を取ることがいえる
この解法のほうが高校数学的かもしれない
高校数学だと極値を取るかどうかの判定が前後で符号変化するかどうかがメインだからね
極値の定義から直接議論するなら これも既にあるようにテイラー展開するのがいいだろう f(x)がすでに多項式の形をしてるからテイラー展開の概念を知らなくても ただの式変形で議論できる これも代数的かつ初等的 ただし高校数学的とはいえないだろう
>>383
x_n = {(n+1)^2 + √[(nn+2n-1)^2 + 4(4n+1)]}/2
> {(n+1)^2 + (nn+2n-1)}/2
= n(n+2),
x_n = {(n+1)^2 + √[(nn+2n-1)^2 + 4(4n+1)]}/2
> {(n+1)^2 + (nn+2n-1)}/2
= n(n+2),
>>380
溶液の濃度計算の問題と同型だからそれで答えると
塩分濃度９０%の水に塩分濃度１０%の水を等量混ぜ合わせると
塩分濃度５０%の水になる。
塩分濃度８０%の水に塩分濃度０%の水をほんの少しだけ混ぜると
塩分濃度が８０パーセントより少しだけ小さな水になる。
混ぜ合わせる溶液の量と塩分量を明示する
（天秤図、天秤法とか言うものもあるそうな）
溶液の濃度計算の問題と同型だからそれで答えると
塩分濃度９０%の水に塩分濃度１０%の水を等量混ぜ合わせると
塩分濃度５０%の水になる。
塩分濃度８０%の水に塩分濃度０%の水をほんの少しだけ混ぜると
塩分濃度が８０パーセントより少しだけ小さな水になる。
混ぜ合わせる溶液の量と塩分量を明示する
（天秤図、天秤法とか言うものもあるそうな）
>>380
こういうのではどうでしょうか？
# シンプソンのパラドックス
#
# ある仮想疾患の治癒率
#
# 軽症 重症
# Ｋ大学 10/10 10/90
# Ｔ大学 70/90 0/10
# 放置 40/50 5/50
#
# Ｋ大学の方が軽症・重症とも成績がよいが
# 総数比較ではＴ大学の方が成績がよい。
# この疾患は自然治癒率が45%とされています。
# この疾患のＴ医大での治癒率は70%です。
# これに対しＫ大学での治癒率はわずか20%です。
こういうのではどうでしょうか？
# シンプソンのパラドックス
#
# ある仮想疾患の治癒率
#
# 軽症 重症
# Ｋ大学 10/10 10/90
# Ｔ大学 70/90 0/10
# 放置 40/50 5/50
#
# Ｋ大学の方が軽症・重症とも成績がよいが
# 総数比較ではＴ大学の方が成績がよい。
# この疾患は自然治癒率が45%とされています。
# この疾患のＴ医大での治癒率は70%です。
# これに対しＫ大学での治癒率はわずか20%です。
重症患者の割合xに対して
K大学は 1 - (80/90)x,
T大学は (70/90)(1-x),
放置は (40/50) - (45/50)x,
同じxで比べれば
K大学 > 放置 > T大学
ですが
K大学はx=0.9 放置はx=0.5 T大学はx=0.1
で比べれば逆転します。
K大学は 1 - (80/90)x,
T大学は (70/90)(1-x),
放置は (40/50) - (45/50)x,
同じxで比べれば
K大学 > 放置 > T大学
ですが
K大学はx=0.9 放置はx=0.5 T大学はx=0.1
で比べれば逆転します。
A組、B組でテストを行った。
男子の平均点はB組の方が上
女子の平均点もB組の方が上
だが、クラス全体の平均点ではA組が上
A組男子={90,80+a} ; a=1～9
A組女子={70}
B組男子={90}
B組女子={80,70}
男子の平均点はB組の方が上
女子の平均点もB組の方が上
だが、クラス全体の平均点ではA組が上
A組男子={90,80+a} ; a=1～9
A組女子={70}
B組男子={90}
B組女子={80,70}
統計的決定問題の枠組みで回帰問題は扱えますか？
もし扱えるなら特に線形回帰の場合の統計的決定問題のモデルを教えて下さい
もし扱えるなら特に線形回帰の場合の統計的決定問題のモデルを教えて下さい
最小二乗法でも見るんだな
>>398
データはどういう確率分布族から生成されてると思えばいいんでしょうか？
例えば線形回帰だとp(y|x)が正規分布に従うとかはわかるんですが、p(x)はどういうのが仮定されるのでしょうか？
いくつかのxを固定して観測していくパターンとランダムにxを観測するパターンの2通りがあると思いますが両方お願いします
データはどういう確率分布族から生成されてると思えばいいんでしょうか？
例えば線形回帰だとp(y|x)が正規分布に従うとかはわかるんですが、p(x)はどういうのが仮定されるのでしょうか？
いくつかのxを固定して観測していくパターンとランダムにxを観測するパターンの2通りがあると思いますが両方お願いします
楕円E上に２点O,P_1をとる。P_1を通るEの接線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_2とする。
次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
P_1=P_nとなるある自然数nが存在するのはO,P_1がどういう条件を満たす場合か？
次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
P_1=P_nとなるある自然数nが存在するのはO,P_1がどういう条件を満たす場合か？
>>400
＞次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
＞P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
ここのP_k(k≧3)のとりかたとして、点Oと一致してもいいのか？
一致していいなら、点P_kを点Oと一致するようにとればP_(k+1)=P_1となるので求める条件は「なんでもいい」となる。
一致しないようにとるのなら、P_1=P_nとなるのはOとP_1が一致しているときに限る。このときP_1=P_2であり、P_3以降は定義できない。
もしP_1=P_nとなる自然数n(n≧3)が存在すると仮定すると直線P_(n-1)P_1と直線OP_1が平行となるが、同じ点P_1を通る平行な2直線なので一致することになり
楕円と直線の交点は高々2個だから点P_(n-1)が点Oと一致することになるがこれは点P_(k+1)の取り方に反する。
P_2だけP_3以降と点の取り方が違うので、P_1=P_2だけあり得ることになる。
＞次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
＞P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
ここのP_k(k≧3)のとりかたとして、点Oと一致してもいいのか？
一致していいなら、点P_kを点Oと一致するようにとればP_(k+1)=P_1となるので求める条件は「なんでもいい」となる。
一致しないようにとるのなら、P_1=P_nとなるのはOとP_1が一致しているときに限る。このときP_1=P_2であり、P_3以降は定義できない。
もしP_1=P_nとなる自然数n(n≧3)が存在すると仮定すると直線P_(n-1)P_1と直線OP_1が平行となるが、同じ点P_1を通る平行な2直線なので一致することになり
楕円と直線の交点は高々2個だから点P_(n-1)が点Oと一致することになるがこれは点P_(k+1)の取り方に反する。
P_2だけP_3以降と点の取り方が違うので、P_1=P_2だけあり得ることになる。
>>401
「P_kとP_1を結ぶ直線がOを通る接線に平行な場合はO=P_(k+1)とする」というつもりでした。
Oの接線に平行になる場合が存在するのはどういうときかっていう問題です。
「P_kとP_1を結ぶ直線がOを通る接線に平行な場合はO=P_(k+1)とする」というつもりでした。
Oの接線に平行になる場合が存在するのはどういうときかっていう問題です。
>>400に>>402の条件を追加で加える。
一般に図形全体を一定の方向に定数倍に拡大・縮小したとき、2直線の平行は保たれる。角度は変わるがな。
したがって>>400の楕円Eは適切に拡大・縮小して円であるとしてかまわない。
円であれば、P_1=P_n となるのは弦OP_1が円に内接する正(n-1)角形の1辺となるときである。
楕円Eの長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとする。
楕円Eの長軸を実軸、短軸を虚軸とする複素平面における点Oの座標を(s+ti)、点P_1の座標を(u+vi)とするとき
4以上の自然数nが存在してarg{(bs+ati)/(bu+avi)}=2π/(n-1)であればよい。
さあ、次はどんな後出しがくるかな
一般に図形全体を一定の方向に定数倍に拡大・縮小したとき、2直線の平行は保たれる。角度は変わるがな。
したがって>>400の楕円Eは適切に拡大・縮小して円であるとしてかまわない。
円であれば、P_1=P_n となるのは弦OP_1が円に内接する正(n-1)角形の1辺となるときである。
楕円Eの長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとする。
楕円Eの長軸を実軸、短軸を虚軸とする複素平面における点Oの座標を(s+ti)、点P_1の座標を(u+vi)とするとき
4以上の自然数nが存在してarg{(bs+ati)/(bu+avi)}=2π/(n-1)であればよい。
さあ、次はどんな後出しがくるかな
Y（t）:=Y（0）exp［（μ-σ^2/2）t +σW（t）］
より、幾何的Broun運動を表す
dY＝μYdt +μYdW
を導け
より、幾何的Broun運動を表す
dY＝μYdt +μYdW
を導け
正八面体Vの1つの頂点をA、Aに隣りあう頂点のうち1つをBとする。
いまVの辺上を点Pが動く。Pは時刻0にAをスタートし、一辺の一端から他端までをちょうど1秒かけて移動する。
（問題）nを自然数とし、PがAからBまでn秒かけて移動したとする。nとして考えられる自然数は無数に存在するが、このようなn全体からなる集合は自然数全体の集合と一致するか。一致しない場合、n全体からなる集合はどのようなものか。
いまVの辺上を点Pが動く。Pは時刻0にAをスタートし、一辺の一端から他端までをちょうど1秒かけて移動する。
（問題）nを自然数とし、PがAからBまでn秒かけて移動したとする。nとして考えられる自然数は無数に存在するが、このようなn全体からなる集合は自然数全体の集合と一致するか。一致しない場合、n全体からなる集合はどのようなものか。
>>406
自然数全体に一致するのは自明では？
A と B を往復すれば全ての奇数が、
B の隣(≠A)を経由して B に到達してから A と B を往復すれば全ての偶数がとれる
自然数全体に一致するのは自明では？
A と B を往復すれば全ての奇数が、
B の隣(≠A)を経由して B に到達してから A と B を往復すれば全ての偶数がとれる
a_ij =|i-j|のときdet(a_ij)を求めよ
>>400
円に変換したら単なる回転移動となることが簡単にわかるから、楕円を円に変換したときに二点の
中心角が2pi/nであればいい
円に変換したら単なる回転移動となることが簡単にわかるから、楕円を円に変換したときに二点の
中心角が2pi/nであればいい
漠然とした質問になるんですが、いきなりX=I,x€Iという風に出てきた場合何を意味してるのでしょうか。どちらも大文字です。
知るか
本読め
本読め
>>411
これは
X=I、x∈I
と書きたかったのかな。
Iについて、最初の方に定義が書いてあるんとちゃうかな。
これは
X=I、x∈I
と書きたかったのかな。
Iについて、最初の方に定義が書いてあるんとちゃうかな。
以下のような自然数n、無理数aが存在することを証明せよ。
（1）nは2020桁以上の平方数で、各桁の数字は1,2,5のいずれかである。
（2）aの小数点以下第k位の数字をN[k]と表す。1以上9以下のある自然数iが存在し、どのkに対してもN[k]≠iを満たす。
（1）nは2020桁以上の平方数で、各桁の数字は1,2,5のいずれかである。
（2）aの小数点以下第k位の数字をN[k]と表す。1以上9以下のある自然数iが存在し、どのkに対してもN[k]≠iを満たす。
333333‥‥335^2
1.211211121111211112‥、3.4334333433334‥∈R＼Q
1.211211121111211112‥、3.4334333433334‥∈R＼Q
>>409
det(A) = (-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-2),
http://oeis.org/A085750
>>414 (2)
L = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)
= 0.110001000000000000000001000････
リューヴィル数（超越数第１号）
det(A) = (-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-2),
http://oeis.org/A085750
>>414 (2)
L = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)
= 0.110001000000000000000001000････
リューヴィル数（超越数第１号）
sympyでローラン多項式の係数を求めるコマンドないでしょうか
coeffだとおかしくなってしまいます
coeffだとおかしくなってしまいます
nを自然数の定数とする。
xのn次多項式f(x)で、積f(x)f(1/x)がxに依らない定数となるものを全て決定し、またそれらのみであることを証明せよ。
xのn次多項式f(x)で、積f(x)f(1/x)がxに依らない定数となるものを全て決定し、またそれらのみであることを証明せよ。
その定数をcとすればf(x)=c/f(1/x)
x→0とすれば定数項=0
f(x)=xg(x)とするとc=f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)
今言ったことからgの定数項も0になり、以下同様にしてc≧0,f(x)=(√c)x^nの形に限られる？
x→0とすれば定数項=0
f(x)=xg(x)とするとc=f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)
今言ったことからgの定数項も0になり、以下同様にしてc≧0,f(x)=(√c)x^nの形に限られる？
細かいこというと最後のとこ(±√c)x^nじゃないの
せやな、眠かったんで許してちょ
だから最終的な形としては、aを定数としてf(x)=ax^nと書けるものに限られる
だから最終的な形としては、aを定数としてf(x)=ax^nと書けるものに限られる
f(x) = e^A(x,1/x)
f(x) = x^S(x,1/x)
ここに
S(x,y) は対称函数。例 s(x) + s(y).
A(x,y) は反対称函数。例 a(x) - a(y).
f(x) = x^S(x,1/x)
ここに
S(x,y) は対称函数。例 s(x) + s(y).
A(x,y) は反対称函数。例 a(x) - a(y).
面白いけど問題は多項式という条件がある
https://togetter.com/li/1541267 ← これを見て思いついた問題です。
簡単のため文字種は 0, 1 の2文字に制限します.
長さ n のパスワード 全 2^n 種 {"0..000", "0..001", ..., "1..111"}
を(部分文字列として)含む文字列の最小文字数は 2^n +n -1 でしょうか？
(2^n +n -1 未満がありえないのは明らか)
n=1 の場合 例."01" (2文字)
n=2 の場合 例."00110" (5文字) . . .
一般的に文字数 2^n +n -1 の列が確実に存在する事を示すのは難しいような気がしました。
簡単のため文字種は 0, 1 の2文字に制限します.
長さ n のパスワード 全 2^n 種 {"0..000", "0..001", ..., "1..111"}
を(部分文字列として)含む文字列の最小文字数は 2^n +n -1 でしょうか？
(2^n +n -1 未満がありえないのは明らか)
n=1 の場合 例."01" (2文字)
n=2 の場合 例."00110" (5文字) . . .
一般的に文字数 2^n +n -1 の列が確実に存在する事を示すのは難しいような気がしました。
>>425
ありがとうございます。
末尾が先頭にループしてる点を除けばほぼそのままの問題ですね。
それなりに難しそうな問題だと言う事は分かりました。
ありがとうございます。
末尾が先頭にループしてる点を除けばほぼそのままの問題ですね。
それなりに難しそうな問題だと言う事は分かりました。
物理板から失礼いたします
https://books.google.co.jp/books?id=qjxv68JFe3gC&;printsec=frontcover&hl=ja#v=snippet&q=periodic%20structures%20and%20the%20reciprocal%20lattice&f=false
の57pにあるような、ベクトルaとbのなす角を表現するのに
\sphericalangleを使うのは数学的にスタンダードな方法ですか？
https://books.google.co.jp/books?id=qjxv68JFe3gC&;printsec=frontcover&hl=ja#v=snippet&q=periodic%20structures%20and%20the%20reciprocal%20lattice&f=false
の57pにあるような、ベクトルaとbのなす角を表現するのに
\sphericalangleを使うのは数学的にスタンダードな方法ですか？
集合Xの有限加法族Eから生成される完全加法族B[E]は、Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体に一致しますか？
特に、Xの部分集合族Aが有限加法族Eを含みかつ可算個の和と共通部分で閉じていれば、AはB[E]を含みますか？
特に、Xの部分集合族Aが有限加法族Eを含みかつ可算個の和と共通部分で閉じていれば、AはB[E]を含みますか？
見なくはないけど、スタンダードは\angleじゃないかな
\widehat{ab}みたいなのもたまに見る気がする。同一ではないかもしれないが
\widehat{ab}みたいなのもたまに見る気がする。同一ではないかもしれないが
>>430
はい、なので共通部分も含めてます
Eの時点で補集合は閉じてるのでEの可算和の補集合はEの共通部分で書けます
「和と共通部分で表せる」だとちょっと変か
Eの可算個の集合から始めて和と共通部分をとる操作を何回か(有限回？)繰り返して得られるものです、なのでEの元の可算和として書ける集合たち(これ自体はEの元ではない)の共通部分とかも含めて考えてます
はい、なので共通部分も含めてます
Eの時点で補集合は閉じてるのでEの可算和の補集合はEの共通部分で書けます
「和と共通部分で表せる」だとちょっと変か
Eの可算個の集合から始めて和と共通部分をとる操作を何回か(有限回？)繰り返して得られるものです、なのでEの元の可算和として書ける集合たち(これ自体はEの元ではない)の共通部分とかも含めて考えてます
>>428
一致する。含む。
まず、集合族から生成される完全加法族とはその集合族を含む最小の完全加法族のことであるという定義でいいか？
あと「Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体」をC[E]と書くことにしておく。
（一行目）
C[E]はEを含む完全加法族であるから、B[E]の最小性からB[E]⊂C[E]
B[E]はEを含む完全加法族であるから、Eに属するものたちの高々可算個の和と共通部分として表せるものはB[E]に属する。すなわちC[E]⊂B[E]
B[E]⊂C[E] かつ C[E]⊂B[E] であるから B[E]=C[E]
（二行目）
任意のS∈B[E]について、SはEに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
ここで、E⊂AであるからEに属するものはすべてAにも属する。
したがって、SはAに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
Aは可算個の和と共通部分で閉じているのでS∈Aである。以上より B[E]⊂A
一致する。含む。
まず、集合族から生成される完全加法族とはその集合族を含む最小の完全加法族のことであるという定義でいいか？
あと「Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体」をC[E]と書くことにしておく。
（一行目）
C[E]はEを含む完全加法族であるから、B[E]の最小性からB[E]⊂C[E]
B[E]はEを含む完全加法族であるから、Eに属するものたちの高々可算個の和と共通部分として表せるものはB[E]に属する。すなわちC[E]⊂B[E]
B[E]⊂C[E] かつ C[E]⊂B[E] であるから B[E]=C[E]
（二行目）
任意のS∈B[E]について、SはEに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
ここで、E⊂AであるからEに属するものはすべてAにも属する。
したがって、SはAに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
Aは可算個の和と共通部分で閉じているのでS∈Aである。以上より B[E]⊂A
{(2^n)+1}/n^2
が整数となるような自然数nを全て決定せよ。
が整数となるような自然数nを全て決定せよ。
n=1,3
IMO-1990 (北京大会) A3.
【解答】は、たとえば
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略］数学オリンピック」日本評論社 (1991)
方程式[4] p.68-70
IMO-1990 (北京大会) A3.
【解答】は、たとえば
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略］数学オリンピック」日本評論社 (1991)
方程式[4] p.68-70
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「数学オリンピック［全問題］1984~1990」日本評論社 (1991)
p.118-119
[コメント]
超難問であった。
「数学オリンピック［全問題］1984~1990」日本評論社 (1991)
p.118-119
[コメント]
超難問であった。
どなたか教えてください。
https://www.mathtext.info/insuuriyou/k/4.pdf
この問題で、（3）までは理解できますが、
（4）が1日考えても理解できませんでした。
素因数分解をして、なぜ2つの数が36と63になるのか？
県立高校の入試問題の様です。
自分のアホさ加減にガックリです。
https://www.mathtext.info/insuuriyou/k/4.pdf
この問題で、（3）までは理解できますが、
（4）が1日考えても理解できませんでした。
素因数分解をして、なぜ2つの数が36と63になるのか？
県立高校の入試問題の様です。
自分のアホさ加減にガックリです。
>>437
しらみつぶしに近いんじゃないのかな
どちらかが7の倍数で2桁なんだから7*2～7*14
このうち、素因数分解したときに2が2つまで、3が4つまででそれ以外がないのは7*2=14、7*3=21、7*4=28、7*6=42、7*9=63、7*12=84
このうち、ひっくり返し数を素因数分解して2と3以外の素因数があるものを除くと、21、42、63、48
あとはしらみつぶしで
もっと絞り込む方法あるかな？
しらみつぶしに近いんじゃないのかな
どちらかが7の倍数で2桁なんだから7*2～7*14
このうち、素因数分解したときに2が2つまで、3が4つまででそれ以外がないのは7*2=14、7*3=21、7*4=28、7*6=42、7*9=63、7*12=84
このうち、ひっくり返し数を素因数分解して2と3以外の素因数があるものを除くと、21、42、63、48
あとはしらみつぶしで
もっと絞り込む方法あるかな？
>>438
ありがとうございます。
小問の1～3を利用した解き方を考えましたが、用いないないんですね。
「片方が7の倍数」で考える。
目から鱗です。大変参考になりました。
ありがとうございます。
小問の1～3を利用した解き方を考えましたが、用いないないんですね。
「片方が7の倍数」で考える。
目から鱗です。大変参考になりました。
>>437
(1)より、 XY の一の位は 101ab の一の位に等しいから、
XY = 2268 の一の位は 8 なので、 ab の一の位は 8 であることがわかる。
したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
もし ab = 8 なら、 (a, b) = (1, 8), (2, 4) であるが、どちらも解ではない。
よって、 ab = 18 である。このとき、(a, b) = (2, 9), (3, 6) となる。
実際に計算すると、 (a, b) = (3, 6) が解であることがわかる。
(1)より、 XY の一の位は 101ab の一の位に等しいから、
XY = 2268 の一の位は 8 なので、 ab の一の位は 8 であることがわかる。
したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
もし ab = 8 なら、 (a, b) = (1, 8), (2, 4) であるが、どちらも解ではない。
よって、 ab = 18 である。このとき、(a, b) = (2, 9), (3, 6) となる。
実際に計算すると、 (a, b) = (3, 6) が解であることがわかる。
>>440
計算して確認する部分は、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10
を利用すると簡単に確認できる
計算して確認する部分は、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10
を利用すると簡単に確認できる
>>440
101ab を計算する必要もなかった
(1)より XY = 10(10ab + (a^2 + b^2)) + ab
だから、 XY の一の位が ab の一の位に一致することは明らかで、
a^2 + b^2 = ((XY - ab)/10) - 10ab
としたほうが計算は楽かな
101ab を計算する必要もなかった
(1)より XY = 10(10ab + (a^2 + b^2)) + ab
だから、 XY の一の位が ab の一の位に一致することは明らかで、
a^2 + b^2 = ((XY - ab)/10) - 10ab
としたほうが計算は楽かな
>>443
(a, b) が解ならば、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10 ≧ 0 より、
XY - 101ab ≧ 0 だから、
ab ≦ XY/101 = 2268/101 < 23
一の位が 8 になる正の整数で 23 より小さいものは 8 と 18 しかない
(a, b) が解ならば、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10 ≧ 0 より、
XY - 101ab ≧ 0 だから、
ab ≦ XY/101 = 2268/101 < 23
一の位が 8 になる正の整数で 23 より小さいものは 8 と 18 しかない
「二桁の正の整数XとYがある。
整数Xの十の位の数がa,一の位がb、整数Yの十の位の数がb,一の位がaである。
ただし、a<bとする。
積XYの百の位が2、一の位が8の時、整数Xを求めよ。」
としても、答えが唯一に定まる。
整数Xの十の位の数がa,一の位がb、整数Yの十の位の数がb,一の位がaである。
ただし、a<bとする。
積XYの百の位が2、一の位が8の時、整数Xを求めよ。」
としても、答えが唯一に定まる。
ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
>>437 (4.pdf)
2けたの正の整数XとYがある。整数Xは, 十の位の数がa、一の位がbであり, 整数Y
は, 十の位の数がb, 一の位がaである。ただし, a<b とする。
このとき, (1)～(4) の各問に答えなさい。
(1) 2つの整数XとYの積XYをa,bを用いて表わしなさい。
(2) ab=6, aa+bb=37 のとき、積XYの値を求めなさい。
(3) (2)のとき、整数Xを求めなさい。
(4) 積XYが 2268 のとき、整数Xを求めなさい。
〔佐賀県〕
-------------------------------------------------
(3)
(a+b)^2 = (aa+bb) + 2ab = 37 + 2･6 = 49,
a+b = 7,
(b-a)^2 = (aa+bb) -2ab = 37 - 2･6 = 25,
b-a = 5,
a=1, b=6.
(4)
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≧ 121ab, ∴ ab≦18
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≦ (30 + 1/4)(a+b)^2, ∴ a+b≧9
(b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab ≧ 81 - 4･18 = 9, ∴ b-a ≧ 3,
(a,b) = (1,8) (1,9) ～ (1,18) (2,7) (2,8) (2,9) (3,6)
abの一の位が8となるものは (1,8) (1,18) (2,9) (3,6)
題意に適すものを（虱潰しで）探す。
2けたの正の整数XとYがある。整数Xは, 十の位の数がa、一の位がbであり, 整数Y
は, 十の位の数がb, 一の位がaである。ただし, a<b とする。
このとき, (1)～(4) の各問に答えなさい。
(1) 2つの整数XとYの積XYをa,bを用いて表わしなさい。
(2) ab=6, aa+bb=37 のとき、積XYの値を求めなさい。
(3) (2)のとき、整数Xを求めなさい。
(4) 積XYが 2268 のとき、整数Xを求めなさい。
〔佐賀県〕
-------------------------------------------------
(3)
(a+b)^2 = (aa+bb) + 2ab = 37 + 2･6 = 49,
a+b = 7,
(b-a)^2 = (aa+bb) -2ab = 37 - 2･6 = 25,
b-a = 5,
a=1, b=6.
(4)
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≧ 121ab, ∴ ab≦18
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≦ (30 + 1/4)(a+b)^2, ∴ a+b≧9
(b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab ≧ 81 - 4･18 = 9, ∴ b-a ≧ 3,
(a,b) = (1,8) (1,9) ～ (1,18) (2,7) (2,8) (2,9) (3,6)
abの一の位が8となるものは (1,8) (1,18) (2,9) (3,6)
題意に適すものを（虱潰しで）探す。
交点の座標を求めなさいと言われ、答えが(2,5)だとします。このとき、解答欄に(x,y)=(2,5)と書いた場合、正解としていいのでしょうか？これを正解にするのはどうも違和感があるのですが、何か説得力のあるダメな理由はありますでしょうか？
>>446
> ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
無いよ。
> ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
無いよ。
xy平面ならダメな理由がわからない
st平面とかの話ならともかく
st平面とかの話ならともかく
>>450
私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。
私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。
>>451
ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。
ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。
>>448
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。
例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。
例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。
>>452
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y) =(2, 5)
3) x=2, y=5
1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y) =(2, 5)
3) x=2, y=5
1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？
(2,5) とだけ書かれていた場合、どちらが x 座標でどちらが y 座標かわからないので
むしろその「答え」のほうが問題
むしろその「答え」のほうが問題
たとえばトライ中学生の講義だとこんなかんじ
ダウンロード＆関連動画＞＞
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
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何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
ご回答いただいた皆様ありがとうございます。私としては、>>456
で書かれてるように思っていました。
方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
で書かれてるように思っていました。
方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
これは難しい問題だな
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
>>459
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、
そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、
そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
>>459
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？
＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題なので
「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。
「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？
＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題なので
「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。
「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。
蛇足だから×って乱暴だな
>>464
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
座標を求めるなら(2,5)が一番正確だが、
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
ちなみに厳密にいえば、方程式の解を「x=2」みたいに書き表すのも間違い
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
>>465
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
>>468
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
>>469
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない
要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない
要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
こちらを教えて欲しいです。
お願いします。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10226449630?fr=ios_other
お願いします。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10226449630?fr=ios_other
>>470
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
>>472
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない
整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな
現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない
整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな
現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
みなさま色々なご意見ありがとうございました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
思い込みには気をつけるんだな
A=a+√((a+b)(a+c))
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする
(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ
展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする
(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ
展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
平面上に定点Oをとり、Oを原点とする2次元座標を導入することを考える。
（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
lim［n→♾］（1+1/n）^n=e=2.7182818284590...
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
xyz空間の単位円周C:x^2+y^2=1(z=0)上を、半径rの円板Dが以下のようにして動く。
(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。
Dが動いてできる曲面を分類せよ。
(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。
Dが動いてできる曲面を分類せよ。
>>478
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？
総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？
総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
>>477
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。
(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。
(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
>>476
まず
A - a = A' B - b = B' C - c = C'
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s) (← 展開する)
= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
= A'B'C' - (st-u)
+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},
題意により
A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
B'C' - (b+c)A' = 0,
C'A' - (c+a)B' = 0,
A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
まず
A - a = A' B - b = B' C - c = C'
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s) (← 展開する)
= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
= A'B'C' - (st-u)
+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},
題意により
A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
B'C' - (b+c)A' = 0,
C'A' - (c+a)B' = 0,
A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
>>482
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
いま少し思ったのは
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね
この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について
A+B+C=ABC
を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね
この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について
A+B+C=ABC
を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
マルチなのに無視されんかったんか
いま少し思ったのは
ab+bc+ca=1 で規格化すると
a = 1/tanα, b = 1/tanβ, c = 1/tanγ,
α+β+γ = π, (⊿の3つの角)
とおける。このとき
A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって ⊿の3つの角だから
A+B+C = ABC.
ab+bc+ca=1 で規格化すると
a = 1/tanα, b = 1/tanβ, c = 1/tanγ,
α+β+γ = π, (⊿の3つの角)
とおける。このとき
A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって ⊿の3つの角だから
A+B+C = ABC.
>>486
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！
三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！
三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
いや、単純に3変数の加法定理でいいのか
tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0
よりα+β+γ=nπ(nはある整数)
cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0
よりα+β+γ=nπ(nはある整数)
cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
3次元空間の異なる位置に点P_1,P_2,...,P_nを置いていく。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
領域の不変性という以下の定理がブラウアーの不動点定理の系として得られるようなのですが
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください
(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください
(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
>>489
n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき 一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。
任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。
つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき 一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。
任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。
つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
>>491
>n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
>n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
>>480
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
>>478
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
>>478
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
今まで恋人がいなかった時間と、これから巡り会うまでの時間は無関係だとすると、
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
BC=a,CA=b,AB=c,0<a≦b≦cの△ABCにおいて、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γとする。
以下のx,y,zの大小を比較せよ。
x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
以下のx,y,zの大小を比較せよ。
x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
(1/a)+(1/b)-(1/c)=1/d
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。
（1）a=b=c=d
（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。
（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。
（4）a,b,c,dはすべて異なる。
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。
（1）a=b=c=d
（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。
（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。
（4）a,b,c,dはすべて異なる。
２変数多項式f(x,y)が任意のx,y,zに対して以下の二条件を満たすときの一般解を求めよ
（１） f(x,y)=f(y,x)
（２） f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
（１） f(x,y)=f(y,x)
（２） f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
>>504
1/a + 1/b = 1/c + 1/d,
(1) 無数にある。
(2) ない。
(3) 無数にある。 (x,y,z) = (3n,2n,6n) (4n,3n,6n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
1/a + 1/b = 1/c + 1/d,
(1) 無数にある。
(2) ない。
(3) 無数にある。 (x,y,z) = (3n,2n,6n) (4n,3n,6n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
(3) 無数にある。 (x,y,z) = ((2m-1)n, mn, m(2m-1)n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)
*) １組あれば、そのa～dをn倍したものも可
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)
*) １組あれば、そのa～dをn倍したものも可
有限生成アーベル群の 部分群は有限生成である事を示してください。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
>>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。
主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。
主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
>>508
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①
特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①
特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
>>550
f(x,y) = a xy + b(x+y) + c,
ここに bb-b-ac = 0.
f(x,y) = a xy + b(x+y) + c,
ここに bb-b-ac = 0.
数直線上の点0に点Pが置かれている。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。
（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。
（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。
（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。
（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
n=6のとき最大
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)
(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)
(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)
(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)
(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
f(x,y)=(x+y)/(1-xy) とかもOKみたい
((x+y)/(1-xy)+z)/(1- (x+y)z/(1-xy)) -(x+(z+y)/(1-zy))/(1-x(z+y)/(1-zy))=0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%2By%29%2F%281-xy%29%2Bz%29%2F%281-+%28x%2By%29z%2F%281-xy%29%29+-%28x%2B%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29%2F%281-x%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29&;wal=header&lang=ja
((x+y)/(1-xy)+z)/(1- (x+y)z/(1-xy)) -(x+(z+y)/(1-zy))/(1-x(z+y)/(1-zy))=0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%2By%29%2F%281-xy%29%2Bz%29%2F%281-+%28x%2By%29z%2F%281-xy%29%29+-%28x%2B%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29%2F%281-x%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29&;wal=header&lang=ja
>>517
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)
他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)
他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
>>516
lim[n→∞] a[n] はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
lim[n→∞] a[n] はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
X1, ...., Xnをベルヌーイ分布に従う独立な確率変数
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
ならない
>>521
せいかい
>>513を厳密に解きたい方はこちらへ
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/31_sugoroku.htm
他スレに貼られた応用問題もこれでいける
せいかい
>>513を厳密に解きたい方はこちらへ
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/31_sugoroku.htm
他スレに貼られた応用問題もこれでいける
>>503
x ≦ y ≦ z,
(左側)
〔補題〕 ⊿の辺と角は同順序
0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα (←正弦定理)
= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2) (←和積公式)
= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2) (←α+β+γ=π)
= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2), etc. (終)
よって題意より
0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,
これより
1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,
f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2 とおくと
x = f(b/a, c/b)
y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴ x ≦ y,
(右側)
uvw=1 のとき u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v, ････ (*)
∴ y ≦ z,
*) 佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
p.26 演習問題1.75
x ≦ y ≦ z,
(左側)
〔補題〕 ⊿の辺と角は同順序
0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα (←正弦定理)
= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2) (←和積公式)
= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2) (←α+β+γ=π)
= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2), etc. (終)
よって題意より
0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,
これより
1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,
f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2 とおくと
x = f(b/a, c/b)
y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴ x ≦ y,
(右側)
uvw=1 のとき u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v, ････ (*)
∴ y ≦ z,
*) 佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
p.26 演習問題1.75
(補題) の略証
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ, (←正弦定理)
・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
sin は 0～90°で単調増加だから成立。
・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。
*)
(u/w + u/w + w/v)/3
= (u/w + u/w + uww)/3 (← uvw=1)
≧ u, (← AM-GM)
巡回的にたす。
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ, (←正弦定理)
・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
sin は 0～90°で単調増加だから成立。
・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。
*)
(u/w + u/w + w/v)/3
= (u/w + u/w + uww)/3 (← uvw=1)
≧ u, (← AM-GM)
巡回的にたす。
桜じゃありません。本当にわからないです
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです
よろしくお願いします。
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです
よろしくお願いします。
0<a<b<1、0<c<d<1、(a,b)と(c,d)を両端とする線分をLとする。
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
色々式変えてみたのですが、yとxだけで波になるのは難しいようですね
もし見つかりましたら教えてください
もし見つかりましたら教えてください
波になるってのが何かわからんとわからん
>>535 のグラフ作れるよ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%3D%3D%28x%5E2%2B1%2Fx%5E2%29&;lang=ja
微分方程式ならできるけど、これも嫌だとするともうお手上げか
y + (d/dx)^2 y == 0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%2B+%28d%2Fdx+d%2Fdx+y%29+%3D%3D+0&;lang=ja
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%3D%3D%28x%5E2%2B1%2Fx%5E2%29&;lang=ja
微分方程式ならできるけど、これも嫌だとするともうお手上げか
y + (d/dx)^2 y == 0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%2B+%28d%2Fdx+d%2Fdx+y%29+%3D%3D+0&;lang=ja
>>539
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
>>540
単位なんか時定数かければ揃えられる
((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
単位なんか時定数かければ揃えられる
((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
T=0 ｔ＝T
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0 （PU時）
→YT（D）＝ｄY０ （PD時）
C０→CT（U）
→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D） CT＝CT（U）,CT（D） XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
｛ ０（YT－K<０）｝
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0 （PU時）
→YT（D）＝ｄY０ （PD時）
C０→CT（U）
→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D） CT＝CT（U）,CT（D） XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
｛ ０（YT－K<０）｝
y = 4 (-1)^[x/π] {x/π} (1-{x/π})
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
Rで描いてみた
f <- function(x,y) (y^2 + y^-2)*x^-2
x=y=seq(-20,20,len=200)
z=outer(x,y,f)
contour(x,y,z,levels = 1, bty='n',drawlabels = F,asp=1)
g <- function(x,y) x^2+x^-2 - y^2 -y^-2
w=outer(x,y,g)
contour(x,y,w,levels=0, bty='n', drawlabels=F, asp=1)
f <- function(x,y) (y^2 + y^-2)*x^-2
x=y=seq(-20,20,len=200)
z=outer(x,y,f)
contour(x,y,z,levels = 1, bty='n',drawlabels = F,asp=1)
g <- function(x,y) x^2+x^-2 - y^2 -y^-2
w=outer(x,y,g)
contour(x,y,w,levels=0, bty='n', drawlabels=F, asp=1)
三角関数は、単振動とかで現れる波そのものなんだから、三角関数使いたくないということは、
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
>>545
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
>>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります
y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります
y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります
こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね
波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています
で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ
ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります
y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります
y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります
こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね
波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています
で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ
ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
ベッセル関数や楕円関数の波もある
非斉次微分方程式の特解って、グリーン関数の方法を使わなければ人によって変わりますよね？なんでそれで大丈夫なんですか？
>>551
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？
三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし
円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです
完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？
三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし
円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです
完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
たぶんyとxをmに習合するとyの面範囲になって確率表現になると思うんですけど
あ、まったくわからないです
あ、まったくわからないです
2＋7=4
4＋6=9
3＋9=？
4＋6=9
3＋9=？
いま思っただけです
習合という単語にとんと聞き覚えがないので
辞書を引いてみたんだよね
「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」
なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
辞書を引いてみたんだよね
「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」
なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
>>555
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します
Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します
Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
偏微分方程式の変数分離法って方法がありますが、その解の線形結合で表される解以外の解があることってあるんでしょうか？
あんがい応用系の本には載ってないもので…
あんがい応用系の本には載ってないもので…
（１） x^n + y^n = z^n + 1
（２） x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
（２） x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
1)x=1 y=z=0
2)x=y=0 z=1
2)x=y=0 z=1
TをXの確率変数として、Pr(x,t)を考えます。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
当たり前
>>564
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
nは自然数の定数とする。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
>>568
k = n
（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。
補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。
補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。
（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。
エレガントな証明は他の人に譲ります
k = n
（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。
補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。
補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。
（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。
エレガントな証明は他の人に譲ります
(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1 (オイラー）で無限個あるそうな.-1の方もn=3のときは無限個あるそう
>>568
a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
≧ (n,k+1) (1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
≧ (n,k+1) (1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
>>574
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
>>576
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。
確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。
確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
>>572
n=3 の場合
y^3 = z^3 - x^3 + 1
= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
y = (2x+z)/(z-x)
= 3x/(z-x) +1
= (1/3)(z-x)^3 + 1,
z = x + (z-x),
これより
x = 9t^4,
y = 9t^3 + 1,
z = 9t^4 + 3t,
n=3 の場合
y^3 = z^3 - x^3 + 1
= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
y = (2x+z)/(z-x)
= 3x/(z-x) +1
= (1/3)(z-x)^3 + 1,
z = x + (z-x),
これより
x = 9t^4,
y = 9t^3 + 1,
z = 9t^4 + 3t,
xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線をL_Pとする。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
lim[x→∞]曲率半径=1
lim[x→-∞]曲率半径=0
lim[x→-∞]曲率半径=0
lim[x→∞]曲率=1
lim[x→-∞]曲率=0
lim[x→-∞]曲率=0
f(x)(x+1)＝4(x+1)の時と、f(x)(x+1)＝(2x+3)(x+1)の時では解答に差が出るのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
エスパーを待て
>>579
初等的に解いてみた
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する
曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。
曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
初等的に解いてみた
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する
曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。
曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
ていうか
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
>>585
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
>>585
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
>>586
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
任意の自然数nに対してr^nが無理数となり、r^n-rが有理数となる実数rが存在するならば、それらを全て求めよ。
＞＞591
存在しない。
r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
存在しない。
r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
1/(x^2+1)が実数の範囲で一様連続かどうかという問題で、微分係数の形にしないと上手く証明出来ないかなと思ったのですが、δをどのようにとったら上手く証明できますか？
以前lim［n→ ∞］（1＋1/x）^nとかについて聞いた者なんだけど、また質問させて欲しい
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ
Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ
Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
>>594
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。
あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。
あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
>>593
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh| {∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh| {∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4
∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh| {∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh| {∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4
∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
お願いします！
>>597
容積:V = Sx*hx = Sy*hy
5分でXに溜まる量: Sx*h = 5*V/18
5分でYに溜まる量: Sy*6h = 5*V/15
∴ hx/hy = Sy/Sx = 18/(6*15) = 1/5
数的推理
満水量: (Sx - Sy)*hx = T*V/15
∴ 時間 T = (Sx*hx - Sy*hx)*15/V
= (1 - hx/hy)*15
= 4/5 * 15 = 12分
工学的推理 (容器Yは浮力で浮きあがるはず)
V = T*V/15
∴ 15分 (に一番近い 14分が答え)
容積:V = Sx*hx = Sy*hy
5分でXに溜まる量: Sx*h = 5*V/18
5分でYに溜まる量: Sy*6h = 5*V/15
∴ hx/hy = Sy/Sx = 18/(6*15) = 1/5
数的推理
満水量: (Sx - Sy)*hx = T*V/15
∴ 時間 T = (Sx*hx - Sy*hx)*15/V
= (1 - hx/hy)*15
= 4/5 * 15 = 12分
工学的推理 (容器Yは浮力で浮きあがるはず)
V = T*V/15
∴ 15分 (に一番近い 14分が答え)
>>597
容器Xの底面積s,高さh、容器Yの底面積S,高さHとおく。sh=SH=V...(1)
ホースAの注水能力はV/18、ホースBの注水能力はV/15
容器XにAで注水した5分後の水量a、容器Yに注水した5分後の水量bは、それぞれ
a=5V/18、b=V/3
bの水面の高さH'がaの水面の高さh'の6倍だから、
H'=6h'
→b/S=6*(a/s)
→H=5h
(1)に代入して
sh=5Sh
→S=(1/5)s
したがってXの中にYを置いたときに出来るドーナツ状の容器の底面積は(4/5)sであり、容積は2sh/3
ここに毎分V/15=sh/15で注水するから、求める時間は(2sh/3)/(sh/15)=10［分］
容器Xの底面積s,高さh、容器Yの底面積S,高さHとおく。sh=SH=V...(1)
ホースAの注水能力はV/18、ホースBの注水能力はV/15
容器XにAで注水した5分後の水量a、容器Yに注水した5分後の水量bは、それぞれ
a=5V/18、b=V/3
bの水面の高さH'がaの水面の高さh'の6倍だから、
H'=6h'
→b/S=6*(a/s)
→H=5h
(1)に代入して
sh=5Sh
→S=(1/5)s
したがってXの中にYを置いたときに出来るドーナツ状の容器の底面積は(4/5)sであり、容積は2sh/3
ここに毎分V/15=sh/15で注水するから、求める時間は(2sh/3)/(sh/15)=10［分］
xy平面の曲線y=x^2(-1≦x≦1)をy軸の周りに一回転させてできる曲面をDとする。
Dの形に容器をつくり、容器に水を満杯になるまで注ぎ、台の上に置いて支える。
ただし台の上は水平面とし、容器の開口部の円周は台の上と平行な平面上にあるものとする。
いま容器を一方向に45°だけ傾けた。あふれ出る水の量を求めよ。
Dの形に容器をつくり、容器に水を満杯になるまで注ぎ、台の上に置いて支える。
ただし台の上は水平面とし、容器の開口部の円周は台の上と平行な平面上にあるものとする。
いま容器を一方向に45°だけ傾けた。あふれ出る水の量を求めよ。
>>593
f(x)の平均変化率は
{f(x) - f(y)}/(x-y) = {1/(xx+1) - 1/(yy+1)}/(x-y)
= -(x+y)/{(xx+1)(yy+1)},
ここで
(xx+1)(yy+1) = (xx +1/3 +1/3 +1/3)(1/3 +yy +1/3 +1/3)
≧ {|x+y|/√3 +1/3 +1/3}^2
= (1/3)(|x+y|+2/√3)^2
≧ (8/√27)|x+y|, (等号は x=y=±1/√3)
だから
｜{f(x)-f(y)}/(x-y)｜≦ (1/8)√27,
∴ f(x) はリプシッツ連続だから一様連続。
f(x)の平均変化率は
{f(x) - f(y)}/(x-y) = {1/(xx+1) - 1/(yy+1)}/(x-y)
= -(x+y)/{(xx+1)(yy+1)},
ここで
(xx+1)(yy+1) = (xx +1/3 +1/3 +1/3)(1/3 +yy +1/3 +1/3)
≧ {|x+y|/√3 +1/3 +1/3}^2
= (1/3)(|x+y|+2/√3)^2
≧ (8/√27)|x+y|, (等号は x=y=±1/√3)
だから
｜{f(x)-f(y)}/(x-y)｜≦ (1/8)√27,
∴ f(x) はリプシッツ連続だから一様連続。
f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
この問題、なかなか上手くいきません
この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
この問題、なかなか上手くいきません
>>603
> f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
> この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
>
> この問題、なかなか上手くいきません
導関数が平行移動、三角関数じゃ？
解き方はわからん。
> f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
> この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
>
> この問題、なかなか上手くいきません
導関数が平行移動、三角関数じゃ？
解き方はわからん。
>>604
fが周期関数と仮定するとf(x)=Aexp(i(x-B))とおき、A、Bを決める
g(x)=Aexp(i(x-B-a)
df(x)/dx=iAexp(i(x-B))=g(x)=Aexp(i(x-B-a)
A=0又はi=exp(-ia)となる必要有
a=-π/2ならA、Bは任意で良く、つまり、f(x)=iAexp(x-B)
a≠-π/2ならA=0すなわちf=0
って所までやりましたが、この他に解が無い事をどう示すか悩み所ですね
fが周期関数と仮定するとf(x)=Aexp(i(x-B))とおき、A、Bを決める
g(x)=Aexp(i(x-B-a)
df(x)/dx=iAexp(i(x-B))=g(x)=Aexp(i(x-B-a)
A=0又はi=exp(-ia)となる必要有
a=-π/2ならA、Bは任意で良く、つまり、f(x)=iAexp(x-B)
a≠-π/2ならA=0すなわちf=0
って所までやりましたが、この他に解が無い事をどう示すか悩み所ですね
>>601
・∫[0,q] dt √(1-t^2) = ( arcsin(q) + q√(1-q^2) )/2
・∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = B(5/2,1/2) = Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) = 3π/8
・∫[0,1] z*arcsin(√z) = 1/2*arcsin(1) - 1/4*∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = π/4 - 1/4*3π/8 = 5π/32
・∫[0,1]dz z^{3/2}*√(1-z) = B(5/2,3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = π/16
V=∫[0,1]dz { πz/2 + 2∫[0,z]dt √(z-t^2) }
= ∫[0,1]dz { πz/2 + 2z∫[0,√z]dt √(1-t^2) }
= π/4 + ∫[0,1]dz { z*arcsin(√z) + z^{3/2}*√(1-z) }
= π/4 + 5π/32 + π/16
= 15π/32
・∫[0,q] dt √(1-t^2) = ( arcsin(q) + q√(1-q^2) )/2
・∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = B(5/2,1/2) = Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) = 3π/8
・∫[0,1] z*arcsin(√z) = 1/2*arcsin(1) - 1/4*∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = π/4 - 1/4*3π/8 = 5π/32
・∫[0,1]dz z^{3/2}*√(1-z) = B(5/2,3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = π/16
V=∫[0,1]dz { πz/2 + 2∫[0,z]dt √(z-t^2) }
= ∫[0,1]dz { πz/2 + 2z∫[0,√z]dt √(1-t^2) }
= π/4 + ∫[0,1]dz { z*arcsin(√z) + z^{3/2}*√(1-z) }
= π/4 + 5π/32 + π/16
= 15π/32
確率が出せず困っています。
0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をした時、答えが8888になる確率を教えていただけませんか。
0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をした時、答えが8888になる確率を教えていただけませんか。
1/6300になった
全く自信はない
全く自信はない
>>607
総当りでやってみた。
0123という並びも4桁の数字と考えるとすると384/1814400=1/4725
総当りでやってみた。
0123という並びも4桁の数字と考えるとすると384/1814400=1/4725
>>607
「10枚中8枚を使って」ではないところが悩ましいな。
十の位に4のカードと3のカードを2枚重ねて7扱いとする！みたいな使い方をしてそうだ。そうでもしないと10枚使いきれないからな。
とりあえず「10枚中8枚を使って2枚余らせる」とみなした場合を以下に書いておく。
足す2つの4桁の数をA+Bとする。AとBの千の位に0が来ないので、全事象の場合の数（分母）は9*8*8P6。
求める事象の場合の数（分子）について。まず足して18になる組み合わせがないので繰り上がりはあり得ない。つまり各位ごとに和が8になる組み合わせのみ。
千の位は(1,7)(2,6)(3,5)の3通り、百～一の位は(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)の4通りだからA+Bの各位にどのペアが来るかのパターン数は3*3!=18通り。
そしてそのパターンごとにペアの2数をA,Bのどちらに割り振るかで2^4通りずつあるから、全部で18*2^4通りとなる。
したがって答えは(18*16)/(9*8*8P6)=1/5040
だと思うのだが、千の位が0を除いているので>>611との違いは気にならないとしても、>>608と値が異なるので大いに不安ではある。
「10枚中8枚を使って」ではないところが悩ましいな。
十の位に4のカードと3のカードを2枚重ねて7扱いとする！みたいな使い方をしてそうだ。そうでもしないと10枚使いきれないからな。
とりあえず「10枚中8枚を使って2枚余らせる」とみなした場合を以下に書いておく。
足す2つの4桁の数をA+Bとする。AとBの千の位に0が来ないので、全事象の場合の数（分母）は9*8*8P6。
求める事象の場合の数（分子）について。まず足して18になる組み合わせがないので繰り上がりはあり得ない。つまり各位ごとに和が8になる組み合わせのみ。
千の位は(1,7)(2,6)(3,5)の3通り、百～一の位は(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)の4通りだからA+Bの各位にどのペアが来るかのパターン数は3*3!=18通り。
そしてそのパターンごとにペアの2数をA,Bのどちらに割り振るかで2^4通りずつあるから、全部で18*2^4通りとなる。
したがって答えは(18*16)/(9*8*8P6)=1/5040
だと思うのだが、千の位が0を除いているので>>611との違いは気にならないとしても、>>608と値が異なるので大いに不安ではある。
何通りあるかでなくて、確率を求めよというのが悩ましいが、
0123を4桁とみなす場合
library(gtools)
pm=permutations(10,8,v=0:9)
nrow(pm) # 10!/2=1814400
fn <- function(x){
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
sum(apply(pm,1,fn)) # 384
384/1814400 # = 1/4725=0.0002116402
#--- simulation ----
sim <- function(){
x=sample(0:9,8)
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
mean(replicate(1e7,sim()))
0123を4桁の数とはみなさない場合
f <- function(x){
x[1]!=0 & x[5]!=0
}
pm1=pm[apply(pm,1,f),]
nrow(pm1) # 1451520
sum(apply(pm1,1,fn)) # 288
288/1451520 # = 1/5040 = 0.0001984127
0123を4桁とみなす場合
library(gtools)
pm=permutations(10,8,v=0:9)
nrow(pm) # 10!/2=1814400
fn <- function(x){
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
sum(apply(pm,1,fn)) # 384
384/1814400 # = 1/4725=0.0002116402
#--- simulation ----
sim <- function(){
x=sample(0:9,8)
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
mean(replicate(1e7,sim()))
0123を4桁の数とはみなさない場合
f <- function(x){
x[1]!=0 & x[5]!=0
}
pm1=pm[apply(pm,1,f),]
nrow(pm1) # 1451520
sum(apply(pm1,1,fn)) # 288
288/1451520 # = 1/5040 = 0.0001984127
頭の良い方、教えてください。
6の目が5になっているサイコロを1個投げる時、目の出方は5通りで根元事象は{1,2,3,4,5}で合ってますよね？
6の目が5になっているサイコロを1個投げる時、目の出方は5通りで根元事象は{1,2,3,4,5}で合ってますよね？
>>601 別解
z = x^2 + y^2 {このグラフを 45°回転 すると..}
(x+z)/√2 = {(x -z)/√2}^2 + y^2
∴ (√2*z + 1/4) = 1/2* {x- (2z+√2)/2}^2 + y^2
zでの切り口は、楕円(長径:√2, 短径:1) を √(√2*z + 1/4) 倍にスケールしたもの
よって囲む面積は (√2*z + 1/4)*π√2
V1 = ∫[0..1]dz πz = π/2
V2 = ∫[-1/(4√2)..0] dz (√2*z + 1/4)*π√2
= (-√2/64 + 1/(16√2)) * π√2 = (-1/32 + 1/16)π = π/32
溢れる体積: V= V1-V2 = π/2 - π/32 = 15π/32
z = x^2 + y^2 {このグラフを 45°回転 すると..}
(x+z)/√2 = {(x -z)/√2}^2 + y^2
∴ (√2*z + 1/4) = 1/2* {x- (2z+√2)/2}^2 + y^2
zでの切り口は、楕円(長径:√2, 短径:1) を √(√2*z + 1/4) 倍にスケールしたもの
よって囲む面積は (√2*z + 1/4)*π√2
V1 = ∫[0..1]dz πz = π/2
V2 = ∫[-1/(4√2)..0] dz (√2*z + 1/4)*π√2
= (-√2/64 + 1/(16√2)) * π√2 = (-1/32 + 1/16)π = π/32
溢れる体積: V= V1-V2 = π/2 - π/32 = 15π/32
614です。
少し訂正します。
要素は{1,2,3,4,5}で根元事象は{1,2,3,4,5,5'}で合っているでしょうか？
少し訂正します。
要素は{1,2,3,4,5}で根元事象は{1,2,3,4,5,5'}で合っているでしょうか？
>>618
例えば確率で2の目が出る確率を考えると、1/6になると思うのですが、この場合は根元事象をどう捉えれば良いのでしょうか？
例えば確率で2の目が出る確率を考えると、1/6になると思うのですが、この場合は根元事象をどう捉えれば良いのでしょうか？
(´・ω・｀)
別スレにも書いたのですが回答がないのでこちらにも書きます。
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。
1/2 <= 1/3 の証明のどこに穴があるかを指摘する問題なのですが、分からなくてもやもやします。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2182228.pdf
別スレにも書いたのですが回答がないのでこちらにも書きます。
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。
1/2 <= 1/3 の証明のどこに穴があるかを指摘する問題なのですが、分からなくてもやもやします。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2182228.pdf
>>615
10枚から8枚選らぶ順列は10P8=1814400通りで、各々は同様に確からしい。
0123+8765= 8888は4桁の数字の和とは考えないなら、
その確率は288/1814400=1/6300なので正しいと思う。
10枚から8枚選らぶ順列は10P8=1814400通りで、各々は同様に確からしい。
0123+8765= 8888は4桁の数字の和とは考えないなら、
その確率は288/1814400=1/6300なので正しいと思う。
>>621
(x)が犬である事象をX、(y)が犬である事象をY、事象Sが起こる確率をP(S)、事象Sが起こった時の事象Tの起こる条件付確率をP_S(T)と書くことにする。
まず(A)～(D)はいずれもP_(X∪Y)(X∩Y)を問うものであると解釈すべき問いである。
(1)～(3)に誤りはない。
(4)は「(D)の答えは1/2である。」ここが誤り。
P_X(X∩Y) と P_Y(X∩Y) の値が等しかったとしても、それらの値が P_(X∪Y)(X∩Y) に等しいとは限らない。
実際に P_X(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X),P_Y(X∩Y)=P(X∩Y)/P(Y),P_(X∪Y)(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X∪Y) を P(X∩Y)=P(X)+P(Y)-P(X∪Y) に代入してP(X∩Y)を消去すると
1=1/{P_X(X∩Y)}+1/{P_Y(X∩Y)}-1/{P_(X∪Y)(X∩Y)} となる。これに P_X(X∩Y)=1/2 , P_Y(X∩Y)=1/2 を代入すると P_(X∪Y)(X∩Y)=1/3 が得られる。
(5)は結論こそ正しいが論拠が誤りである。
P_(X∪Y)(X∩Y) と P_(X∩Y)(X∩Y) がともに1/2以上であることは「(C)の答えが(D)の答え以上である」ことの理由にはならない。
(C)の答えと(D)の答えはともにP_(X∪Y)(X∩Y)=1/3で等しいから「(C)の答えが(D)の答え以上である」は正しい。
(6)は正しい論理によって誤った前提から誤った結論を導いている。
ちなみに条件付確率でないと解釈するのであれば、(x)(y)がともに犬である確率は1/4であるからすべて誤りになる。
(x)が犬である事象をX、(y)が犬である事象をY、事象Sが起こる確率をP(S)、事象Sが起こった時の事象Tの起こる条件付確率をP_S(T)と書くことにする。
まず(A)～(D)はいずれもP_(X∪Y)(X∩Y)を問うものであると解釈すべき問いである。
(1)～(3)に誤りはない。
(4)は「(D)の答えは1/2である。」ここが誤り。
P_X(X∩Y) と P_Y(X∩Y) の値が等しかったとしても、それらの値が P_(X∪Y)(X∩Y) に等しいとは限らない。
実際に P_X(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X),P_Y(X∩Y)=P(X∩Y)/P(Y),P_(X∪Y)(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X∪Y) を P(X∩Y)=P(X)+P(Y)-P(X∪Y) に代入してP(X∩Y)を消去すると
1=1/{P_X(X∩Y)}+1/{P_Y(X∩Y)}-1/{P_(X∪Y)(X∩Y)} となる。これに P_X(X∩Y)=1/2 , P_Y(X∩Y)=1/2 を代入すると P_(X∪Y)(X∩Y)=1/3 が得られる。
(5)は結論こそ正しいが論拠が誤りである。
P_(X∪Y)(X∩Y) と P_(X∩Y)(X∩Y) がともに1/2以上であることは「(C)の答えが(D)の答え以上である」ことの理由にはならない。
(C)の答えと(D)の答えはともにP_(X∪Y)(X∩Y)=1/3で等しいから「(C)の答えが(D)の答え以上である」は正しい。
(6)は正しい論理によって誤った前提から誤った結論を導いている。
ちなみに条件付確率でないと解釈するのであれば、(x)(y)がともに犬である確率は1/4であるからすべて誤りになる。
>>621
数学じゃない部分が入っているように思う
その解釈はおかしいみたいな部分が有るんじゃないだろうか
ディベートに近い
数学じゃない部分が入っているように思う
その解釈はおかしいみたいな部分が有るんじゃないだろうか
ディベートに近い
>>622
分母の10P8では千の位が0になる場合を含めて数えて、分子の288では千の位が0になる場合を除いて数えると、その値になると。
つまり、>>607の問いを
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードから8枚を並べる」という試行を行った結果、その8枚が「4桁＋4桁の足し算になり、かつ答えが8888になる」確率
と解釈するとその答えになるというわけか。
>>612は
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をつくる」という試行を行った結果、「答えが8888になる」確率
を求めているから、そりゃ異なる値が出るというわけだ。
どっちの解釈が正しいかというのはこの問題が発生した状況によるだろう。何かのテストで出題されたのなら出題者（採点者）の裁量の範囲だな。
>>612の解釈の方が文章の自然な読み取り方な気はするけど、あくまでも個人的な考えだからな。
分母の10P8では千の位が0になる場合を含めて数えて、分子の288では千の位が0になる場合を除いて数えると、その値になると。
つまり、>>607の問いを
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードから8枚を並べる」という試行を行った結果、その8枚が「4桁＋4桁の足し算になり、かつ答えが8888になる」確率
と解釈するとその答えになるというわけか。
>>612は
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をつくる」という試行を行った結果、「答えが8888になる」確率
を求めているから、そりゃ異なる値が出るというわけだ。
どっちの解釈が正しいかというのはこの問題が発生した状況によるだろう。何かのテストで出題されたのなら出題者（採点者）の裁量の範囲だな。
>>612の解釈の方が文章の自然な読み取り方な気はするけど、あくまでも個人的な考えだからな。
>>603
f が指数関数と仮定する。
f(x) = A･exp(Bx) とおき、A, B を決める。
題意より B = exp(-aB)
・a> -1/e, a≠0 のとき B = (1/a)W(a),
W は LambertのW函数。
・a=0 のときは B=1
f が指数関数と仮定する。
f(x) = A･exp(Bx) とおき、A, B を決める。
題意より B = exp(-aB)
・a> -1/e, a≠0 のとき B = (1/a)W(a),
W は LambertのW函数。
・a=0 のときは B=1
>>621
数学知らない人が、有名問題をネットから拾って数学以外の要素を足してしまったような問いだな
例えば「ドッグフード」が問題にどのような条件を付加するのか不明、他にも同様の箇所があるので、「解答不能」が正解だろう
ところでこの企業ググってみたけどブラックの匂いがプンプンするな。こんなとこ入って大丈夫か？
数学知らない人が、有名問題をネットから拾って数学以外の要素を足してしまったような問いだな
例えば「ドッグフード」が問題にどのような条件を付加するのか不明、他にも同様の箇所があるので、「解答不能」が正解だろう
ところでこの企業ググってみたけどブラックの匂いがプンプンするな。こんなとこ入って大丈夫か？
区間I=[0,2π)から無作為に実数を1つ選び、それをθとおく。
xy平面上で、直交座標で(cosθ,sinθ),(cos(θ+L),sin(θ+L))と表される2点を両端点とする、光を通さない円弧をCとする。
点(0,10)に点光源が設置されているとき、直線y=-10上にできる影の長さの期待値をLで表せ。
ただし区間Iにおいて実数は一様に分布しているものとする。
xy平面上で、直交座標で(cosθ,sinθ),(cos(θ+L),sin(θ+L))と表される2点を両端点とする、光を通さない円弧をCとする。
点(0,10)に点光源が設置されているとき、直線y=-10上にできる影の長さの期待値をLで表せ。
ただし区間Iにおいて実数は一様に分布しているものとする。
>>624
回答ありがとうございます。でもまだわかりません(´・ω・｀)
P_(X∪Y)(X∩Y) = 1/3 であるのは、(1)でも示されている通りに理解できます。
1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
回答ありがとうございます。でもまだわかりません(´・ω・｀)
P_(X∪Y)(X∩Y) = 1/3 であるのは、(1)でも示されている通りに理解できます。
1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
【火星】 世回教師マイト┗ーヤとＵＦＯ 【金星】
http://2chb.net/r/mog2/1592981405/l50
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数学掲示板群 http://x0000.net/forum.aspx?id=1
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ http://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
http://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
微分幾何学入門
http://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0
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>>630
＞1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りなのだから(犬,犬)である確率は1/3であろう。
条件付確率としてはこうなると言っているだけで、これで納得するかどうかどう感じるのかなど知ったことではない。
それこそ>>625の言う通り数学の範疇ではない。数学板だから数学で答えているだけだ。
＞少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
よくない。1匹連れているのを見かけたときの2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
＞1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りなのだから(犬,犬)である確率は1/3であろう。
条件付確率としてはこうなると言っているだけで、これで納得するかどうかどう感じるのかなど知ったことではない。
それこそ>>625の言う通り数学の範疇ではない。数学板だから数学で答えているだけだ。
＞少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
よくない。1匹連れているのを見かけたときの2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
>>633
それは違うんじゃないのかな？
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りではあるがそれらは等確率ではないのでは？
犬が2匹いると鳴き声が犬Aの場合と犬Bの場合があり得る
1匹の犬を見かけた場合も同様
ただし、2匹の行動が独立という条件があっての話であることはその通りと思う
実際には1匹が鳴くともう1匹も鳴く可能性が高まるだろうから1匹の鳴き声だけが聞こえた場合（犬、犬）である可能性は低くなったりするかも知れないし、
2匹飼っていたら2匹同時に散歩させるはずだとか室外犬と室内犬だと室外犬しか散歩させないとかややこしい話もあり得る
独立であるならこれらの場合は1/2になるんじゃないのかな
2匹とも見た人から「少なくとも1匹は犬」と聞かされたことで「少なくとも1匹は犬」を知った場合は1/3でいいと思う
それは違うんじゃないのかな？
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りではあるがそれらは等確率ではないのでは？
犬が2匹いると鳴き声が犬Aの場合と犬Bの場合があり得る
1匹の犬を見かけた場合も同様
ただし、2匹の行動が独立という条件があっての話であることはその通りと思う
実際には1匹が鳴くともう1匹も鳴く可能性が高まるだろうから1匹の鳴き声だけが聞こえた場合（犬、犬）である可能性は低くなったりするかも知れないし、
2匹飼っていたら2匹同時に散歩させるはずだとか室外犬と室内犬だと室外犬しか散歩させないとかややこしい話もあり得る
独立であるならこれらの場合は1/2になるんじゃないのかな
2匹とも見た人から「少なくとも1匹は犬」と聞かされたことで「少なくとも1匹は犬」を知った場合は1/3でいいと思う
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(鳴犬,黙犬),(黙犬,鳴犬),(鳴犬,黙猫),(黙猫,鳴犬)の4通りだろ
>>636
> 1匹連れているのを見かけたときの
> 2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
これはどう考えても1/2でしょう。
> 1匹連れているのを見かけたときの
> 2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
これはどう考えても1/2でしょう。
それが1/2に見えるのは条件付き確率が分かってない証拠。
円と円の内部の点Pが与えられたとき、Pを通る2直線が円と点A，Bおよび点C，Dで交わるとき
PA・PB＝PC・PD=PT^2 となる点Tはどこにとれるか？（Pが外部のときはTは接点）
PA・PB＝PC・PD=PT^2 となる点Tはどこにとれるか？（Pが外部のときはTは接点）
Pを通りPで2分される弦の端点
n*sin(2pi*n!*e) のn→∞ の極限は2pi らしいのですが
これをhttps://www.wolframalpha.com/ で求めようとするとうまっくいきません。
ウルフラムに個の極限を出させるにはどうすればいいですか。
これをhttps://www.wolframalpha.com/ で求めようとするとうまっくいきません。
ウルフラムに個の極限を出させるにはどうすればいいですか。
流石のwolfram先生でもダメなのか。
n!e-[n!e]=1/(n+1)+O(1/n^2)
までは自分で変形するしかないんだろな。
n!e-[n!e]=1/(n+1)+O(1/n^2)
までは自分で変形するしかないんだろな。
>>642
まで自力でいければ後は流石のwolfram大先生
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x+sin%282+pi+%2F%28x%2B1%29%29+at+x+to+infinity&;lang=ja
まで自力でいければ後は流石のwolfram大先生
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x+sin%282+pi+%2F%28x%2B1%29%29+at+x+to+infinity&;lang=ja
>>640
その理屈で言うと、
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人が、自分の娘の同級生なので女子であることがわかっている場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3である（男子である確率は2/3である）
ということでよろしいでしょうか？
また、8人家族で6人の子どもがいることがわかっている家族があって
上記と同様の理由でそのうち5人の子どもが女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/7 である
ということでよいでしょうか？
その理屈で言うと、
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人が、自分の娘の同級生なので女子であることがわかっている場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3である（男子である確率は2/3である）
ということでよろしいでしょうか？
また、8人家族で6人の子どもがいることがわかっている家族があって
上記と同様の理由でそのうち5人の子どもが女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/7 である
ということでよいでしょうか？
量子力学の犬らしい
どうもいつまでも納得しない人がいるようなので、もう少し丁寧に書いてみる。
まず>>621は「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」これが前提条件。
このような書き方をしているということは、それぞれのペットが犬であるか猫であるかを観察するという2つの試行は独立であるとみなしてよい。
独立でないとこんな条件設定はできないはずだからな。
ということで、この2つの試行の結果である(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)(猫,猫)の4つの根源事象の起こり方は同様に確からしく、確率はすべて1/4づつ。
2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)の3つのうち(犬,犬)である確率だから1/3
2頭のうち特定の一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)の2つのうち(犬,犬)である確率だから1/2
条件付確率の公式を用いて説明することもできるが、上記と同じ結論がでるだけ。
まず>>621は「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」これが前提条件。
このような書き方をしているということは、それぞれのペットが犬であるか猫であるかを観察するという2つの試行は独立であるとみなしてよい。
独立でないとこんな条件設定はできないはずだからな。
ということで、この2つの試行の結果である(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)(猫,猫)の4つの根源事象の起こり方は同様に確からしく、確率はすべて1/4づつ。
2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)の3つのうち(犬,犬)である確率だから1/3
2頭のうち特定の一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)の2つのうち(犬,犬)である確率だから1/2
条件付確率の公式を用いて説明することもできるが、上記と同じ結論がでるだけ。
無限集合Sを
S={2,4,8,...,2^n,...}
と定義する。
Sから相異なる6つの要素a[k](k=1,2,...,6)を選び、2つの有理数p_1=a[3]/(a[1]+a[2])およびp_2=a[6]/(a[4]+a[5])を作る。
ただしa[1]<a[2]<...<a[6]である。
p_1+p_2が整数となるa[k]の選び方があれば、その例を1つ挙げよ。
S={2,4,8,...,2^n,...}
と定義する。
Sから相異なる6つの要素a[k](k=1,2,...,6)を選び、2つの有理数p_1=a[3]/(a[1]+a[2])およびp_2=a[6]/(a[4]+a[5])を作る。
ただしa[1]<a[2]<...<a[6]である。
p_1+p_2が整数となるa[k]の選び方があれば、その例を1つ挙げよ。
4/(1+2)+64/(8+16)
>>648
> 2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
それならば、「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけた場合」は、
佐藤さんが連れている方（娘の同級生と違って呼び名はありませんが）が犬とわかっているだけで、
残りの一匹が犬の確率は上と同じく1/2ではないでしょうか？
（すなわち、両方とも犬である確率は1/2ではないでしょうか）
> 2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は...1/3
これはその通りですが、
「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけたとき」という条件と
「2頭のうち少なくとも一方が犬であるとき」という条件は違うように思います。
> 2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
それならば、「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけた場合」は、
佐藤さんが連れている方（娘の同級生と違って呼び名はありませんが）が犬とわかっているだけで、
残りの一匹が犬の確率は上と同じく1/2ではないでしょうか？
（すなわち、両方とも犬である確率は1/2ではないでしょうか）
> 2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は...1/3
これはその通りですが、
「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけたとき」という条件と
「2頭のうち少なくとも一方が犬であるとき」という条件は違うように思います。
>>648
もう少しわかりやすい例を考えました。
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3でしょうか？1/2でしょうか？
もう少しわかりやすい例を考えました。
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3でしょうか？1/2でしょうか？
>>648
おかしいと感じると言うことを言っているんじゃないよ
(x,y)=(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りあり、
1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
おかしいと感じると言うことを言っているんじゃないよ
(x,y)=(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りあり、
1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
>>652
佐藤さんが連れているのがどちらのペットかわかってないですよ。
たとえば佐藤さんがペットに赤の首輪と青の首輪をつけて区別していることがあらかじめわかっているような場合なら
赤の首輪の犬を連れて散歩をしてるのを見た場合、青いほうの犬の確率は1/2になりますね。
>>653
1/3ですね。
>>654
＞1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
その通りですね。連れているのが犬である確率は1/2なので、それが犬A～犬Dである確率は1/8ずつですね。
ちなみにそれとは別の話として、(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りの確率もどれも等しく1/4ずつですね。
＞従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
これは誤りですね。連れているのが犬であったという条件のもとでの条件付確率については
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)である確率ですから1/3です。
佐藤さんが連れているのがどちらのペットかわかってないですよ。
たとえば佐藤さんがペットに赤の首輪と青の首輪をつけて区別していることがあらかじめわかっているような場合なら
赤の首輪の犬を連れて散歩をしてるのを見た場合、青いほうの犬の確率は1/2になりますね。
>>653
1/3ですね。
>>654
＞1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
その通りですね。連れているのが犬である確率は1/2なので、それが犬A～犬Dである確率は1/8ずつですね。
ちなみにそれとは別の話として、(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りの確率もどれも等しく1/4ずつですね。
＞従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
これは誤りですね。連れているのが犬であったという条件のもとでの条件付確率については
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)である確率ですから1/3です。
>>656
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
>>653
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
10枚のカードで、8888になる確率を尋ねたものです。ありがとうございました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
まぁ意見は分かれるだろ。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やはり与えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やはり与えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。
>>666
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
前>>660
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
iを虚数単位とする。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
自明解が死ぬほどあるやん。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
そもそも複素整数の定義ってこれであってんの?
一晩考えてようやくわかった気がするわ(´・ω・｀)
(1)
まず、>>353 の答えは1/2
4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、
(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。
なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。
(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。
(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
(1)
まず、>>353 の答えは1/2
4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、
(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。
なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。
(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。
(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
nは3以上の自然数で、2の累乗ではないとする。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。
（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。
（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。
（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。
（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
>>672
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。
条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)が
「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。
だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、
・ 直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、
Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる
とでもいうのか？
ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。
条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)が
「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。
だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、
・ 直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、
Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる
とでもいうのか？
ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。
>>675
うーん。これでもわかりませんか。
Aさんが２つのサイコロをふった。
あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
うーん。これでもわかりませんか。
Aさんが２つのサイコロをふった。
あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
>>662
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2
最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ
(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2
最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ
(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
>>664
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。
それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。
それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
>>676
・ Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。
・ Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。
前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
・ Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。
・ Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。
前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
>>675
差があるんだよ
少なくとも1人が女の子であることがどのような方法でわかったかによって変わってくる
A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）
B：両方とも知っている人から「少なくとも1人は女の子」と聞かされた
この二つではもう1人が女の子かどうかの確率は違ってくる
思考実験してみればすぐわかる
二人の子を持つ夫婦を400組用意する
女の子と男の子が生まれる確率が1/2として確率通りに集まったとすると姉妹が100組、姉弟が100組、兄妹が100組、兄弟が100組いることになる
Aの方法で片方を見て女の子であるのは、姉妹100組から100組、姉弟100組から50組、兄妹100組から50組の計200組
このうちもう1人が女の子であるのは姉妹100組だけであるので確率は100/200=1/2
Bの方法で両方とも知っている人が「少なくとも1人は女の子」というのは、300組
このうち2人とも女の子であるのは100組なので確率は100/300=1/3
差があるんだよ
少なくとも1人が女の子であることがどのような方法でわかったかによって変わってくる
A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）
B：両方とも知っている人から「少なくとも1人は女の子」と聞かされた
この二つではもう1人が女の子かどうかの確率は違ってくる
思考実験してみればすぐわかる
二人の子を持つ夫婦を400組用意する
女の子と男の子が生まれる確率が1/2として確率通りに集まったとすると姉妹が100組、姉弟が100組、兄妹が100組、兄弟が100組いることになる
Aの方法で片方を見て女の子であるのは、姉妹100組から100組、姉弟100組から50組、兄妹100組から50組の計200組
このうちもう1人が女の子であるのは姉妹100組だけであるので確率は100/200=1/2
Bの方法で両方とも知っている人が「少なくとも1人は女の子」というのは、300組
このうち2人とも女の子であるのは100組なので確率は100/300=1/3
サイコロ2個のうちの片方を見て奇数だったとき、
それをノーゲームにするかもう片方まで見るか？の違い
それをノーゲームにするかもう片方まで見るか？の違い
>>681
Aが曖昧でダメ。
A_1：どちらか片方を見た。それが上の子なのか下の子なのかは判別がつかない。
A_2：どちらか片方を見た。しかも、それが上の子なのか下の子なのかまで判別がつく。
A_1 なら 1/3 にしかならない。A_2 なら確かに 1/2 になる。しかし、
「 A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）」
という書き方でA_2の意味に確定するとは全く言えない。常識的に考えても、
1人の子供を見たときにそれが女子だったとして、それが上の子なのか下の子なのかまで
そのタイミングで分かるわけがない。つまり、実質的には A の書き方では A_1 の意味であるとしか
解釈できず、ゆえに A の書き方でも 1/3 とするのが妥当。A_2 の意味にしたいなら
ハッキリと A_2 のように書かないとダメ。
Aが曖昧でダメ。
A_1：どちらか片方を見た。それが上の子なのか下の子なのかは判別がつかない。
A_2：どちらか片方を見た。しかも、それが上の子なのか下の子なのかまで判別がつく。
A_1 なら 1/3 にしかならない。A_2 なら確かに 1/2 になる。しかし、
「 A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）」
という書き方でA_2の意味に確定するとは全く言えない。常識的に考えても、
1人の子供を見たときにそれが女子だったとして、それが上の子なのか下の子なのかまで
そのタイミングで分かるわけがない。つまり、実質的には A の書き方では A_1 の意味であるとしか
解釈できず、ゆえに A の書き方でも 1/3 とするのが妥当。A_2 の意味にしたいなら
ハッキリと A_2 のように書かないとダメ。
>>679
後者でも1/2だよ
区別がつかなくても別々のサイコロ
偶数偶数が1/4、偶数奇数が1/2、奇数奇数が1/4で出る
1/2の確率で選んだどちらか片方を確認してそれが偶数であるのは（1/4）*1+（1/2）*（1/2）=1/2
片方を確認して偶数で残りも偶数であるのは（1/4）*1+(1/2)0+(1/4）*0=1/4
求める確率は(1/4)/(1/2)=1/2
後者でも1/2だよ
区別がつかなくても別々のサイコロ
偶数偶数が1/4、偶数奇数が1/2、奇数奇数が1/4で出る
1/2の確率で選んだどちらか片方を確認してそれが偶数であるのは（1/4）*1+（1/2）*（1/2）=1/2
片方を確認して偶数で残りも偶数であるのは（1/4）*1+(1/2)0+(1/4）*0=1/4
求める確率は(1/4)/(1/2)=1/2
ベイズ的に考えてみた。
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）の
事前確率分布が (1/4,1/4,1/4,1/4)
少なくも一人は女子というデータでの尤度は(1,0,1/2,1/2)
事後確率分布∝（1/4,0,1/8,1/8)、
総和が位置になるように規格化すると（1/4,0,1/8,1/8)/(1/4+0+1/8+1/8)=(1/2,0,1/4,1/4)
よって、二人が女子である、すなわち、（姉、妹）である確率は1/2
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）の
事前確率分布が (1/4,1/4,1/4,1/4)
少なくも一人は女子というデータでの尤度は(1,0,1/2,1/2)
事後確率分布∝（1/4,0,1/8,1/8)、
総和が位置になるように規格化すると（1/4,0,1/8,1/8)/(1/4+0+1/8+1/8)=(1/2,0,1/4,1/4)
よって、二人が女子である、すなわち、（姉、妹）である確率は1/2
>>687
ノーゲームにしてあるでしょ
姉弟のうちの50組は弟を見てしまうのでノーゲーム
兄妹のうちの50組は兄を見てしまうのでノーゲーム
兄弟はどっちを見てもノーゲーム
ノーゲームにしてあるでしょ
姉弟のうちの50組は弟を見てしまうのでノーゲーム
兄妹のうちの50組は兄を見てしまうのでノーゲーム
兄弟はどっちを見てもノーゲーム
>>688
こちらが言っているノーゲームとはそういう意味ではない。
(1) 0が書かれたカードと1が書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、0が出る確率も1が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが1なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが0なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある数字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち 0 が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
こちらが言ってる「ノーゲーム」とは(3)の1行目の意味。
つまり、最初に表にしたカードが1のときに、もはやデータを取ることをやめて
2枚をすぐ山に戻して(2)に戻ることを「ノーゲーム」と言っている。
こちらが言っているノーゲームとはそういう意味ではない。
(1) 0が書かれたカードと1が書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、0が出る確率も1が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが1なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが0なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある数字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち 0 が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
こちらが言ってる「ノーゲーム」とは(3)の1行目の意味。
つまり、最初に表にしたカードが1のときに、もはやデータを取ることをやめて
2枚をすぐ山に戻して(2)に戻ることを「ノーゲーム」と言っている。
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布が (1/4,1/2,1/4)
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/4,1/4,0)
総和が位置になるように規格化すると（1/2,1/2,0)
よって、犬犬である確率は1/2
事前確率分布が (1/4,1/2,1/4)
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/4,1/4,0)
総和が位置になるように規格化すると（1/2,1/2,0)
よって、犬犬である確率は1/2
>>689と全く同じことだが、「0」「1」ではなく「女子」「男子」の方がよかったな。
(1)「女子」と書かれたカードと「男子」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「女子」が出る確率も「男子」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「男子」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「女子」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「女子」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
(1)「女子」と書かれたカードと「男子」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「女子」が出る確率も「男子」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「男子」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「女子」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「女子」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
>>689
それ、全然違うことを計算しているのでは？
佐藤さんのペットの問題での条件付き確率は「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
それ、全然違うことを計算しているのでは？
佐藤さんのペットの問題での条件付き確率は「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
ちなみに、
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布を (1/3,1/3,1/3)とすると
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/3,1/6,0)
総和が位置になるように規格化すると(2/3,1/3,0)
よって、犬犬である確率は2/3
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布を (1/3,1/3,1/3)とすると
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/3,1/6,0)
総和が位置になるように規格化すると(2/3,1/3,0)
よって、犬犬である確率は2/3
>>692
これが全然違うことを計算しているように見えるなら、
条件つき確率が分かってないということ。
男子・女子の例だと、「見かけた1人が女子である」という前提の上での確率なのだから、
データを取る際にも、「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には
データを取らずにやり直すしか解釈のしようがない。
>>>691で言えば、(3)の1行目のようになる。つまり、表にしたカードが「男子」なら、
データを取らずに2枚を山に戻して(2)に戻る(ノーゲーム)ということ。
このように、実際にシミュレーションするときも>>691の(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
これが全然違うことを計算しているように見えるなら、
条件つき確率が分かってないということ。
男子・女子の例だと、「見かけた1人が女子である」という前提の上での確率なのだから、
データを取る際にも、「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には
データを取らずにやり直すしか解釈のしようがない。
>>>691で言えば、(3)の1行目のようになる。つまり、表にしたカードが「男子」なら、
データを取らずに2枚を山に戻して(2)に戻る(ノーゲーム)ということ。
このように、実際にシミュレーションするときも>>691の(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
>>691
それを佐藤さんのペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは佐藤さんに新たにペットを2匹飼ってもらうということを見かけた1匹が犬になるまで繰り返した場合に残りの1匹が犬である確率ってことになるよ
それを佐藤さんのペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは佐藤さんに新たにペットを2匹飼ってもらうということを見かけた1匹が犬になるまで繰り返した場合に残りの1匹が犬である確率ってことになるよ
全く同じことなので必要ないのだが、一応、「犬」「猫」バージョンも書いておくぞ。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
>>699
＞データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
ナンセンス。それでは反復試行にならない。
>>691において、データを取らず、やり直すこともしないなら、
その時点で全ての試行が止まってしまい、それ以上データが取れなくなる。
つまり、君は次のように言っていることになる。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この時点で 全 て の 作 業 を 終 了 す る 。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
これでは反復試行にならない。(3)の1行目で「猫」を引いた時点で終わってしまうからだ。
君は反復試行すら分かってないらしい。どうしようもないな。
＞データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
ナンセンス。それでは反復試行にならない。
>>691において、データを取らず、やり直すこともしないなら、
その時点で全ての試行が止まってしまい、それ以上データが取れなくなる。
つまり、君は次のように言っていることになる。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この時点で 全 て の 作 業 を 終 了 す る 。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
これでは反復試行にならない。(3)の1行目で「猫」を引いた時点で終わってしまうからだ。
君は反復試行すら分かってないらしい。どうしようもないな。
>>700
もうちょっと正確に書くと
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
こういうことだよ
もうちょっと正確に書くと
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
こういうことだよ
>>702
いや、だからね、これは>>691と言ってることが全く同じでしょ。
「この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いてあるけど、それはつまり
「2枚を山に戻して(2)に戻る」
とだけ書いてるのと一緒だからね。
一応言っておくけど、「データの総数を N として」というのはもちろん
紙にメモされた回数の全体を N としているのであって、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれてないんだよ(メモの前に(2)に戻るから)。
だから、前者の書き方でも後者の書き方でも何も変わらない。
どうしても>>702の書き方でないとイヤならそれでもいいけど、
結局その>>702の試行では 1/3 に収束してしまうわけで、君としてはそれでいいのか？
いや、だからね、これは>>691と言ってることが全く同じでしょ。
「この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いてあるけど、それはつまり
「2枚を山に戻して(2)に戻る」
とだけ書いてるのと一緒だからね。
一応言っておくけど、「データの総数を N として」というのはもちろん
紙にメモされた回数の全体を N としているのであって、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれてないんだよ(メモの前に(2)に戻るから)。
だから、前者の書き方でも後者の書き方でも何も変わらない。
どうしても>>702の書き方でないとイヤならそれでもいいけど、
結局その>>702の試行では 1/3 に収束してしまうわけで、君としてはそれでいいのか？
こちらでも一応、ケチのつかない形の完全版の試行を記述しておく。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
"メモが発生した回数" を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
注意：「メモが発生した回数」を N としているので、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれない。つまり、(3)の1行目は
「表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いているのと全く同じ。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
"メモが発生した回数" を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
注意：「メモが発生した回数」を N としているので、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれない。つまり、(3)の1行目は
「表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いているのと全く同じ。
sim <- function(){ # 1が犬、0が猫に対応
pets=rbinom(2,1,p=0.5) # 0.5の確率で1がでる乱数を2個選んでpetsとする
pet=sample(pets,1,prob=c(1/2,1/2)) # petsから等確率で1個選んでpetとする。
if(pet==1){ # petが１なら
return(sum(pets)==2) # petsの総和が2か否かを返す
}else{ # そうでないなら
return(NA) # NA(Not Available)を返す
}
}
# 100万回シミュレーションして割合=確率を近似
mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
結果は1/2に軍配が上がる
> mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
[1] 0.4997591
pets=rbinom(2,1,p=0.5) # 0.5の確率で1がでる乱数を2個選んでpetsとする
pet=sample(pets,1,prob=c(1/2,1/2)) # petsから等確率で1個選んでpetとする。
if(pet==1){ # petが１なら
return(sum(pets)==2) # petsの総和が2か否かを返す
}else{ # そうでないなら
return(NA) # NA(Not Available)を返す
}
}
# 100万回シミュレーションして割合=確率を近似
mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
結果は1/2に軍配が上がる
> mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
[1] 0.4997591
>>710
こっちでもプログラミング組んでみたら1/2になった。
むかし同じ問題で実験したときは1/3だったはずだが、なぜだ！
こっちでもプログラミング組んでみたら1/2になった。
むかし同じ問題で実験したときは1/3だったはずだが、なぜだ！
>>669
存在しない。
まず(x,y,z)がすべて自然数の場合は4行目の前提により存在しない。
自然数の3乗は自然数であり、純虚数の3乗は純虚数である。
(x,y,z)のうち1つが純虚数のとき、自然数２つの和または差が純虚数となりそのようなものは存在しない。
(x,y,z)のうち2つが純虚数のとき、純虚数２つの和または差が自然数となる。
純虚数の和または差が実数になるのは差が0のときだけだが、自然数の3乗は0でないのでこのようなものは存在しない。
(x,y,z)すべてが純虚数のとき、それぞれを3乗すると-in^3または+in^3の形になる。
両辺をiで割り必要ならば移行して整理すると、自然数a,b,cを用いて a^3+b^3+c^3=0 または a^3+b^3=c^3 のどちらかの形に変形できる。
いずれの場合もこれを満たす数は存在しない。
>>674
(1)a=0 とすると 2^(km+1)=n^m となる。左辺の素因数はすべて2だが右辺は2以外の素因数をもつため矛盾する。
(2)2^{1/(m+a)}=11/(2^k)であり、1＜2^{1/(m+a)}≦2 であるから k=3
このとき (11/8)^(m+a)=2 から (11/8)^m≦(11/8)^(m+a)＜(11/8)^(m+1) であるが (11/8)^2<2<(11/8)^3 のためこれを満たすのは m=2
このとき 1/a=log_(128/121)[11/8]
ここで (128/121)^5=34359738368/25937424601<11/8=1.375<4398046511104/3138428376721=(128/121)^6 であるから p=5
存在しない。
まず(x,y,z)がすべて自然数の場合は4行目の前提により存在しない。
自然数の3乗は自然数であり、純虚数の3乗は純虚数である。
(x,y,z)のうち1つが純虚数のとき、自然数２つの和または差が純虚数となりそのようなものは存在しない。
(x,y,z)のうち2つが純虚数のとき、純虚数２つの和または差が自然数となる。
純虚数の和または差が実数になるのは差が0のときだけだが、自然数の3乗は0でないのでこのようなものは存在しない。
(x,y,z)すべてが純虚数のとき、それぞれを3乗すると-in^3または+in^3の形になる。
両辺をiで割り必要ならば移行して整理すると、自然数a,b,cを用いて a^3+b^3+c^3=0 または a^3+b^3=c^3 のどちらかの形に変形できる。
いずれの場合もこれを満たす数は存在しない。
>>674
(1)a=0 とすると 2^(km+1)=n^m となる。左辺の素因数はすべて2だが右辺は2以外の素因数をもつため矛盾する。
(2)2^{1/(m+a)}=11/(2^k)であり、1＜2^{1/(m+a)}≦2 であるから k=3
このとき (11/8)^(m+a)=2 から (11/8)^m≦(11/8)^(m+a)＜(11/8)^(m+1) であるが (11/8)^2<2<(11/8)^3 のためこれを満たすのは m=2
このとき 1/a=log_(128/121)[11/8]
ここで (128/121)^5=34359738368/25937424601<11/8=1.375<4398046511104/3138428376721=(128/121)^6 であるから p=5
(1) 2匹の全容を知っている第三者が「少なくとも1匹は犬」と小出しに教えている状況では1/3
(2)「あなた」が自分の目で片方だけ確認して犬だったという状況では1/2
(2匹に区別がなくランダムに片方を確認する形式でも1/2)
になるようだ。両者をプログラミングで実験すると、そうなっている。
両者に同じ出題をしながら同時並行でシミュレーションするところを想像してみると、
(2)の設定では、確認した動物が猫だった場合は必ず前提から外れて排除になるが、
(1)だとそういうパターンのうちもう片方が犬のものは必ず前提に乗り上げることになり、
しかもそのケースでは猫が混じっているので「両方とも犬」は起こりえないことが(出題者視点では)分かっている。
つまり、(1)の方が(2)に比べて猫が混じっている出題が通過しやすくなり、「あなた」にとって不利になる。
別の言い方をすると、(2)では「自分の目で確認して犬だった」という前提によって
猫が混じっている出題を事前にある程度排除できているので、(1)より少し有利になる。
また、(2)については、「1匹目を目で確認した」とか「2匹目を目で確認した」とかでなく
「区別がない2匹からランダムに片方を確認した」という形式でも同じ理屈が通用して、
(1)より(2)の方が有利になる。
と考えると、(1)と(2)が少なくとも同じ確率にはならないことは明確になるか。
なんにせよ、すまんかった。
(2)「あなた」が自分の目で片方だけ確認して犬だったという状況では1/2
(2匹に区別がなくランダムに片方を確認する形式でも1/2)
になるようだ。両者をプログラミングで実験すると、そうなっている。
両者に同じ出題をしながら同時並行でシミュレーションするところを想像してみると、
(2)の設定では、確認した動物が猫だった場合は必ず前提から外れて排除になるが、
(1)だとそういうパターンのうちもう片方が犬のものは必ず前提に乗り上げることになり、
しかもそのケースでは猫が混じっているので「両方とも犬」は起こりえないことが(出題者視点では)分かっている。
つまり、(1)の方が(2)に比べて猫が混じっている出題が通過しやすくなり、「あなた」にとって不利になる。
別の言い方をすると、(2)では「自分の目で確認して犬だった」という前提によって
猫が混じっている出題を事前にある程度排除できているので、(1)より少し有利になる。
また、(2)については、「1匹目を目で確認した」とか「2匹目を目で確認した」とかでなく
「区別がない2匹からランダムに片方を確認した」という形式でも同じ理屈が通用して、
(1)より(2)の方が有利になる。
と考えると、(1)と(2)が少なくとも同じ確率にはならないことは明確になるか。
なんにせよ、すまんかった。
>>708
"
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
"
cards=rep(0:1,1e4) # 0：猫 1:犬のカードが1万枚
"
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
"
sim <- function(){
drawn=sample(cards,2) # 2枚のカードを引き
index=sample(2,1) # 2枚の中から1枚を
turned=drawn[index] # 表のカード
hidden=drawn[-index] # 裏のままのカード
"
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
"
if(turned==0){ # 表のカードが猫0なら
res=NA # 返り値にNA(Not Available)を
}else{ # そうでない（表のカードが犬1なら
res=hidden # 裏のままのカードの記載を返り値に
}
return(res)
}
"この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
メモが発生した回数 を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
"
M=replicate(1e5,sim()) # １０万回繰り返して
N=sum(!is.na(M)) # 返り値がNAでない（＝メモが取られた)回数をNとする
k=sum(M,na.rm=TRUE) # 返り値が犬1である個数を返す
k/N
実行結果は、
> k/N
[1] 0.4981091
"
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
"
cards=rep(0:1,1e4) # 0：猫 1:犬のカードが1万枚
"
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
"
sim <- function(){
drawn=sample(cards,2) # 2枚のカードを引き
index=sample(2,1) # 2枚の中から1枚を
turned=drawn[index] # 表のカード
hidden=drawn[-index] # 裏のままのカード
"
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
"
if(turned==0){ # 表のカードが猫0なら
res=NA # 返り値にNA(Not Available)を
}else{ # そうでない（表のカードが犬1なら
res=hidden # 裏のままのカードの記載を返り値に
}
return(res)
}
"この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
メモが発生した回数 を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
"
M=replicate(1e5,sim()) # １０万回繰り返して
N=sum(!is.na(M)) # 返り値がNAでない（＝メモが取られた)回数をNとする
k=sum(M,na.rm=TRUE) # 返り値が犬1である個数を返す
k/N
実行結果は、
> k/N
[1] 0.4981091
ね、水掛け論になるでしょ？ww
Nを自然数の定数とする。
n≦Nにおいて不等式 0 < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をa[n]とおく。
同様に、n≦Nにおいて不等式 1/(n+1) < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をb[n]とおく。
極限l im[N→∞] b[n]/a[n] を求めよ。
n≦Nにおいて不等式 0 < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をa[n]とおく。
同様に、n≦Nにおいて不等式 1/(n+1) < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をb[n]とおく。
極限l im[N→∞] b[n]/a[n] を求めよ。
東大院試2018
神野友亜いる？
>>621
これの問４を改題して
拳銃を一発撃ったときに、狙った相手を撃ち殺す確率は、
Ａは 1/3、Ｂは 1/2（50%）、Ｃは 1/1（100%）とします。
なお、この確率は、全員が知っているものとします。
拳銃を撃つ順番は、Ａ、Ｂ、Ｃの順番で、以降は最後の一人が生き残るまでこの順番を繰り返すものとします。
Ａ、Ｂ、Ｃは拳銃を撃つときに誰を狙っても良いこととします。ただし、一発で二人を狙うことはできません。
Ａ、Ｂ、Ｃの生き残る確率を求めなさい。
とするとどうやって解くのだろう？
シミュレーションしてみたら、A:1/2 B:1/6 C:1/3になった。
解析解は賢者にお任せします。
これの問４を改題して
拳銃を一発撃ったときに、狙った相手を撃ち殺す確率は、
Ａは 1/3、Ｂは 1/2（50%）、Ｃは 1/1（100%）とします。
なお、この確率は、全員が知っているものとします。
拳銃を撃つ順番は、Ａ、Ｂ、Ｃの順番で、以降は最後の一人が生き残るまでこの順番を繰り返すものとします。
Ａ、Ｂ、Ｃは拳銃を撃つときに誰を狙っても良いこととします。ただし、一発で二人を狙うことはできません。
Ａ、Ｂ、Ｃの生き残る確率を求めなさい。
とするとどうやって解くのだろう？
シミュレーションしてみたら、A:1/2 B:1/6 C:1/3になった。
解析解は賢者にお任せします。
>>720
ドッグフードを食べる猫やテレビから聞こえた犬の鳴き声の可能性が考慮されていないから、不合格！
ドッグフードを食べる猫やテレビから聞こえた犬の鳴き声の可能性が考慮されていないから、不合格！
>>722
シミュレーションのコードはここ
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/49-50
１００万回のシミュレーション結果は
> k=1e6
> re2=replicate(k,f2())
> apply(re2,1,mean)
[1] 0.500167 0.167806 0.332027
シミュレーションのコードはここ
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/49-50
１００万回のシミュレーション結果は
> k=1e6
> re2=replicate(k,f2())
> apply(re2,1,mean)
[1] 0.500167 0.167806 0.332027
>なお、この確率は、全員が知っているものとします。
これは自己生存確率が最大になるように行動する、という意味と解釈してプログラムした。
これは自己生存確率が最大になるように行動する、という意味と解釈してプログラムした。
>>715
数学的に明確な表現ならば、水掛け論になってもそこで終わらずに結論が出るというのは数学版の特徴だと思いました。
今回、以下の数学的な命題
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合、二匹とも犬である確率は1/2である。」
を私がすぐに提示できればよかったのですが、色々な例を出して混乱を生じさせてしまいました。
しかしれそれによって私の理解が深まったところはありました。
数学的に明確な表現ならば、水掛け論になってもそこで終わらずに結論が出るというのは数学版の特徴だと思いました。
今回、以下の数学的な命題
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合、二匹とも犬である確率は1/2である。」
を私がすぐに提示できればよかったのですが、色々な例を出して混乱を生じさせてしまいました。
しかしれそれによって私の理解が深まったところはありました。
「佐藤さんが一匹の犬を連れているのを見た場合に、二匹とも犬の確率は？」
上記についてですが、素直に解釈すると、
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」
と考えることができるので1/2になると思われます。
ただし「佐藤さんが一匹の犬を散歩させているのを見た場合」というような状況で、
「犬を散歩させることはあっても猫を散歩させることはない」というような前提を置くと、
単に犬が一匹以上いるということ以上の情報はないので確率は1/3になると思われます。
（あまり確信をもって言っているわけではありませんが・・・。）
上記についてですが、素直に解釈すると、
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」
と考えることができるので1/2になると思われます。
ただし「佐藤さんが一匹の犬を散歩させているのを見た場合」というような状況で、
「犬を散歩させることはあっても猫を散歩させることはない」というような前提を置くと、
単に犬が一匹以上いるということ以上の情報はないので確率は1/3になると思われます。
（あまり確信をもって言っているわけではありませんが・・・。）
もともとの問題（>>621）の問2ですが、
論拠1は、問題Aが数学的に明確な言葉で書かれているので正しいです。
論拠6は、論理的に正しいです。
論拠2、論拠3は、問題B、問題Cが数学的にあいまいな言葉で書かれているので、色々な解釈をとることができますが、まあ多少のことに目をつぶって自然な解釈をすると正しいと言えます。
論拠4ですが、問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4A)「ペットのうち少なくとも一匹は犬である」という意味で解釈をすると、問題Dの答えは1/3になるので、論拠4は正しくありません。
問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4B)「佐藤さんの家から一匹のペットの鳴き声が聞こえ、それが犬の鳴き声だった」という解釈をすると、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」と同じになりますので、問題Dの答えは1/2になります。
しかし、後者の解釈をとった場合は、論拠5が正しくなくなります。
論拠5の中の場合分けの中の「一匹の犬の鳴き声が聞こえた場合」は、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」という意味ではありません。(解釈4A)の意味に近いものになります。
したがって、
(解釈4B)をとった(D)の答え <= (C)の答え
にはなりません。
以上でどうでしょうか。
論拠1は、問題Aが数学的に明確な言葉で書かれているので正しいです。
論拠6は、論理的に正しいです。
論拠2、論拠3は、問題B、問題Cが数学的にあいまいな言葉で書かれているので、色々な解釈をとることができますが、まあ多少のことに目をつぶって自然な解釈をすると正しいと言えます。
論拠4ですが、問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4A)「ペットのうち少なくとも一匹は犬である」という意味で解釈をすると、問題Dの答えは1/3になるので、論拠4は正しくありません。
問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4B)「佐藤さんの家から一匹のペットの鳴き声が聞こえ、それが犬の鳴き声だった」という解釈をすると、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」と同じになりますので、問題Dの答えは1/2になります。
しかし、後者の解釈をとった場合は、論拠5が正しくなくなります。
論拠5の中の場合分けの中の「一匹の犬の鳴き声が聞こえた場合」は、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」という意味ではありません。(解釈4A)の意味に近いものになります。
したがって、
(解釈4B)をとった(D)の答え <= (C)の答え
にはなりません。
以上でどうでしょうか。
>>729
どうかと言われても、その返答を企業の面接担当がどう評価するかなどわかるわけもない。
少なくとも、数学板のスレに書き込むような数学にある程度の興味を持っている人間相手にすら全員一律に納得させるのは難しい
ということはここまでのやり取りでわかるだろう。
いわゆる人によって何が正しいかの感じ方が色々ある問題なので、あなたがそれで正しいと思うのならそれがあなたにとっての正しい解答でしょう。
企業の出題意図としては「正しい回答を出せるか」よりも「相手を納得させられる回答をできるか」を問う問題のように思われますので
解答に説得力があるかどうかを評価点とするのが妥当かと思いますが、その評価方法は数学の話ではないので出題者に聞いて下さい。
どうかと言われても、その返答を企業の面接担当がどう評価するかなどわかるわけもない。
少なくとも、数学板のスレに書き込むような数学にある程度の興味を持っている人間相手にすら全員一律に納得させるのは難しい
ということはここまでのやり取りでわかるだろう。
いわゆる人によって何が正しいかの感じ方が色々ある問題なので、あなたがそれで正しいと思うのならそれがあなたにとっての正しい解答でしょう。
企業の出題意図としては「正しい回答を出せるか」よりも「相手を納得させられる回答をできるか」を問う問題のように思われますので
解答に説得力があるかどうかを評価点とするのが妥当かと思いますが、その評価方法は数学の話ではないので出題者に聞いて下さい。
狙撃成功率しらないとして、相手をランダムに選んで（但し、自分自身は狙撃しない）でシミュレーションしてみたら
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/51
A、B、Cの生存確率はほぼ均一になった。
> RandomDuel(1/3,1/2,1)
[1] 0.33318 0.33410 0.33272
ちなみに狙撃成功率が全員１とすると
> RandomDuel(1,1,1)
[1] 0.00000 0.49837 0.50163
Aは必ず撃たれて死亡するという当然の結果になった。
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/51
A、B、Cの生存確率はほぼ均一になった。
> RandomDuel(1/3,1/2,1)
[1] 0.33318 0.33410 0.33272
ちなみに狙撃成功率が全員１とすると
> RandomDuel(1,1,1)
[1] 0.00000 0.49837 0.50163
Aは必ず撃たれて死亡するという当然の結果になった。
(Case AB)A,Bだけが健在で、手番がAの場合。
この状態から、Aが勝つ確率=1/3+(2/3)(1/2)(1/3)+{(2/3)(1/2)}^2(1/3)+...=1/2
(Case BA)A,Bだけが健在で、手番がBの場合。
この状態から、Bが勝つ確率=1/2+(1/2)(2/3)(1/2)+{(1/2)(2/3)}^2(1/2)+...=3/4
(Case AC)A,Cだけが健在で、手番がAの場合。 この状態から、Aが勝つ確率=1/3
(Case CA)A,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case BC)B,Cだけが健在で、手番がBの場合。 この状態から、Bが勝つ確率=1/2
(Case CB)B,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case CAB)全員健在で、手番がCの場合
CがAを撃てば、CaseBCに移行。Bが勝つ確率=1/2なので、Cの勝つ確率は1/2
CがBを撃てば、CaseACに移行。Aが勝つ確率=1/3なので、Cの勝つ確率は2/3
従って、CはBを撃つのが妥当(※)で、Cの勝つ確率は2/3
(Case BCA)全員健在で、手番がBの場合
BがAを撃ち、当たれば、CaseCBに移行し、C必勝。Bの勝つ確率0
BがCを撃ち、当たれば、CaseABに移行し、Aの勝つ確率は1/2なので、Bの勝つ確率1/2
Bがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseCABに移行。前述の通り、CaseCABになったとき、Bの勝つ確率は0が妥当
Bの最善手は、Cを狙うことで、この時の勝つ確率は、(1/2)*(1/2)=1/4
この状態から、Aが勝つ確率=1/3+(2/3)(1/2)(1/3)+{(2/3)(1/2)}^2(1/3)+...=1/2
(Case BA)A,Bだけが健在で、手番がBの場合。
この状態から、Bが勝つ確率=1/2+(1/2)(2/3)(1/2)+{(1/2)(2/3)}^2(1/2)+...=3/4
(Case AC)A,Cだけが健在で、手番がAの場合。 この状態から、Aが勝つ確率=1/3
(Case CA)A,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case BC)B,Cだけが健在で、手番がBの場合。 この状態から、Bが勝つ確率=1/2
(Case CB)B,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case CAB)全員健在で、手番がCの場合
CがAを撃てば、CaseBCに移行。Bが勝つ確率=1/2なので、Cの勝つ確率は1/2
CがBを撃てば、CaseACに移行。Aが勝つ確率=1/3なので、Cの勝つ確率は2/3
従って、CはBを撃つのが妥当(※)で、Cの勝つ確率は2/3
(Case BCA)全員健在で、手番がBの場合
BがAを撃ち、当たれば、CaseCBに移行し、C必勝。Bの勝つ確率0
BがCを撃ち、当たれば、CaseABに移行し、Aの勝つ確率は1/2なので、Bの勝つ確率1/2
Bがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseCABに移行。前述の通り、CaseCABになったとき、Bの勝つ確率は0が妥当
Bの最善手は、Cを狙うことで、この時の勝つ確率は、(1/2)*(1/2)=1/4
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがBを撃ち、当たれば、CaseCAに移行し、C必勝。Aの勝つ確率0
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12がこの時のAの勝つ確率
つまり、このゲームにおいて、Aの第一手の最善手は、わざと外すこと。
A:B:Cの勝率 = 5/12:1/4:1-(5/12+1/4) = 5/12 : 3/12 : 4/12 が妥当な勝率(比)と思われる。
AがBを撃ち、当たれば、CaseCAに移行し、C必勝。Aの勝つ確率0
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12がこの時のAの勝つ確率
つまり、このゲームにおいて、Aの第一手の最善手は、わざと外すこと。
A:B:Cの勝率 = 5/12:1/4:1-(5/12+1/4) = 5/12 : 3/12 : 4/12 が妥当な勝率(比)と思われる。
あんた三河の人だったんか
一手目のAの戦略がミソだな
>>733
わかりやすくて見事な解答なので何度も読み返してしまいました。
こういう説明ができるようになりたい。
私が計算したときは、Aがわざと外すに気が付かず、生き残る確率は、
B ＞ A ＞ C
の順番になってました（計算ミスしているかもしれないので詳細は省略（笑））
トップだと思っていたBは実は最下位だったのですね。
わかりやすくて見事な解答なので何度も読み返してしまいました。
こういう説明ができるようになりたい。
私が計算したときは、Aがわざと外すに気が付かず、生き残る確率は、
B ＞ A ＞ C
の順番になってました（計算ミスしているかもしれないので詳細は省略（笑））
トップだと思っていたBは実は最下位だったのですね。
わざと外すというのは狙撃確率が固定されているのでルール違反の気もする。狙撃手が選べるのは誰を狙うかだけが前提の気がするんだが。
コインの表の出る確率が1/2の問題に１回目は表を出しましたと言われた気がした。
コインの表の出る確率が1/2の問題に１回目は表を出しましたと言われた気がした。
>>740
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、...」「誰を狙っても良い」「一発で二人を狙うことはできない」と書かれているだけなので、ルール上は、わざと外す（誰も狙わずに撃つ）はOKと思われる。
この問題をAIが解けるかという観点で考えてみると、
ルールのスキマを見逃しやすい（今回の例だと「順番に誰か一人を狙って撃つ」と勘違いしてしまう）のはむしろ人間の弱みで、その点はむしろAIの方が強い。
一方で、拳銃を撃つ行為にはわざと外すという行為が可能であり、その行為には失敗がないこと、を知っている必要がありそこはAIが弱いところか。
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、...」「誰を狙っても良い」「一発で二人を狙うことはできない」と書かれているだけなので、ルール上は、わざと外す（誰も狙わずに撃つ）はOKと思われる。
この問題をAIが解けるかという観点で考えてみると、
ルールのスキマを見逃しやすい（今回の例だと「順番に誰か一人を狙って撃つ」と勘違いしてしまう）のはむしろ人間の弱みで、その点はむしろAIの方が強い。
一方で、拳銃を撃つ行為にはわざと外すという行為が可能であり、その行為には失敗がないこと、を知っている必要がありそこはAIが弱いところか。
>>733
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
AがCを撃ち殺す確率は1/3なので
AがCを撃ち殺したのちにBも撃ち殺して生き残る確率は1/3*1/4=1/12 -----(1)
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12 -----(2)
Aの生存確率は(1)+(2)=6/12=1/2になる気がするんだが。
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
AがCを撃ち殺す確率は1/3なので
AがCを撃ち殺したのちにBも撃ち殺して生き残る確率は1/3*1/4=1/12 -----(1)
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12 -----(2)
Aの生存確率は(1)+(2)=6/12=1/2になる気がするんだが。
>>734
ドッグフードを食べていたのは、
犬でも猫でもなくて飼い主の可能性も考慮というレスを期待していたのに。イナ大先生の芸風にほころびがｗ
ドッグフードを食べていたのは、
犬でも猫でもなくて飼い主の可能性も考慮というレスを期待していたのに。イナ大先生の芸風にほころびがｗ
任意の自然数kに対して、
(1/2){(m+n-1)^2+(m-n+1)}=k
を満たす自然数の組(m,n)がただ1組存在することを証明せよ。
またk=1010*2021のとき、(m,n)を求めよ。
(1/2){(m+n-1)^2+(m-n+1)}=k
を満たす自然数の組(m,n)がただ1組存在することを証明せよ。
またk=1010*2021のとき、(m,n)を求めよ。
∀k∈N ∃!x,y∈N
2k = x^2+y,
x≡y (mod 2),
y∈[x^2-x+2, x^2+x]
2k = x^2+y,
x≡y (mod 2),
y∈[x^2-x+2, x^2+x]
自分で思いついた問題で解答もわからない もしかしたら有名題かもしれない
pを５以上の素数とする
正p角形のある相異なる４つの頂点を順にA,B,C,D,とし、
AとC, BとDをそれぞれ結んだときにp角形の内部にできる交点をＥとする。
先に選んだA,B,C,Dと少なくとも一つの点が異なるように相異なる４点A',B',C',D'を選びなおし
同じように対角線の交点をE'とするとき、EとE'は一致しない、は正か
また逆に正n角形において同じ操作を行い、任意のA,B,C,D,A',B',C',D'の組み合わせにおいて
E≠E' が成り立つとき、nは5以上の素数である、は正か
もし高校数学レベルでの解き方があれば方針だけでも教えてもらえると嬉しい
pを５以上の素数とする
正p角形のある相異なる４つの頂点を順にA,B,C,D,とし、
AとC, BとDをそれぞれ結んだときにp角形の内部にできる交点をＥとする。
先に選んだA,B,C,Dと少なくとも一つの点が異なるように相異なる４点A',B',C',D'を選びなおし
同じように対角線の交点をE'とするとき、EとE'は一致しない、は正か
また逆に正n角形において同じ操作を行い、任意のA,B,C,D,A',B',C',D'の組み合わせにおいて
E≠E' が成り立つとき、nは5以上の素数である、は正か
もし高校数学レベルでの解き方があれば方針だけでも教えてもらえると嬉しい
>>749
5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。
後半は成り立たない。反例は正九角形くらいで十分だろう。
5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。
後半は成り立たない。反例は正九角形くらいで十分だろう。
>>742
その場合は、AがCを狙った場合ですので、5/12には2/3をかける必要があり、
(1/4)x(1/3) + (5/12)x(2/3) = 13/36 になります。
AがCを狙って撃つと、外した場合の勝率(5/12)よりも勝率は低くなるので、Aの第一手の最善手はわざと外すことになります。
その場合は、AがCを狙った場合ですので、5/12には2/3をかける必要があり、
(1/4)x(1/3) + (5/12)x(2/3) = 13/36 になります。
AがCを狙って撃つと、外した場合の勝率(5/12)よりも勝率は低くなるので、Aの第一手の最善手はわざと外すことになります。
>>738
自分以外の２人の狙撃成功率が高い相手を自動的に選んで狙撃するという方針、
選んだ相手を固定の確率で撃ち殺すとする（わざと外すのはなし）
Aから始めると私のシミュレーションでもA,B,Cの生存確率は
B ＞ A ＞ Cという順になった。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
BやCから始めてのシミュレーション結果は以下の通り
> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
> apply(replicate(1e6,fn(3)),1,mean) # CAB
[1] 0.334521 0.000000 0.665479
自分以外の２人の狙撃成功率が高い相手を自動的に選んで狙撃するという方針、
選んだ相手を固定の確率で撃ち殺すとする（わざと外すのはなし）
Aから始めると私のシミュレーションでもA,B,Cの生存確率は
B ＞ A ＞ Cという順になった。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
BやCから始めてのシミュレーション結果は以下の通り
> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
> apply(replicate(1e6,fn(3)),1,mean) # CAB
[1] 0.334521 0.000000 0.665479
> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
ちなみにこれは>733の
> c(5/12,1/4,1/3)
[1] 0.4166667 0.2500000 0.3333333
に相当。
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
ちなみにこれは>733の
> c(5/12,1/4,1/3)
[1] 0.4166667 0.2500000 0.3333333
に相当。
>>751
ありがとうございます。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
でのAの生存確率と合致しました。
> 13/36
[1] 0.3611111
ありがとうございます。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
でのAの生存確率と合致しました。
> 13/36
[1] 0.3611111
誤答とわかったので >724は撤回します。
デバッグしたプログラムは
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/57
>754を分数表示すると
ABCの順に狙撃するとして、狙撃率が高い相手を選んで与えられた確率で撃ち殺す（わざと外すのはなし）
ABCの生存確率は
13/36,15/36,8/36
デバッグしたプログラムは
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/57
>754を分数表示すると
ABCの順に狙撃するとして、狙撃率が高い相手を選んで与えられた確率で撃ち殺す（わざと外すのはなし）
ABCの生存確率は
13/36,15/36,8/36
>>748
確かに、条件を満足する点列の存在は示している
ただ唯一性は示されていない
唯一性を示す方法はないだろうか、ここばかりは点列による視覚的表現では無理だと思う
ところで10102021は(2020,1)になるんだな、上手い
確かに、条件を満足する点列の存在は示している
ただ唯一性は示されていない
唯一性を示す方法はないだろうか、ここばかりは点列による視覚的表現では無理だと思う
ところで10102021は(2020,1)になるんだな、上手い
>>597
計算しやすいように容量を90とする。
ホースAは90/18=5/分 ホースBは90/15=6/分
5分後にXに5*5=25,Yに6*5=30たまっている。
Xの水位を1とすると底面積は25/1=25
Yの水位は6なので底面積は30/6=5
ドーナツの面積は25-5=20でXの20/25=4/5
ホースAなら(4/5)*18分かかるがホースBを使うため
(4/5)*18*(5/6)=12分で満タン。
計算しやすいように容量を90とする。
ホースAは90/18=5/分 ホースBは90/15=6/分
5分後にXに5*5=25,Yに6*5=30たまっている。
Xの水位を1とすると底面積は25/1=25
Yの水位は6なので底面積は30/6=5
ドーナツの面積は25-5=20でXの20/25=4/5
ホースAなら(4/5)*18分かかるがホースBを使うため
(4/5)*18*(5/6)=12分で満タン。
>>757
一意性を示す
つまり (m+n-1)^2+(m-n+1) = 2k
が自然数m,nに対して成立していたとする
このとき x=m+n-1, y=m-n+1 とおくと
m,nが自然数であることから x≧y, x+y≧2 が得られる
置き換えにより x^2+y = 2k, つまり y = 2k-x^2 を得るから
これをさっき得た2つの不等式に代入して
1 + x(x-1)/2 ≦ k ≦ x(x+1)/2 を得る
f(x)=x(x-1)/2 とおくと これは f(x) ＜ k ≦ f(x+1) と同値である
関数fは自然数zに対して f(z+1)＞f(z) を常にに満たすので
f(z) ＜ k ≦ f(z+1) を満たす自然数zは一意的に存在する それをz=wとおけば
x=w がいえて よって y=2k-w^2 であるから 問題の一意性が示された
解の存在性は逆をたどれば ほとんど明らかである
その際は x,yの偶奇が常に一致していることも用いる
■
一意性を示す
つまり (m+n-1)^2+(m-n+1) = 2k
が自然数m,nに対して成立していたとする
このとき x=m+n-1, y=m-n+1 とおくと
m,nが自然数であることから x≧y, x+y≧2 が得られる
置き換えにより x^2+y = 2k, つまり y = 2k-x^2 を得るから
これをさっき得た2つの不等式に代入して
1 + x(x-1)/2 ≦ k ≦ x(x+1)/2 を得る
f(x)=x(x-1)/2 とおくと これは f(x) ＜ k ≦ f(x+1) と同値である
関数fは自然数zに対して f(z+1)＞f(z) を常にに満たすので
f(z) ＜ k ≦ f(z+1) を満たす自然数zは一意的に存在する それをz=wとおけば
x=w がいえて よって y=2k-w^2 であるから 問題の一意性が示された
解の存在性は逆をたどれば ほとんど明らかである
その際は x,yの偶奇が常に一致していることも用いる
■
平面上の3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)が同一直線上にないとする。
このとき3点を通る放物線で、直線ax+by+c=0に平行な準線を持つものが存在することを示せ。
このとき3点を通る放物線で、直線ax+by+c=0に平行な準線を持つものが存在することを示せ。
回転すると「指定の3点を通るx軸に平行な準線を持つ放物線はあるか？」という問題になるので、y=px^2+qx+rに指定の3点をそれぞれ代入して3元1次連立方程式を得る
この連立方程式が不能であるかどうかは3点が同一直線上にないという条件だけでは判定できない
例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
この連立方程式が不能であるかどうかは3点が同一直線上にないという条件だけでは判定できない
例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
ちなみに放物線が存在するかどうかはこんな感じで判定できる
(x_i^2)p+(x_i)q+r=y_i (i=1,2,3)
左辺の係数行列をA、拡大係数行列をAbと書くとするとrank[A]=rank[Ab]のとき、放物線が存在する
普通に不能かどうかを判定するだけです
とにかく準線に垂直な直線を作ってしまうような2点は通れない（放物線の定義に戻って考えればすぐに分かる）のだから、問題が間違っているよ
(x_i^2)p+(x_i)q+r=y_i (i=1,2,3)
左辺の係数行列をA、拡大係数行列をAbと書くとするとrank[A]=rank[Ab]のとき、放物線が存在する
普通に不能かどうかを判定するだけです
とにかく準線に垂直な直線を作ってしまうような2点は通れない（放物線の定義に戻って考えればすぐに分かる）のだから、問題が間違っているよ
>>765
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、Cさんは1/1」と書かれているだけなので、Cが誰も狙わずに撃つ（わざと外す）ことは、現在のルール上でも禁じられていない。
Aの立場になってみると、命がかかった勝負でルールで禁じられていないことをやって、Bから「反則だ！」と言われても、そんなこと知ったことか（こんなときにお前のマイルールを押し付けるなよ）という思いになるだろう。
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、Cさんは1/1」と書かれているだけなので、Cが誰も狙わずに撃つ（わざと外す）ことは、現在のルール上でも禁じられていない。
Aの立場になってみると、命がかかった勝負でルールで禁じられていないことをやって、Bから「反則だ！」と言われても、そんなこと知ったことか（こんなときにお前のマイルールを押し付けるなよ）という思いになるだろう。
>>763
>例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
それ回転が不十分なだけで反例になってなくね？
適当に回転させれば一価にできるだろ
そもそも x = y^2 だって放物線なわけだし
>例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
それ回転が不十分なだけで反例になってなくね？
適当に回転させれば一価にできるだろ
そもそも x = y^2 だって放物線なわけだし
同一直線上にない3点A,B,Cと0でないベクトルnに対し、
A,B,Cを通り、準線がnと垂直なものが存在する
⇔AB、BC、CAのいずれもがnと平行でない。
でないの？
A,B,Cを通り、準線がnと垂直なものが存在する
⇔AB、BC、CAのいずれもがnと平行でない。
でないの？
>>762
回転すると
u = (bx-ay)/√(aa+bb), v = (ax+by)/√(aa+bb),
となる。
準線は v = -c/√(aa+bb) に平行。 (v = 一定)
⊿ = (u1-u2)(u2-u3)(u3-u1) ≠ 0 のとき、3点A,B,Cを通る2次以下の多項式
v = u^2･p + u･q ＋r,
が１つある。(ラグランジュ補間公式)
p = {(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3}/⊿,
q = {(u2u2-u3u3)v1 + (u3u3-u1u1)v2 + (u1u1-u2u2)v3}/⊿,
r = {u2u3(u3-u2)v1 + u3u1(u1-u3)v2 + u1u2(u2-u1)v3}/⊿,
しかし A,B,C が一直線上にあれば直線(p=0)になる。
放物線となるには
p ≠ 0,
(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3 ≠ 0,
(x3-x2)y1 + (x1-x3)y2 + (x2-x1)y3 ≠ 0,
回転すると
u = (bx-ay)/√(aa+bb), v = (ax+by)/√(aa+bb),
となる。
準線は v = -c/√(aa+bb) に平行。 (v = 一定)
⊿ = (u1-u2)(u2-u3)(u3-u1) ≠ 0 のとき、3点A,B,Cを通る2次以下の多項式
v = u^2･p + u･q ＋r,
が１つある。(ラグランジュ補間公式)
p = {(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3}/⊿,
q = {(u2u2-u3u3)v1 + (u3u3-u1u1)v2 + (u1u1-u2u2)v3}/⊿,
r = {u2u3(u3-u2)v1 + u3u1(u1-u3)v2 + u1u2(u2-u1)v3}/⊿,
しかし A,B,C が一直線上にあれば直線(p=0)になる。
放物線となるには
p ≠ 0,
(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3 ≠ 0,
(x3-x2)y1 + (x1-x3)y2 + (x2-x1)y3 ≠ 0,
nを2以上の自然数の定数とし、f(x)=x^n-axとする。
kを自然数の定数とし、|f(1/2^k)-f(0)|>1となるように実数aを定めたい。
aをnとkで表し、lim[k→∞] a をnで表せ。
kを自然数の定数とし、|f(1/2^k)-f(0)|>1となるように実数aを定めたい。
aをnとkで表し、lim[k→∞] a をnで表せ。
>>772
f(0)=0 , f(1/2^k)=2^(nk)-a*2^k から
a*2^k>2^(nk)+1 または a*2^k<2^(nk)-1
a>(2^k)^(n-1)+1/(2^k) または a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k)
nを固定するとき、任意の実数aに対して十分大きなkをとると a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k) を満たすようにできる。
したがって、lim[k→∞] が任意の値をとるように実数aを定めることができる。
f(0)=0 , f(1/2^k)=2^(nk)-a*2^k から
a*2^k>2^(nk)+1 または a*2^k<2^(nk)-1
a>(2^k)^(n-1)+1/(2^k) または a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k)
nを固定するとき、任意の実数aに対して十分大きなkをとると a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k) を満たすようにできる。
したがって、lim[k→∞] が任意の値をとるように実数aを定めることができる。
全くわからない 助けﾃ…
ある型のコンピュータの故障率は0.001である。1000台使用した時に故障するのが2台以下である確率を求めたい。故障する台数をXとするとXは2項分布である。
(1)求める確率P(X≤2)を2項係数を用いた式で書きなさい。
(2)E(X) を求めよ。
(3)P(X ≤ 2)を(2)の値をλとするポアソン分布で近似して求めよ。（e=2.718で計算し四捨五入して小数第3位まで求めよ。）
ある型のコンピュータの故障率は0.001である。1000台使用した時に故障するのが2台以下である確率を求めたい。故障する台数をXとするとXは2項分布である。
(1)求める確率P(X≤2)を2項係数を用いた式で書きなさい。
(2)E(X) を求めよ。
(3)P(X ≤ 2)を(2)の値をλとするポアソン分布で近似して求めよ。（e=2.718で計算し四捨五入して小数第3位まで求めよ。）
>>774
(1)
n=1000, p=0.001 とおくと
P(X=k) = C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
P(X≦2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= 0.367695425 + 0.368063488 + 0.184031744
= 0.919790657
(2)
E(X) = Σ[k=1,n] k･P(X=k)
= Σ[k=1,n] k･C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
= n･p Σ[k=1,n] C[n-1,k-1] (1-p)^(n-k)･p^(k-1)
= n･p
= 1000・0.001
= 1,
(1)
n=1000, p=0.001 とおくと
P(X=k) = C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
P(X≦2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= 0.367695425 + 0.368063488 + 0.184031744
= 0.919790657
(2)
E(X) = Σ[k=1,n] k･P(X=k)
= Σ[k=1,n] k･C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
= n･p Σ[k=1,n] C[n-1,k-1] (1-p)^(n-k)･p^(k-1)
= n･p
= 1000・0.001
= 1,
整数nを十進法表記したとき、どの桁の数も4,7,9のいずれかであり、かつ、4,7,9のいずれも少なくとも1回は現れるという。
このようなn全体からなる集合をSとしたとき、Sの要素で平方数となるものは存在するか。
このようなn全体からなる集合をSとしたとき、Sの要素で平方数となるものは存在するか。
797449
こういうクソ問はなんなんだろうな
モチベーションもわからんし
モチベーションもわからんし
>>774
> # Rが使えるなら
> n=1000
> p=0.001
> x=0:1000
> # (1)
> pbinom(2,n,p)
[1] 0.91979065715979891
> #(2)
> sum(x*dbinom(x,n,p)/sum(dbinom(x,n,p)))
[1] 1
> #(3)
> ppois(2,1)
[1] 0.91969860292860584
> # Rが使えるなら
> n=1000
> p=0.001
> x=0:1000
> # (1)
> pbinom(2,n,p)
[1] 0.91979065715979891
> #(2)
> sum(x*dbinom(x,n,p)/sum(dbinom(x,n,p)))
[1] 1
> #(3)
> ppois(2,1)
[1] 0.91969860292860584
半径1の円Cに内接する正三角形△PQRと、C上を動く点Xを考える。
このとき自然数nの定め方によっては、a[n]=|XP|^n+|XQ|^n+|XR|^n
がnのみに依存する値をとることがある（すなわち、C上のどの位置にXがあってもa[n]の値は不変である）。
そのようなnを全て決定せよ。
このとき自然数nの定め方によっては、a[n]=|XP|^n+|XQ|^n+|XR|^n
がnのみに依存する値をとることがある（すなわち、C上のどの位置にXがあってもa[n]の値は不変である）。
そのようなnを全て決定せよ。
>>781
総当たりプログラムの練習にして遊んでみた。
library(gtools)
library(gmp)
v=c(4,7,9)
fn <- function(n){
pm=permutations(3,n,v,rep=T)
f <- function(x){
if(all(v %in% x)){
y=as.numeric(paste0(x,collapse = ''))
if(is.whole(sqrt(y))) return(y)
}
}
unlist(apply(pm,1,f))
}
i=1
flg=is.null(fn(i))
while(flg){
flg=is.null(fn(i))
i=i+1
}
fn(i-1)
> fn(i-1)
[1] 797449
総当たりプログラムの練習にして遊んでみた。
library(gtools)
library(gmp)
v=c(4,7,9)
fn <- function(n){
pm=permutations(3,n,v,rep=T)
f <- function(x){
if(all(v %in% x)){
y=as.numeric(paste0(x,collapse = ''))
if(is.whole(sqrt(y))) return(y)
}
}
unlist(apply(pm,1,f))
}
i=1
flg=is.null(fn(i))
while(flg){
flg=is.null(fn(i))
i=i+1
}
fn(i-1)
> fn(i-1)
[1] 797449
>>784
C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい
2(√3)^n=2+2^n
右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。
(2/√3)^n=2-2/(√3)^n
n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。
したがって n=2 または n=4 である。
Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。
|XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から
3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60°
p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr
差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q)
r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r
r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq
a[2]=p^2+q^2+r^2
=(3-pq)+(3+pq)
=6
a[4]=p^4+q^4+r^4
=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2
=(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2
=18
C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい
2(√3)^n=2+2^n
右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。
(2/√3)^n=2-2/(√3)^n
n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。
したがって n=2 または n=4 である。
Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。
|XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から
3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60°
p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr
差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q)
r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r
r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq
a[2]=p^2+q^2+r^2
=(3-pq)+(3+pq)
=6
a[4]=p^4+q^4+r^4
=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2
=(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2
=18
関数 f(x) は
x が無理数の時 、f(x) = 0
x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。
区間 0 < x < 200 で、
x が有理数の時、
f（x） の最小値 とその時のxの値を答えよ。
x が無理数の時 、f(x) = 0
x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。
区間 0 < x < 200 で、
x が有理数の時、
f（x） の最小値 とその時のxの値を答えよ。
>>787
最小値は存在しない:
mを1以上の整数とするとき
n=200m-1 とおけば 0＜n/m＜200 であるが
f(n/m)=1/n より f(n/m) = 1/n = 1/(200m-1)
よって, xが0＜x＜200の範囲にある有理数であっても
f(x)はいくらでも0に近い値を取ることができる
一方で f(x)=0 を満たす有理数x＞0は定義上明らかに存在しない
つまり f(x)は問題の条件下では最小値を持たないといえる
最小値は存在しない:
mを1以上の整数とするとき
n=200m-1 とおけば 0＜n/m＜200 であるが
f(n/m)=1/n より f(n/m) = 1/n = 1/(200m-1)
よって, xが0＜x＜200の範囲にある有理数であっても
f(x)はいくらでも0に近い値を取ることができる
一方で f(x)=0 を満たす有理数x＞0は定義上明らかに存在しない
つまり f(x)は問題の条件下では最小値を持たないといえる
>>784
プログラム解
> a=2*pi/3
> P=1+0*1i
> Q=cos(a)+1i*sin(a)
> R=cos(-a)+1i*sin(-a)
> b=seq(-pi,pi,len=100)
> X=cos(b)+1i*sin(b)
> fn <- function(n){
+ y=abs(P-X)^n+abs(Q-X)^n+abs(R-X)^n
+ if(round(min(y),1)==round(max(y),1)) print(n)
+ }
> for(i in 1:1000) fn(i)
[1] 2
[1] 4
プログラム解
> a=2*pi/3
> P=1+0*1i
> Q=cos(a)+1i*sin(a)
> R=cos(-a)+1i*sin(-a)
> b=seq(-pi,pi,len=100)
> X=cos(b)+1i*sin(b)
> fn <- function(n){
+ y=abs(P-X)^n+abs(Q-X)^n+abs(R-X)^n
+ if(round(min(y),1)==round(max(y),1)) print(n)
+ }
> for(i in 1:1000) fn(i)
[1] 2
[1] 4
>>748
第一象限の格子点(m,n)全体の集合をKと名付けるならば、
Kの各点に一つの番号を付けて、それを一つの無限点列にすることができる。
すなわち、Kはいわゆる可算（countable, denumerable, abzaelbar）集合である。
次の図は、このような番号付けの例を示すものである。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章 §50. 二重級数 p.173 の右図
第一象限の格子点(m,n)全体の集合をKと名付けるならば、
Kの各点に一つの番号を付けて、それを一つの無限点列にすることができる。
すなわち、Kはいわゆる可算（countable, denumerable, abzaelbar）集合である。
次の図は、このような番号付けの例を示すものである。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章 §50. 二重級数 p.173 の右図
>>777
2016/Feb/15 衆院 予算委員会
ダウンロード＆関連動画＞＞
04:11
(大意)
ペット用のはペットボトルに入れて区別しよう････てワケではない。
2016/Feb/15 衆院 予算委員会
ダウンロード＆関連動画＞＞
04:11
(大意)
ペット用のはペットボトルに入れて区別しよう････てワケではない。
三角形の２頂点と内心と傍心の４点を通って中心が外接円上にある円の名前はこの中にあるのでしょうか？
https://mathworld.wolfram.com/topics/TriangleCircles.html
https://mathworld.wolfram.com/topics/TriangleCircles.html
a,b,c,d,e,fを整数とする。xy平面において、曲線
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0
が放物線または双曲線であるとき、この曲線上には無数の格子点が存在すると言えるか。
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0
が放物線または双曲線であるとき、この曲線上には無数の格子点が存在すると言えるか。
>>794
いえない。
例えば、双曲線 x^2-y^2=1 上の格子点は(1,0),(-1,0)の2点だけである。
(x+y)(x-y)=1 を満たす整数の組を考えればわかるだろう。
いえない。
例えば、双曲線 x^2-y^2=1 上の格子点は(1,0),(-1,0)の2点だけである。
(x+y)(x-y)=1 を満たす整数の組を考えればわかるだろう。
lim[k→0] ∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx) dx
の極限と積分の順序交換をして良い理由は何でしょうか。
の極限と積分の順序交換をして良い理由は何でしょうか。
F(x)＝∫[0,x] (sin(t)/t)dt と置くと、A ＝ lim[x→＋∞] F(x) が有限値で存在する。
特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。
∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx
＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋A
ここで、M＞0を任意に取ると
｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜
≦k∫[0,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
＝k∫[0,M]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx
≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)
なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)－A｜ となる。
Mは任意だから、M→∞ とすると limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ 0
となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって
lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A
となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。
よって、結果的にはこのケースでは極限と積分の順序交換が成り立っている。
特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。
∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx
＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋A
ここで、M＞0を任意に取ると
｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜
≦k∫[0,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
＝k∫[0,M]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx
≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)
なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)－A｜ となる。
Mは任意だから、M→∞ とすると limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ 0
となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって
lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A
となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。
よって、結果的にはこのケースでは極限と積分の順序交換が成り立っている。
半径Rの円C上に1点Aが固定されている。
Aを1つの頂点とし、Cに内接する正七角形をSとする。
同様にAを1つの頂点とし、Cに内接する正九角形をTとする。
領域「Sの外部 かつ Tの内部」の面積をRで表せ。
Aを1つの頂点とし、Cに内接する正七角形をSとする。
同様にAを1つの頂点とし、Cに内接する正九角形をTとする。
領域「Sの外部 かつ Tの内部」の面積をRで表せ。
めんどいだけ
平面にｎ本の直線を引くときに出来る有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
平面にｎ本の直線を引くときに出来る非有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
平面にｎ本の直線を引くときに出来る非有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
n本目の直線を曳くと、
新たにできる交点のうち最外のものよりも外側の部分で仕切られた
非有界な領域が２つできる。
（ただし、すべての直線が平行な場合は１つに減る。）
・n本目が 1～(n-1)本目 のどれに平行でないとき、
新たな交点が (n-1)個でき、それらの間の(n-2)個の線分で
仕切られた有界な領域が(n-2)個できる。
・n本目が 1～(n-1)本目のどれかに平行なとき
平行線の数だけ交点・線分・領域の数が減る。
有界な領域の数（最大）： (n-1)(n-2)/2,
非有界な領域の数（最大）： 2n
新たにできる交点のうち最外のものよりも外側の部分で仕切られた
非有界な領域が２つできる。
（ただし、すべての直線が平行な場合は１つに減る。）
・n本目が 1～(n-1)本目 のどれに平行でないとき、
新たな交点が (n-1)個でき、それらの間の(n-2)個の線分で
仕切られた有界な領域が(n-2)個できる。
・n本目が 1～(n-1)本目のどれかに平行なとき
平行線の数だけ交点・線分・領域の数が減る。
有界な領域の数（最大）： (n-1)(n-2)/2,
非有界な領域の数（最大）： 2n
>>801
半径R=1 の場合を求め、あとで RR 倍すればよい。
A(1,0)
B( 0.661337323892269, 0.703240293158150)
(cos(40), sin(40))
を頂点とする△_1
C( 0.460960990844761, 0.818927622982359)
D(-0.074276143175737, 0.941092006073824)
(cos(80), sin(80))
を頂点とする△_2
E(-0.319077014266614, 0.897927007599567)
F(-0.785024867306145, 0.526345994193652)
(cos(120), sin(120))
を頂点とする△_3
G (-cos(π/7), 0.388169314943297)
(cos(160), sin(160))
(cos(200), sin(200))
G~(-cos(π/7), -0.388169314943297)
を頂点とする台形(trapezoid)
の面積を求めてたす。
半径R=1 の場合を求め、あとで RR 倍すればよい。
A(1,0)
B( 0.661337323892269, 0.703240293158150)
(cos(40), sin(40))
を頂点とする△_1
C( 0.460960990844761, 0.818927622982359)
D(-0.074276143175737, 0.941092006073824)
(cos(80), sin(80))
を頂点とする△_2
E(-0.319077014266614, 0.897927007599567)
F(-0.785024867306145, 0.526345994193652)
(cos(120), sin(120))
を頂点とする△_3
G (-cos(π/7), 0.388169314943297)
(cos(160), sin(160))
(cos(200), sin(200))
G~(-cos(π/7), -0.388169314943297)
を頂点とする台形(trapezoid)
の面積を求めてたす。
△_1 = 0.0265805988291735 (2つ)
△_2 = 0.0268429064059905 (2つ)
△_3 = 0.0261815312905293 (2つ)
台形T = 0.0282756761401363
この7つを合計する。
S/RR = 2(△_1+△_2+△_3) + T = 0.1874857491915230
△_2 = 0.0268429064059905 (2つ)
△_3 = 0.0261815312905293 (2つ)
台形T = 0.0282756761401363
この7つを合計する。
S/RR = 2(△_1+△_2+△_3) + T = 0.1874857491915230
この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方
宿題の問題は以下の通りです。
「縦12センチ(3センチ×4)、横20センチ(10センチ×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3センチ×10センチの大きさの4種類
(ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？
ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、
1. サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、
2. 各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。
(これら1.、2.の条件を無視した詰め方をすると、
「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。
また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする
(今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。
ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」
という宿題です。
回答宜しくお願い致します。
宿題の問題は以下の通りです。
「縦12センチ(3センチ×4)、横20センチ(10センチ×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3センチ×10センチの大きさの4種類
(ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？
ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、
1. サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、
2. 各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。
(これら1.、2.の条件を無視した詰め方をすると、
「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。
また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする
(今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。
ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」
という宿題です。
回答宜しくお願い致します。
6x6=36
8x8=64
10x10=100
36+64=100
これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然?
8x8=64
10x10=100
36+64=100
これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然?
>>812
(6, 8, 10) はピタゴラス数だから
原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍
ちなみに、
n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2
を満たす n は 6 と -2 のみ
(6, 8, 10) はピタゴラス数だから
原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍
ちなみに、
n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2
を満たす n は 6 と -2 のみ
中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。
>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
>>815
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2
つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している
d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2
つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している
d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
>>817
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
>>811
私は以下のように考えました。
ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り
が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？
何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？
ご教示のほど宜しくお願い致します。
私は以下のように考えました。
ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り
が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？
何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？
ご教示のほど宜しくお願い致します。
5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
どう間違えたらそうなるのか謎だ
nを3以上の自然数とするとき、
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。
（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。
（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
>>810
120通り
(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4
(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので
（216-24)/2 + 24 = 120通り
120通り
(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4
(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので
（216-24)/2 + 24 = 120通り
>>810
プログラムを組んで数えさせた。
library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321
different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation
all(y==z)
}
idx1=which(apply(pm1,1,fn1))
x2mat(pm1[idx1[24],])
s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric
sym =length(idx1) # symmetric
(s_as-sym)/2 + sym
> (s_as-sym)/2 + sym
[1] 120
プログラムを組んで数えさせた。
library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321
different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation
all(y==z)
}
idx1=which(apply(pm1,1,fn1))
x2mat(pm1[idx1[24],])
s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric
sym =length(idx1) # symmetric
(s_as-sym)/2 + sym
> (s_as-sym)/2 + sym
[1] 120
>>821
(a,b,c,d)
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
(a,b,c,d)
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
証明の行間って英語でどう書くのですか？
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).
上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).
上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
開球はR^3の部分集合とします。
単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。
Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合
ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
>>835
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
>>838
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3
ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。
o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2}
に対し、
S := {o(ε) | ε ∊ R}
を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、
位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3
ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。
o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2}
に対し、
S := {o(ε) | ε ∊ R}
を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、
位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。
反例のための位相なら
O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では
O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では
>>824
＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
本当にこのままです。
＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
本当にこのままです。
>>825
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？
dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
とあるサイトに
「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
次の微分方程式を解け。
dy+dx+dxdy = exp(dx)
dy+dx+dxdy = exp(dx)
>>848
再掲します
とあるサイトに
「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
再掲します
とあるサイトに
「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
引用の仕方が良くなかったですかね
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？
>>851
Wolfram大先生に聞いたら
https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+integral+solution+of+x%5E3+%2B+y%5E3+%2B+z%5E3+-+3+%3D+0
と「答え」を返してきましたけど
実際はどうなんでしょうか？
Wolfram大先生に聞いたら
https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+integral+solution+of+x%5E3+%2B+y%5E3+%2B+z%5E3+-+3+%3D+0
と「答え」を返してきましたけど
実際はどうなんでしょうか？
微分形式については次から次へと俺様微分形式が湧いて出るな。
∫[0,∞] exp(-x^3) dx
の値は知られていますか？
-x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。
の値は知られていますか？
-x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。
置換積分とガンマ関数で表わす
xyz空間の６点A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(0,0,1),P(a,b,c)を頂点とするn面体Kを考える。
（１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。
（２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。
（３）Kの体積を求めよ。
（１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。
（２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。
（３）Kの体積を求めよ。
定積分の問題です。
mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数)
とすると、
(2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2)
と出てきます。
これを証明したいのですが、できません。
留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。
どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、
ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。
mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数)
とすると、
(2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2)
と出てきます。
これを証明したいのですが、できません。
留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。
どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、
ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。
>>847
御解答ありがとうございます。
おっしゃる通りです。
私の計算でもwolframの計算でもその解答です。
しかし
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。
近似解でも良いから求められないでしょうか。
御解答ありがとうございます。
おっしゃる通りです。
私の計算でもwolframの計算でもその解答です。
しかし
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。
近似解でも良いから求められないでしょうか。
有名な話で恐縮ですが、ガンマ関数と解析接続の
γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞
という式はどう解釈すれば良いでしょうか。
計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。
ご教示お願いいたします。
γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞
という式はどう解釈すれば良いでしょうか。
計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。
ご教示お願いいたします。
何かをモデル化してその数式を導いたなら、モデル化か数式化がおかしいとしか言えない
近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない
近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない
>>868
Γ(s+1)=sΓ(s)で解析接続する。
Γ(s)=Γ(s+2)/(s(s+1))
で右辺はs=-1で一位の極。
Γ(s+1)=sΓ(s)で解析接続する。
Γ(s)=Γ(s+2)/(s(s+1))
で右辺はs=-1で一位の極。
>>864 に従って
x^n = t とおく。
∫[0,∞] exp(-x^n) dx
= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt
= (1/n)Γ(1/n)
= Γ(1+1/n),
n=1 のとき Γ(2) = 1,
n=2 のとき Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････
n=2.166226964260763････ で最小値 0.8856031944108887
n→∞ のとき 正方形（1×1）に近付く。
数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin)
x^n = t とおく。
∫[0,∞] exp(-x^n) dx
= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt
= (1/n)Γ(1/n)
= Γ(1+1/n),
n=1 のとき Γ(2) = 1,
n=2 のとき Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････
n=2.166226964260763････ で最小値 0.8856031944108887
n→∞ のとき 正方形（1×1）に近付く。
数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin)
>>855
(1)
∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx
= x/√(1-x^2),
(2)
x = tanh(t) とおく。
(3)
x = sinθ とおく。
(1)
∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx
= x/√(1-x^2),
(2)
x = tanh(t) とおく。
(3)
x = sinθ とおく。
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
（脱字修正）
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
f(x) のn階導函数を求めよ
(1) f(x) =1 /x(x + 1)
(2) f(x) = cos2xcos4x
(1) f(x) =1 /x(x + 1)
(2) f(x) = cos2xcos4x
arctanx + arccos 2/ 3 = 0 を満たす x を求めよ.
cosarcsinx の導函数を求めよ.
cosarcsinx の導函数を求めよ.
f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0)
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき
(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき
(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ
ただの計算問題はツマラン
A君が坂の途中のP地点に立っている。
A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。
この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。
A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。
この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。
>>879
坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。
東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。
xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0
この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。
すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。
坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。
東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。
xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0
この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。
すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。
>>882
計算機に解かせた。
> f <- function(x) atan(x) + acos(2/3)
> uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root
[1] -1.118034
> -sqrt(5)/2
[1] -1.118034
>
計算機に解かせた。
> f <- function(x) atan(x) + acos(2/3)
> uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root
[1] -1.118034
> -sqrt(5)/2
[1] -1.118034
>
>>879
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
>>885
勾配０の方向のθは（degree表示)
> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335
> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
勾配０の方向のθは（degree表示)
> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335
> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
>>885
Wolfram先生によるとθ＝ -2arctan(8/(9+√145)のときが最大とのこと。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=9*cos%28x%29+-+8*sin%28x%29
> -2*atan(8/(9+sqrt(145)))
[1] -0.7266423
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
まあ、あってる
Wolfram先生によるとθ＝ -2arctan(8/(9+√145)のときが最大とのこと。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=9*cos%28x%29+-+8*sin%28x%29
> -2*atan(8/(9+sqrt(145)))
[1] -0.7266423
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
まあ、あってる
恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。
出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。
出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
>>888
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
>>888
これは問題がいやらしいな。
行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
これは問題がいやらしいな。
行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
>>888
行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。
（帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい）
行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B
A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5
見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5
ここで、 （A + B） とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。
7 * (x+y) = 24 * 14
(x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48
答え 48 km
行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。
（帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい）
行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B
A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5
見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5
ここで、 （A + B） とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。
7 * (x+y) = 24 * 14
(x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48
答え 48 km
>>888
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
前>>891
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー
鳥居強右衛門レベル
補足です
f(x) のn階導函数を求めよ
(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
f(x) のn階導函数を求めよ
(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
>>898
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
鳥居みゆきレヴェル
鳥居ユキの服なんか持ってないのに･･･
鳥居ユキの服なんか持ってないのに･･･
>>888
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も
「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」
とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
出 → 峠 2時間
峠 → 目 4時間半
(帰り)
目 → 峠 6時間
峠 → 出 1時間半
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も
「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」
とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
出 → 峠 2時間
峠 → 目 4時間半
(帰り)
目 → 峠 6時間
峠 → 出 1時間半
>>898
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
次の函数の3階導函数を求めよ
① cosxcos3x
②e^x sinh2x (x > 0)
① cosxcos3x
②e^x sinh2x (x > 0)
このスレにもWolfram大先生のテンプレ貼ったほうがいいんじゃね
高校数学の質問スレPart405
http://2chb.net/r/math/1592497360/1-4
高校数学の質問スレPart405
http://2chb.net/r/math/1592497360/1-4
R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
>>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
（無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
>>910
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか
[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。
操作 A(n)
b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。
b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、
a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。
以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。
そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、
α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n))))))
とする。
【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。
（証明の方針）
(1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。
(2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか
[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。
操作 A(n)
b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。
b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、
a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。
以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。
そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、
α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n))))))
とする。
【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。
（証明の方針）
(1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。
(2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。
πだとこんな感じ
> pi
[1] 3.1415926535897931
> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
> pi
[1] 3.1415926535897931
> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
手間はかかるけど証明は自明に近いな
2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10)
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
Farey数列がらみの話ですな。
f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
f(x)=exp(2πix)
g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2))
g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2))
多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は
杉浦 解析入門2
ミルナー 微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック 微分位相幾何
以外にありますか？
杉浦 解析入門2
ミルナー 微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック 微分位相幾何
以外にありますか？
ゲームの課金ガチャを引いて、
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。
で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。
・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
（袋は巨大であり、大量の数の球が入っている）
その5色が何色かは分からない。
（ e.g. 例えば、 ｛赤、青、緑、紫, 水色｝ かもしれない)
「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。
これを繰り返す」
全5色のうち、4色が判明したら終了とする。
4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？
（または、何回の操作が必要だと見積もられるか？）
・問1.2
色の数を全100色にして、
100色のうち80色が判明するまで続ける。
その場合は、何回の操作が必要か？
（メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…）
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。
で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。
・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
（袋は巨大であり、大量の数の球が入っている）
その5色が何色かは分からない。
（ e.g. 例えば、 ｛赤、青、緑、紫, 水色｝ かもしれない)
「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。
これを繰り返す」
全5色のうち、4色が判明したら終了とする。
4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？
（または、何回の操作が必要だと見積もられるか？）
・問1.2
色の数を全100色にして、
100色のうち80色が判明するまで続ける。
その場合は、何回の操作が必要か？
（メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…）
5/5+5/4+5/3+5/4
100/100+100/99+‥+100/21
100/100+100/99+‥+100/21
答えを教えて欲しいです。
１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う
2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が
24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった
(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．
(ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ．
さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ．
１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う
2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が
24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった
(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．
(ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ．
さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ．
>>923
完全にランダムであり、同じ確率です。
割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。
ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、
「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」
と読み替えてください。
完全にランダムであり、同じ確率です。
割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。
ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、
「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」
と読み替えてください。
クーポンコレクターの亜種か
まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
>>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
期待値なら即答されてる
アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。
動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。
i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
アホすぎて計算ができひん。
動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。
i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
>>922 が答えなの？
ありがとうございます！
計算してみました。
式 100/100+100/99+‥+100/21
= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159
つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
ありがとうございます！
計算してみました。
式 100/100+100/99+‥+100/21
= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159
つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた
確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた
確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
>>921
シミュレーションしてみた。
> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明で終了
+ record=NULL # 記録された色
+ color=0 # 記録された色の種類
+ count=0 # 試行回数
+ while(color!=m){ # m色記録されないなら
+ count=count+1 # １個取り出して
+ record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消
+ color=length(record) # 記録された色の種類
+ }
+ return(count) # 試行回数を返す
+ }
>
> mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める
[1] 6.414439
>
シミュレーションしてみた。
> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明で終了
+ record=NULL # 記録された色
+ color=0 # 記録された色の種類
+ count=0 # 試行回数
+ while(color!=m){ # m色記録されないなら
+ count=count+1 # １個取り出して
+ record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消
+ color=length(record) # 記録された色の種類
+ }
+ return(count) # 試行回数を返す
+ }
>
> mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める
[1] 6.414439
>
>>924
１． 単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
１． 単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
>>924
正規分布近似
> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404
カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
正規分布近似
> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404
カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
>>937
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
>>945
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
>>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
>>931
百万回のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())
> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
百万回のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())
> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
>>931
２．のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6
1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
２．のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6
1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
>>950
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。
ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。
ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！
おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！
おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
ln (e!) x (a/b) !
↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。
全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、
a x {ln (e!) x (a/b) !} 回
のような気がする。
↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。
全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、
a x {ln (e!) x (a/b) !} 回
のような気がする。
>>940
１０００色までやってみた。
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356
> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm
Call:
lm(formula = y ~ n)
Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
１０００色までやってみた。
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356
> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm
Call:
lm(formula = y ~ n)
Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910
１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910
１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
ありがとうございました。
>>808 の計算
正n角形Sの頂点を S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。
Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。 ↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。 ↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに ↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1})
= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}),
ここで
T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)),
∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2),
より
△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
正n角形Sの頂点を S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。
Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。 ↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。 ↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに ↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1})
= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}),
ここで
T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)),
∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2),
より
△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
分からない問題はここに書いてね461
http://2chb.net/r/math/1594131967/
http://2chb.net/r/math/1594131967/
>>967
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
>>974
図示しないと気持ちがわるいな。
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
図示しないと気持ちがわるいな。
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
みんな頭いいな。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
X,Yを全順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？
なりそうな気がしますがどうでしょうか？
なりそうな気がしますがどうでしょうか？
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
π/3<a<2π/3
1/4
1/4
>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
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