さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね460
http://2chb.net/r/math/1589811916/
(使用済です: 478)
前スレ
分からない問題はここに書いてね460
http://2chb.net/r/math/1589811916/
(使用済です: 478)
Γ(3)
この問題の解き方教えてください！
「任意の4桁の数字を選び、その数字に関して、
ストレート(４桁の各数字と並びの順序が一致)や
ボックス(４桁の各数字が一致（並びの順序は問わない）)という当たり方がある、ナンバーズ4という宝くじに関して、巷で言われている、ある「理論」について考察してみよう。
それは、ナンバーズ4の達人と巷で騒がれている、
ミラクル・チャーリー氏が提唱する、「足す9理論」である。
これは、「4つの数字の中の2つは足して9になる数字を選ぶこと」らしい。
例えば「0935」の0+9=9、「3468」の3+6=9などが該当する。
なお、足して9になるペアを1つ作れば、他の2つの数字は何でも可とするらしい。
(つまり、0945のように、足して9になるペアが2つあってもよい。)
(1)
2秒で(つまり、直感で(※))、
以下の事象の確率を予想せよ。
(出題者の意図などを忖度せず、正直に答えること。)
(※)…直感については、
神永正博著
『直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 (ブルーバックス)』
などを、この問題に取り組んだ後にでも参照することを薦める。まずは、この問題に取り組もう。
(制限時間:2秒)
------------------------------------------------------
「足す9理論」が当選番号に生じている確率
------------------------------------------------------
予想はどうだっただろうか？
実はこの「理論」、過去の抽選100回中49回の当選番号に出現している、つまり、出現率49%を誇る理論と巷では言われている。(2019年8月9日時点)
「高っ！」と思っただろうか。
それとも、「低くない？」だろうか。
いやいや、「そんなもんだろ。」だろうか。
どう思ったかは兎も角、
(2)へ進もう。
(2)
(1)で扱った事象の確率を、今度は直感ではなく、計算して求めよ。
「任意の4桁の数字を選び、その数字に関して、
ストレート(４桁の各数字と並びの順序が一致)や
ボックス(４桁の各数字が一致（並びの順序は問わない）)という当たり方がある、ナンバーズ4という宝くじに関して、巷で言われている、ある「理論」について考察してみよう。
それは、ナンバーズ4の達人と巷で騒がれている、
ミラクル・チャーリー氏が提唱する、「足す9理論」である。
これは、「4つの数字の中の2つは足して9になる数字を選ぶこと」らしい。
例えば「0935」の0+9=9、「3468」の3+6=9などが該当する。
なお、足して9になるペアを1つ作れば、他の2つの数字は何でも可とするらしい。
(つまり、0945のように、足して9になるペアが2つあってもよい。)
(1)
2秒で(つまり、直感で(※))、
以下の事象の確率を予想せよ。
(出題者の意図などを忖度せず、正直に答えること。)
(※)…直感については、
神永正博著
『直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 (ブルーバックス)』
などを、この問題に取り組んだ後にでも参照することを薦める。まずは、この問題に取り組もう。
(制限時間:2秒)
------------------------------------------------------
「足す9理論」が当選番号に生じている確率
------------------------------------------------------
予想はどうだっただろうか？
実はこの「理論」、過去の抽選100回中49回の当選番号に出現している、つまり、出現率49%を誇る理論と巷では言われている。(2019年8月9日時点)
「高っ！」と思っただろうか。
それとも、「低くない？」だろうか。
いやいや、「そんなもんだろ。」だろうか。
どう思ったかは兎も角、
(2)へ進もう。
(2)
(1)で扱った事象の確率を、今度は直感ではなく、計算して求めよ。
(3)
(2)の結果を踏まえて、(1)での直感での予想との比較や、この「理論」の実績値について、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号(下部に添付)も参照しつつ考察せよ。
特に、「足す9理論」を理論として、支持するor支持しないorどちらでもない、
のどの立場を取るか、その理由とともに明記すること。
最新100回(5373回～5472回)(後ろのほうが最新)の当選番号
→
2808.5857.1913.9958.9209.0978.4752.8713.8836.0335.
8687.9217.2207.1775.0425.0773.9447.5706.3983.4477.
4097.7214.5351.3012.6240.2973.5141.2598.4906.9561.
4717.4489.8864.7838.7034.1092.7573.2175.4803.4017.
2861.7072.5078.9836.0426.2402.2929.1429.8886.4893.
7278.8472.3775.0029.0828.1149.0491.3417.4430.2116.
9011.7471.6531.6845.2369.4996.3752.1598.7886.5859.
7709.4767.1447.2739.7732.8473.3036.0517.8183.3061.
8609.3730.0881.8475.9617.0722.8256.1944.8970.6754.
8139.7206.6079.4370.9421.1341.9147.0386.9856.7437(最新)」
という宿題です。
回答のほど宜しくお願い致します。
(2)の結果を踏まえて、(1)での直感での予想との比較や、この「理論」の実績値について、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号(下部に添付)も参照しつつ考察せよ。
特に、「足す9理論」を理論として、支持するor支持しないorどちらでもない、
のどの立場を取るか、その理由とともに明記すること。
最新100回(5373回～5472回)(後ろのほうが最新)の当選番号
→
2808.5857.1913.9958.9209.0978.4752.8713.8836.0335.
8687.9217.2207.1775.0425.0773.9447.5706.3983.4477.
4097.7214.5351.3012.6240.2973.5141.2598.4906.9561.
4717.4489.8864.7838.7034.1092.7573.2175.4803.4017.
2861.7072.5078.9836.0426.2402.2929.1429.8886.4893.
7278.8472.3775.0029.0828.1149.0491.3417.4430.2116.
9011.7471.6531.6845.2369.4996.3752.1598.7886.5859.
7709.4767.1447.2739.7732.8473.3036.0517.8183.3061.
8609.3730.0881.8475.9617.0722.8256.1944.8970.6754.
8139.7206.6079.4370.9421.1341.9147.0386.9856.7437(最新)」
という宿題です。
回答のほど宜しくお願い致します。
実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x<a)、=x(x≧a)で定める
値域のRにユークリッド位相を入れたとき、{f_a}_{a∈R}による始位相は何か
答えはあるr>0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
値域のRにユークリッド位相を入れたとき、{f_a}_{a∈R}による始位相は何か
答えはあるr>0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
です
皆さまスマヌ
操作ミス
操作ミス
>>4
思考停止の虱潰しプログラム解
rm(list=ls())
(comb=combn(4,2)) # comb : 4つから２個を選ぶ組み合わせ６通り
f9 <- function(x){ # x:4個の数列,xの2個の和が9になるかTRUE/FALSEを返す
i=1 # i:1~6
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 2個の和が9か否かのフラッグ
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 次のcombの組み合わせで判定
i=i+1
}
return(flg)
}
# demo
(x=sample(0:9,4,replace=TRUE)) ; f9(x)
n4 <- function(num, N=10, digit = 4){ # 9 -> 0 0 0 9
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
nums=sapply(0:9999,n4) # 0 0 0 0 ～ 9 9 9 9 の行列
mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
> mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
[1] 0.463
思考停止の虱潰しプログラム解
rm(list=ls())
(comb=combn(4,2)) # comb : 4つから２個を選ぶ組み合わせ６通り
f9 <- function(x){ # x:4個の数列,xの2個の和が9になるかTRUE/FALSEを返す
i=1 # i:1~6
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 2個の和が9か否かのフラッグ
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 次のcombの組み合わせで判定
i=i+1
}
return(flg)
}
# demo
(x=sample(0:9,4,replace=TRUE)) ; f9(x)
n4 <- function(num, N=10, digit = 4){ # 9 -> 0 0 0 9
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
nums=sapply(0:9999,n4) # 0 0 0 0 ～ 9 9 9 9 の行列
mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
> mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
[1] 0.463
>>5
data=c(2808,5857,1913,9958,9209,0978,4752,8713,8836,0335,
8687,9217,2207,1775,0425,0773,9447,5706,3983,4477,
4097,7214,5351,3012,6240,2973,5141,2598,4906,9561,
4717,4489,8864,7838,7034,1092,7573,2175,4803,4017,
2861,7072,5078,9836,0426,2402,2929,1429,8886,4893,
7278,8472,3775,0029,0828,1149,0491,3417,4430,2116,
9011,7471,6531,6845,2369,4996,3752,1598,7886,5859,
7709,4767,1447,2739,7732,8473,3036,0517,8183,3061,
8609,3730,0881,8475,9617,0722,8256,1944,8970,6754,
8139,7206,6079,4370,9421,1341,9147,0386,9856,7437)
N4=Vectorize(n4)
mean(apply(N4(data),2,f9))
> mean(apply(N4(data),2,f9))
[1] 0.44
p=0.463で表がでる確率のサイコロを100回投げて44回でるのは偶然の範囲か？
という問題に帰結できる。
> binom.test(44,100,0.463)
Exact binomial test
data: 44 and 100
number of successes = 44, number of trials = 100, p-value =
0.6889
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3408360 0.5428125
sample estimates:
probability of success
0.44
data=c(2808,5857,1913,9958,9209,0978,4752,8713,8836,0335,
8687,9217,2207,1775,0425,0773,9447,5706,3983,4477,
4097,7214,5351,3012,6240,2973,5141,2598,4906,9561,
4717,4489,8864,7838,7034,1092,7573,2175,4803,4017,
2861,7072,5078,9836,0426,2402,2929,1429,8886,4893,
7278,8472,3775,0029,0828,1149,0491,3417,4430,2116,
9011,7471,6531,6845,2369,4996,3752,1598,7886,5859,
7709,4767,1447,2739,7732,8473,3036,0517,8183,3061,
8609,3730,0881,8475,9617,0722,8256,1944,8970,6754,
8139,7206,6079,4370,9421,1341,9147,0386,9856,7437)
N4=Vectorize(n4)
mean(apply(N4(data),2,f9))
> mean(apply(N4(data),2,f9))
[1] 0.44
p=0.463で表がでる確率のサイコロを100回投げて44回でるのは偶然の範囲か？
という問題に帰結できる。
> binom.test(44,100,0.463)
Exact binomial test
data: 44 and 100
number of successes = 44, number of trials = 100, p-value =
0.6889
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3408360 0.5428125
sample estimates:
probability of success
0.44
コメントに間違いあった。
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
↓
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEでiが6以下であれば
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
↓
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEでiが6以下であれば
>>4
49/100でもやってみた。
> binom.test(49,100,0.463)
Exact binomial test
data: 49 and 100
number of successes = 49, number of trials = 100, p-value = 0.6168
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3886442 0.5919637
sample estimates:
probability of success
0.49
49/100でもやってみた。
> binom.test(49,100,0.463)
Exact binomial test
data: 49 and 100
number of successes = 49, number of trials = 100, p-value = 0.6168
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3886442 0.5919637
sample estimates:
probability of success
0.49
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
>>5
２つの和は０＋０から９＋９まで
和の値と何通りの並べ方があるか列挙すると
> data.frame(sum=0:18,how_many=sum2)
sum how_many
1 0 523
2 1 974
3 2 1485
4 3 1924
5 4 2423
6 5 2850
7 6 3337
8 7 3752
9 8 4227
10 9 4630
11 10 4227
12 11 3752
13 12 3337
14 13 2850
15 14 2423
16 15 1924
17 16 1485
18 17 974
19 18 523
確率にしてグラフにすると
和が９になる確率が一番高い。
２つの和は０＋０から９＋９まで
和の値と何通りの並べ方があるか列挙すると
> data.frame(sum=0:18,how_many=sum2)
sum how_many
1 0 523
2 1 974
3 2 1485
4 3 1924
5 4 2423
6 5 2850
7 6 3337
8 7 3752
9 8 4227
10 9 4630
11 10 4227
12 11 3752
13 12 3337
14 13 2850
15 14 2423
16 15 1924
17 16 1485
18 17 974
19 18 523
確率にしてグラフにすると
和が９になる確率が一番高い。
>>15
問１（目盛なしの定規では）できない 問２できる
いずれも既に解決された問題である。「作図可能数」「立方体倍積問題」「折り紙公理」などで調べるとよいだろう。
具体的な実際の証明は知らん。
問１（目盛なしの定規では）できない 問２できる
いずれも既に解決された問題である。「作図可能数」「立方体倍積問題」「折り紙公理」などで調べるとよいだろう。
具体的な実際の証明は知らん。
(1)足して9になる2数がある組は100組中44組ある。
∴44%
(2)たとえば左端の数字を1としたら残り3桁に8が出れば当たり。
(1/10)+(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.1+0.09+0.081=0.271
左から2桁目に8が出ず、9/10の確率で出たその数字たとえば4と足して9になる数字5が残り2桁に出る確率は、
(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.09+0.081=0.271
54.2%かというとさにあらず。
8が出ず4が出て5がでないかわりに8が出てる場合を数えてるから引かないかん。
(9/10)(1/10)+(9/10)(8/10)(1/10)=0.09+0.072=0.162
足すと0.271+0.162=0.433
∴43.3%
∴44%
(2)たとえば左端の数字を1としたら残り3桁に8が出れば当たり。
(1/10)+(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.1+0.09+0.081=0.271
左から2桁目に8が出ず、9/10の確率で出たその数字たとえば4と足して9になる数字5が残り2桁に出る確率は、
(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.09+0.081=0.271
54.2%かというとさにあらず。
8が出ず4が出て5がでないかわりに8が出てる場合を数えてるから引かないかん。
(9/10)(1/10)+(9/10)(8/10)(1/10)=0.09+0.072=0.162
足すと0.271+0.162=0.433
∴43.3%
>>5
実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
最新100回のデータから「足すｎ理論(n=0～18)」の合致割合を出してグラフ化した。
棒グラフが理論値、●が最近100回のデータ
実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
最新100回のデータから「足すｎ理論(n=0～18)」の合致割合を出してグラフ化した。
棒グラフが理論値、●が最近100回のデータ
>>21
＞実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
を検証してみる。
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
> data.frame(n=0:18,p.value=p_value)
n p.value
1 0 0.06694115
2 1 0.73486354
3 2 0.15838056
4 3 1.00000000
5 4 0.81649567
6 5 0.50653530
7 6 0.28929290
8 7 0.83650318
9 8 0.68631874
10 9 0.68887759
11 10 0.36279682
12 11 0.09787803
13 12 0.13732421
14 13 0.74018774
15 14 0.19849042
16 15 0.61374346
17 16 0.09087549
18 17 0.30811398
19 18 0.82095381
いずれもｐ値は0.05なので有意差なしといえる。
結論 ： 足すｎ理論で当たる確率を有意に上昇させることはできない。
＞実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
を検証してみる。
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
> data.frame(n=0:18,p.value=p_value)
n p.value
1 0 0.06694115
2 1 0.73486354
3 2 0.15838056
4 3 1.00000000
5 4 0.81649567
6 5 0.50653530
7 6 0.28929290
8 7 0.83650318
9 8 0.68631874
10 9 0.68887759
11 10 0.36279682
12 11 0.09787803
13 12 0.13732421
14 13 0.74018774
15 14 0.19849042
16 15 0.61374346
17 16 0.09087549
18 17 0.30811398
19 18 0.82095381
いずれもｐ値は0.05なので有意差なしといえる。
結論 ： 足すｎ理論で当たる確率を有意に上昇させることはできない。
>>20
43.3%が既に間違い。
高校数学スレで正解がでているよ。
http://2chb.net/r/math/1592497360/352
43.3%が既に間違い。
高校数学スレで正解がでているよ。
http://2chb.net/r/math/1592497360/352
>22(補足説明)
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
↓
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と
最近100件の実績での割合で「足すｎ理論」が有意差をもって成立するかをみるために二項検定でｐ値を出してみた
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
↓
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と
最近100件の実績での割合で「足すｎ理論」が有意差をもって成立するかをみるために二項検定でｐ値を出してみた
>>20
理論も実績でも0.5を超えていないのはイナ大先生の仰せの通り。
0.5の線を引いてグラフにしてみた。
理論も実績でも0.5を超えていないのはイナ大先生の仰せの通り。
0.5の線を引いてグラフにしてみた。
>>20
最近１００回のデータで
１の位は奇数であるだと、合致率0.58
１０の位は奇数であるだと、合致率0.59
１００の位は偶数であるだと、合致率0.56
１０００の位は偶数であるだと、合致率0.54
これをもって、どれが有利だといっても簡単すぎて誰もだまされないけど
「足す９理論」だと簡単には計算できないから騙される椰子がでそうだな。
ミラクル・チャーリー氏って 和が９になる確率が一番高い ことを知っているのではないかなぁ。
最近１００回のデータで
１の位は奇数であるだと、合致率0.58
１０の位は奇数であるだと、合致率0.59
１００の位は偶数であるだと、合致率0.56
１０００の位は偶数であるだと、合致率0.54
これをもって、どれが有利だといっても簡単すぎて誰もだまされないけど
「足す９理論」だと簡単には計算できないから騙される椰子がでそうだな。
ミラクル・チャーリー氏って 和が９になる確率が一番高い ことを知っているのではないかなぁ。
私の中学は後々聞いた話によると4人に1人が東大に行ってたそうなのですが
大学だとどのレベルの当たるのでしょう私はドロップアウトしたので
数学ができませんのでよろしくお願いしますm(_ _)m
大学だとどのレベルの当たるのでしょう私はドロップアウトしたので
数学ができませんのでよろしくお願いしますm(_ _)m
>>26
でも、彼のアメブロ
2020.06.27 14:40の「足す９理論・恐るべし！」という題名のアメブロ内で、
「以前は足す１０理論が最強だと思っていましたが今は足す９理論だと確信しております。」
と書いてるくらいだから、確率分かってるのか疑いたくもなる。
でも、彼のアメブロ
2020.06.27 14:40の「足す９理論・恐るべし！」という題名のアメブロ内で、
「以前は足す１０理論が最強だと思っていましたが今は足す９理論だと確信しております。」
と書いてるくらいだから、確率分かってるのか疑いたくもなる。
足す9って、やっぱり、単なる経験則から言ってる事なのかね。
1/n+(1/n)^2+...+(1/n)^k = 1+(1/2)^n+...+(1/m)^n
を満たす自然数(n,k,m)の組が存在するならば、全て決定せよ。
を満たす自然数(n,k,m)の組が存在するならば、全て決定せよ。
まさかこな足す9理論がここまでバズるとは
ランダムに選んだ数に和が９になる数字の組み合わせが頻発するからといって、和が９になる数字の組み合わせを含めた番号が当選しやすくなるわけじゃないぞ
>>31
n≧2 のとき
左辺 < 1/(n-1) ≦ 1 < 右辺
にて 不成立。
n=1 のとき
左辺 = k, 右辺 = H_m,
(n,k,m) = (1,1,1)
調和数列が自然数値をとらないなら、他にはない。
n≧2 のとき
左辺 < 1/(n-1) ≦ 1 < 右辺
にて 不成立。
n=1 のとき
左辺 = k, 右辺 = H_m,
(n,k,m) = (1,1,1)
調和数列が自然数値をとらないなら、他にはない。
>>32
>4の求めているのはプログラム解ではないのだろうな。
数学苦手の俺にはプログラム組む方が苦痛がなくていい。
>4の求めているのはプログラム解ではないのだろうな。
数学苦手の俺にはプログラム組む方が苦痛がなくていい。
>>20
４つ足すと０以上になる番号を選べば勝率１００％と主張すると、嘘がすぐにバレるけど。
少し面倒な手順だと騙される人がでそう。
＞しかも50%以上負けるなら、
当選番号に足すと9になる数字がある確率は0.463と計算できたけど。
１００検体に４４検体が陽性のなんらかの所見があった場合に、陽性率が５０％を超える確率は
> pbeta(0.5,1+44,1+56,lower.tail=FALSE)
[1] 0.1161502
くらいあるから、役に立つ所見かもしれない。
４つ足すと０以上になる番号を選べば勝率１００％と主張すると、嘘がすぐにバレるけど。
少し面倒な手順だと騙される人がでそう。
＞しかも50%以上負けるなら、
当選番号に足すと9になる数字がある確率は0.463と計算できたけど。
１００検体に４４検体が陽性のなんらかの所見があった場合に、陽性率が５０％を超える確率は
> pbeta(0.5,1+44,1+56,lower.tail=FALSE)
[1] 0.1161502
くらいあるから、役に立つ所見かもしれない。
この式変形がよくわからないんだけど、どうして二行目の形になるの？
>>39
eの二次以降無視して主要項だけ比較してるんでね？
((1+le)^(1/le))^(-lT) (1-le)l
≒ ((1-le)^(-1/le))^(-lT) (1-le)l
= (1-le)^((-1/le)(-lT)) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e-1) l
= P(T)
eの二次以降無視して主要項だけ比較してるんでね？
((1+le)^(1/le))^(-lT) (1-le)l
≒ ((1-le)^(-1/le))^(-lT) (1-le)l
= (1-le)^((-1/le)(-lT)) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e-1) l
= P(T)
>>33
計算させているうちにそれを混同してしまうのを狙っているんじゃないかな。
末尾が奇数なら当たる確率は約５０％と主張しているのと変わらんのだけどね。
計算させているうちにそれを混同してしまうのを狙っているんじゃないかな。
末尾が奇数なら当たる確率は約５０％と主張しているのと変わらんのだけどね。
>>34
〔補題〕m>1 のとき、調和数列 H_m は自然数ではない。
{1,2,････,m} を素因数分解したとき、2の指数の最大値は
e = [ log(m)/log(2) ]
であるが、この値をとる m は 2^e ただ一つである。
(2[m/2]+1)!!・2^(e-1)・H_m は半奇数である。
∴ H_m は自然数でない。 （終）
〔補題〕m>1 のとき、調和数列 H_m は自然数ではない。
{1,2,････,m} を素因数分解したとき、2の指数の最大値は
e = [ log(m)/log(2) ]
であるが、この値をとる m は 2^e ただ一つである。
(2[m/2]+1)!!・2^(e-1)・H_m は半奇数である。
∴ H_m は自然数でない。 （終）
（1）4以上のどのような自然数nに対しても、以下が成立することを示せ。
「ある1つの頂点に集まる辺の数が3であり、またある1つの頂点に集まる辺の数がn-1であるような凸n面体が、少なくとも1つ存在する。」
（2）凸2020面体の各頂点に集まる辺の数を小さい順にa[1],a[2],...,a[2020]と表す。これらの中に異なる数がx種類あるとして、xを最小にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
（3）（2）において、xを最大にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
「ある1つの頂点に集まる辺の数が3であり、またある1つの頂点に集まる辺の数がn-1であるような凸n面体が、少なくとも1つ存在する。」
（2）凸2020面体の各頂点に集まる辺の数を小さい順にa[1],a[2],...,a[2020]と表す。これらの中に異なる数がx種類あるとして、xを最小にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
（3）（2）において、xを最大にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
>>40
うーん、、
一番下の行からの流れはそれっぽいんだけど、一行目から二行目の近似が違う気がすんのよね
近似じゃなくてきれいに=で結べるはず
うーん、、
一番下の行からの流れはそれっぽいんだけど、一行目から二行目の近似が違う気がすんのよね
近似じゃなくてきれいに=で結べるはず
>>45
もし最初の≒以外が全部正しくて全体が一次近似でなく“完全に＝”であるなら
(1+le)^(1/le)=(1-le)^(-1/le)
が“完全に＝”という事になってしまう。
もし最初の≒以外が全部正しくて全体が一次近似でなく“完全に＝”であるなら
(1+le)^(1/le)=(1-le)^(-1/le)
が“完全に＝”という事になってしまう。
>>43
(1) (n-1)角錐が条件を満たす。
(2) 2018角柱はx=1の2020面体である。
(3) わからん。誰か賢い人頼む。
(1) (n-1)角錐が条件を満たす。
(2) 2018角柱はx=1の2020面体である。
(3) わからん。誰か賢い人頼む。
賢いとはどういうことか？
(2)合ってんだから見逃してやれよ。
そもそも数学的に意味ありそうなの(3)だけだけどコレは答え出そうにないし。
そもそも数学的に意味ありそうなの(3)だけだけどコレは答え出そうにないし。
数学掲示板群 http://x0000.net/forum.aspx?id=1
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ http://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
http://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
微分幾何学入門
http://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0
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数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
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微分幾何学入門
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(3)をやってみた
もっと効率のいい方法がありそう
5角形12枚、6角形n-12枚からなる
凸n面体を用意する。
頂点は2n-4個、辺は3n-6本となる。
元の面を5角錐、6角錐、…、(n+4)角錐に
置き換える。この頂点が、点に集まる
頂点の数の多様性を満たす。
辺どうしは元の凸n面体の辺に対応する位置で
1本ずつ接するようにし、残りの辺は
元の凸n面体の頂点ごとに
3、4、5、6角形を適当に貼り付けて
ひとつの凸多面体にする。
5, 6, 7, 8, 9角錐の頂点のうち5, 4, 3, 2, 1個には
余った辺を置くことができず、このような頂点は
最小で7個となるように配置できる。
残りの頂点に集まる辺の本数を
（0～1個の頂点を除き）すべて奇数とすると、
辺の本数の半分（端数切捨て）の多角形で
それぞれの頂点を埋めることができる。
方法は、3つの辺に近い順に対応する辺同士を
同一平面（ねじれの位置でない）にすることで
3, 4, 4, ..., 4, 5(または6) 角形で埋める。
以上の方法で元の凸n面体から作られる
新しい凸多面体の面の数は
(5+6+...+n-4)+(1/2){(5+6+...+n-4)-(3n-6)-(2n-4-7)}
=(3n^2+7n+68)/4
凸2020面体を作るときのnの最大値は
不等式 (3n^2+7n+68)/4≦2020 を解いて
n≦50
n=50のとき、最大で54角錐の貼り付いた
立体となる。面の数を表す多項式の値は
1979.5 となるので、余った辺が1つの頂点だけ
偶数本集まった 1980 面体ができる。
残りの40枚は、角錐の辺を増やす、または
余った辺の間に貼る面の数を増やす
（辺同士をねじれの位置にし、間に貼る4角形を
3角形2枚に変えて増やす）
ことで補正できる。
出来上がった立体の図示は省略。
もっと効率のいい方法がありそう
5角形12枚、6角形n-12枚からなる
凸n面体を用意する。
頂点は2n-4個、辺は3n-6本となる。
元の面を5角錐、6角錐、…、(n+4)角錐に
置き換える。この頂点が、点に集まる
頂点の数の多様性を満たす。
辺どうしは元の凸n面体の辺に対応する位置で
1本ずつ接するようにし、残りの辺は
元の凸n面体の頂点ごとに
3、4、5、6角形を適当に貼り付けて
ひとつの凸多面体にする。
5, 6, 7, 8, 9角錐の頂点のうち5, 4, 3, 2, 1個には
余った辺を置くことができず、このような頂点は
最小で7個となるように配置できる。
残りの頂点に集まる辺の本数を
（0～1個の頂点を除き）すべて奇数とすると、
辺の本数の半分（端数切捨て）の多角形で
それぞれの頂点を埋めることができる。
方法は、3つの辺に近い順に対応する辺同士を
同一平面（ねじれの位置でない）にすることで
3, 4, 4, ..., 4, 5(または6) 角形で埋める。
以上の方法で元の凸n面体から作られる
新しい凸多面体の面の数は
(5+6+...+n-4)+(1/2){(5+6+...+n-4)-(3n-6)-(2n-4-7)}
=(3n^2+7n+68)/4
凸2020面体を作るときのnの最大値は
不等式 (3n^2+7n+68)/4≦2020 を解いて
n≦50
n=50のとき、最大で54角錐の貼り付いた
立体となる。面の数を表す多項式の値は
1979.5 となるので、余った辺が1つの頂点だけ
偶数本集まった 1980 面体ができる。
残りの40枚は、角錐の辺を増やす、または
余った辺の間に貼る面の数を増やす
（辺同士をねじれの位置にし、間に貼る4角形を
3角形2枚に変えて増やす）
ことで補正できる。
出来上がった立体の図示は省略。
>>55
その手の論法では
この方法でできるのは高々50
とか言えてるだけじゃないの？
その不等式はその方法で作れる限界が50以下って言ってるだけでしよ？
その手の論法では
この方法でできるのは高々50
とか言えてるだけじゃないの？
その不等式はその方法で作れる限界が50以下って言ってるだけでしよ？
オイラーの公式使ってもViをi分岐の頂点の数として2E=ΣkVk、S=2020としてVk≧1として得られる不等式
ΣVk - 1/2ΣkVk + 2020 = 2
2018 = Σ(k/2-1)Vk ≧ Σ[k=3,n] (k/2-1)
から得られる上限は50よりずっと大きい。
なので少なくともオイラーの公式だけから上限が50をいうのは無理だろ？
ΣVk - 1/2ΣkVk + 2020 = 2
2018 = Σ(k/2-1)Vk ≧ Σ[k=3,n] (k/2-1)
から得られる上限は50よりずっと大きい。
なので少なくともオイラーの公式だけから上限が50をいうのは無理だろ？
>>10
ああ、確かにa=1のときは(-∞,1+r)を含む集合でないといけないですね
a≠1のときはどうですか？
ああ、確かにa=1のときは(-∞,1+r)を含む集合でないといけないですね
a≠1のときはどうですか？
a=1って何のことや……1の近傍ですね
1以外の近傍はどうですか？
1以外の近傍はどうですか？
nを自然数の定数とする。
I[p] = ∫[0,pπ] exp(-x^2n)*cos(x) dx
とするとき、有理数a,bを用いて
I[p] = aπ+b
となるように有理数pを定めることはできるか。
I[p] = ∫[0,pπ] exp(-x^2n)*cos(x) dx
とするとき、有理数a,bを用いて
I[p] = aπ+b
となるように有理数pを定めることはできるか。
以下の問題を解いたところ解答は合っていたのですが、求めたA^nにn=0を代入しても単位行列にならないのはなぜでしょうか？
あと5chでの行列の書き方はこれで良いでしょうか。左から順に第1,2,3行です。
次のAに対し、A^nを求めよ。
A=[1,2,0][-1,-2,0][0,0,1]
（答え）
A^n=
[(-1)^(n+1),2(-1)^(n+1),1+(-1)^n]
[(-1)^n,2(-1)^n,(-1)^(n+1)]
[0,0,1]
あと5chでの行列の書き方はこれで良いでしょうか。左から順に第1,2,3行です。
次のAに対し、A^nを求めよ。
A=[1,2,0][-1,-2,0][0,0,1]
（答え）
A^n=
[(-1)^(n+1),2(-1)^(n+1),1+(-1)^n]
[(-1)^n,2(-1)^n,(-1)^(n+1)]
[0,0,1]
ATANってどの数式で求めるのが一番良いの？
>>65
ありがとうございます。実際に確認してみて理解できました。
ところでA^nにn=0を代入しても単位行列にならない場合、Aはどんな行列なのでしょうか。これは有名な話なのでしょうか。
ありがとうございます。実際に確認してみて理解できました。
ところでA^nにn=0を代入しても単位行列にならない場合、Aはどんな行列なのでしょうか。これは有名な話なのでしょうか。
>>68
いやA^nのnにn=0代入したらいつでも0。
対角化可能な場合には固有値0を持ってて0^nを0にしてしまうとずれる。
例えば
A=[[2,0],[0,0]]
のとき
A^n=[[2^n,0],[0,0^n]]であってA^n=[[2^n,0],[0,0]]ではない(少なくともn=0で成立しない、左辺はE、右辺は[[1,0],[0,0]]になるから)
いやA^nのnにn=0代入したらいつでも0。
対角化可能な場合には固有値0を持ってて0^nを0にしてしまうとずれる。
例えば
A=[[2,0],[0,0]]
のとき
A^n=[[2^n,0],[0,0^n]]であってA^n=[[2^n,0],[0,0]]ではない(少なくともn=0で成立しない、左辺はE、右辺は[[1,0],[0,0]]になるから)
A^0 = E,
nが正の整数のとき
A^n =
[(-1)^(n+1), 2(-1)^(n+1), ０]
[(-1)^n, 2(-1)^n, ０]
[0, 0, 1]
nが正の奇数（1,3,5,････）のとき
A^n = A,
nが2以上の偶数（2,4,6,････）のとき
A^n =
[ -1, -2, 0]
[ 1, 2, 0]
[0, 0, 1]
ぢゃね？
nが正の整数のとき
A^n =
[(-1)^(n+1), 2(-1)^(n+1), ０]
[(-1)^n, 2(-1)^n, ０]
[0, 0, 1]
nが正の奇数（1,3,5,････）のとき
A^n = A,
nが2以上の偶数（2,4,6,････）のとき
A^n =
[ -1, -2, 0]
[ 1, 2, 0]
[0, 0, 1]
ぢゃね？
>>71
賢くなるパズル（読売夕刊、隔週土曜日）
解き方とルール
￣￣￣￣￣￣￣
★マス目に1～5の数字入れて 表を完成させる。
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、指定の数になる。
・同列（タテ、ヨコとも）に同じ数字は入らない。
賢くなるパズル（読売夕刊、隔週土曜日）
解き方とルール
￣￣￣￣￣￣￣
★マス目に1～5の数字入れて 表を完成させる。
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、指定の数になる。
・同列（タテ、ヨコとも）に同じ数字は入らない。
例題（2020/07/04 練習問題）
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│ 12 │ 12 ┃
┃ │ ┌─┴─┐ ┃
┃ │ │ 25 │ ┃
┃ ├─┴─┐ └─┨
┃ │ 16 │ ┃
┠─┴─┐ ├───┨
┃10 │ │ 12┃
┃ ┌─┴─┴─┐ ┃
┃ │ 12 │ ┃
┗━┷━━━━━┷━┛
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│ 12 │ 12 ┃
┃ │ ┌─┴─┐ ┃
┃ │ │ 25 │ ┃
┃ ├─┴─┐ └─┨
┃ │ 16 │ ┃
┠─┴─┐ ├───┨
┃10 │ │ 12┃
┃ ┌─┴─┴─┐ ┃
┃ │ 12 │ ┃
┗━┷━━━━━┷━┛
有限次元ベクトル空間V→Vで任意の基底に対して同じ表現行列を持つような線形写像を求めてほしいです
いや、idの定数倍
線形代数が苦痛なんですけど統計学のためには必須だそうで困っています
楽しく学ぶ方法を教えてください
楽しく学ぶ方法を教えてください
>>76
おみごと！
{@, p} = {1, 5}
ですね。
今日(11日)の夕刊の「前回(7月4日掲載)の答え」には
*前回の練習問題は答えが二つあります。
とあり、二つの答えが載っている。
その前まで ずっと一通りだったのに
前回だけ変えるのなら
出題のとき言ってほしいねぇ。
････とぼやいても後の祭か。
ぬるぽ
おみごと！
{@, p} = {1, 5}
ですね。
今日(11日)の夕刊の「前回(7月4日掲載)の答え」には
*前回の練習問題は答えが二つあります。
とあり、二つの答えが載っている。
その前まで ずっと一通りだったのに
前回だけ変えるのなら
出題のとき言ってほしいねぇ。
････とぼやいても後の祭か。
ぬるぽ
すいません
なぜかIDが変わっていました
なぜかIDが変わっていました
統計学が楽しいと思えていないなら二重の苦しみだね
>>87
統計と女の涙は信じるな と教わったぞｗ
英文のこっちの方が面白いけど。
Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.
統計と女の涙は信じるな と教わったぞｗ
英文のこっちの方が面白いけど。
Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.
N を正の整数全体の集合とする。
n ∊ N に対し、 N^3 の部分集合 S(n) を
S(n) := {(a, b, c) ∊ N^3 | 0 < a < b < c かつ gcd(a, b, c) = 1 かつ lcm(a, b, c) = n}
によって定める。
ここで gcd(a, b, c) は a, b, c の最大公約数とし、 lcm(a, b, c) は a, b, c の最小公倍数とする。
S(n) の元の個数 #S(n) を全て決定せよ。
【例】 p, q を相異なる素数とすると、
#S(1) = 0
#S(p) = 0
#S(pq) = 4
#S((p^2) * q) = 10
n ∊ N に対し、 N^3 の部分集合 S(n) を
S(n) := {(a, b, c) ∊ N^3 | 0 < a < b < c かつ gcd(a, b, c) = 1 かつ lcm(a, b, c) = n}
によって定める。
ここで gcd(a, b, c) は a, b, c の最大公約数とし、 lcm(a, b, c) は a, b, c の最小公倍数とする。
S(n) の元の個数 #S(n) を全て決定せよ。
【例】 p, q を相異なる素数とすると、
#S(1) = 0
#S(p) = 0
#S(pq) = 4
#S((p^2) * q) = 10
2019/12/21 練習問題
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠───┴─┼─┘ ┃
┃20 │ ┃
┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━━┷━┷━━━┛
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
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┠─┐ ┌─┴─┬─┨
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┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
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整形してみる
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠───┴─┼─┘ ┃
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┃ │ │ ┃
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┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━━┷━┷━━━┛
15234
43512
54123
21345
32451
きちんと認識できたようだ
43512
54123
21345
32451
きちんと認識できたようだ
自然対数 e = 2.718281828 について
小数点以下の
第9位までを暗記したい
方法A
e = "2.7 " + "1828" + "1828"
2.7 のあとに "1828" が2回繰り返される
方法B
e = "2.71" + {"828"←1→"828"}
2.71 の後に回文（1を軸にして 828 が左右対称に）
どちらが覚えやすいか？
小数点以下の
第9位までを暗記したい
方法A
e = "2.7 " + "1828" + "1828"
2.7 のあとに "1828" が2回繰り返される
方法B
e = "2.71" + {"828"←1→"828"}
2.71 の後に回文（1を軸にして 828 が左右対称に）
どちらが覚えやすいか？
しまった、昨日から
クソコテ 付けっぱなしだった…
アタシっていつもこう…orz
クソコテ 付けっぱなしだった…
アタシっていつもこう…orz
>>89
例えば、 n = p^k （ p は素数）の場合、
#S(p^k) = k-1 ( k = 1, 2, 3, … )
となるので、 n が 1 つの素数のべき乗のときは完全に決定できる
ところが、 n の素因数が 2 種類以上になると途端に難しい
例えば、 n = p^k （ p は素数）の場合、
#S(p^k) = k-1 ( k = 1, 2, 3, … )
となるので、 n が 1 つの素数のべき乗のときは完全に決定できる
ところが、 n の素因数が 2 種類以上になると途端に難しい
予想
>>89の問題において、 n = p_1 * p_2 * … * p_k （ p_1, p_2, … , p_k は相異なる素数）のとき、
#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
= 2^(2+3+…+k) = 2^((k-1)(k+2)/2)
( k = 2, 3, 4, … )
この予想は真か偽か？
>>89の問題において、 n = p_1 * p_2 * … * p_k （ p_1, p_2, … , p_k は相異なる素数）のとき、
#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
= 2^(2+3+…+k) = 2^((k-1)(k+2)/2)
( k = 2, 3, 4, … )
この予想は真か偽か？
n=1～100までをプログラム組んでだしてみた。
> m100
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23]
0 0 0 1 0 4 0 2 1 4 0 10 0 4 4 3 0 10 0 10 4 4 0
[,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44]
16 1 4 2 10 0 32 0 4 4 4 4 22 0 4 4 16 0 32 0 10
[,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50] [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56] [,57] [,58] [,59] [,60] [,61] [,62] [,63] [,64] [,65]
10 4 0 22 1 10 4 10 0 16 4 16 4 4 0 68 0 4 10 5 4
[,66] [,67] [,68] [,69] [,70] [,71] [,72] [,73] [,74] [,75] [,76] [,77] [,78] [,79] [,80] [,81] [,82] [,83] [,84] [,85] [,86]
32 0 10 4 32 0 34 0 4 10 10 4 32 0 22 3 4 0 68 4 4
[,87] [,88] [,89] [,90] [,91] [,92] [,93] [,94] [,95] [,96] [,97] [,98] [,99] [,100]
4 16 0 68 4 10 4 4 4 28 0 10 10 22>>95
>>95
こうやって習ったような記憶がある。
e = 2.718281828459045…
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい
（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
> m100
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23]
0 0 0 1 0 4 0 2 1 4 0 10 0 4 4 3 0 10 0 10 4 4 0
[,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44]
16 1 4 2 10 0 32 0 4 4 4 4 22 0 4 4 16 0 32 0 10
[,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50] [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56] [,57] [,58] [,59] [,60] [,61] [,62] [,63] [,64] [,65]
10 4 0 22 1 10 4 10 0 16 4 16 4 4 0 68 0 4 10 5 4
[,66] [,67] [,68] [,69] [,70] [,71] [,72] [,73] [,74] [,75] [,76] [,77] [,78] [,79] [,80] [,81] [,82] [,83] [,84] [,85] [,86]
32 0 10 4 32 0 34 0 4 10 10 4 32 0 22 3 4 0 68 4 4
[,87] [,88] [,89] [,90] [,91] [,92] [,93] [,94] [,95] [,96] [,97] [,98] [,99] [,100]
4 16 0 68 4 10 4 4 4 28 0 10 10 22>>95
>>95
こうやって習ったような記憶がある。
e = 2.718281828459045…
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい
（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
>>99
訂正
最初の漸化式
>#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
については k > 2 とする。
訂正
最初の漸化式
>#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
については k > 2 とする。
xy平面上の原点Oを内部に含む円を考え、方べきの定理を用いることで円の方程式
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
を導け。
に意味はありますか？ただ煩雑なだけだと思いますが、過程に発見でもあるんでしょうか。
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
を導け。
に意味はありますか？ただ煩雑なだけだと思いますが、過程に発見でもあるんでしょうか。
>>104
解答の方針をどのように立てるかのセンスを問う、煩雑な計算を正確にこなす能力を問う、などの出題意図が考えられます。
単に能力を問う問題であり、とくに発見はないかと。解答能力を試す問題ですから、意味はあるといえるでしょう。
解答の方針をどのように立てるかのセンスを問う、煩雑な計算を正確にこなす能力を問う、などの出題意図が考えられます。
単に能力を問う問題であり、とくに発見はないかと。解答能力を試す問題ですから、意味はあるといえるでしょう。
やらない理由を求めてるだけだろ
やらない理由を求めているだけではないだろうか、と憶測することはできますが
もしそうであったとしても質問スレであるから質問に対して解答をするのが妥当だろうと考え返答しました。
>>106さんの求める対応とは異なったようですので申し訳ありません。
もしそうであったとしても質問スレであるから質問に対して解答をするのが妥当だろうと考え返答しました。
>>106さんの求める対応とは異なったようですので申し訳ありません。
>>89
T(n) := {(a,b,c) ∈ N^3 | gcd(a,b,c)=1 かつ lcm(a,b,c)=n }
とおく。
nにおける素因数pの指数をeとすると、題意により、
a,b,c におけるpの指数は {0,e',e} (0≦e'≦e)
e'=0 または e'=e の場合が各 3 とおり、
0<e'<e の場合が各 3!=6 とおりある。
∴ 合計 6e とおり。
n = (p_1)^(e_1)･(p_2)^(e_2) …… (p_k)^(e_k)
(p_1,p_2,…,p_k は相異なる素数) とすれば、
#T(n) = Π[i=1,…,k] 6(e_i) = (6^k)Π[i=1,…,k] (e_i)
T(n) は a=b=c を含まないが、a=b, b=c, c=a を含んでいる。
a=b ⇔ {i=1,…,k について、p_i の指数が等しい}
⇔
∀(1≦i≦k) (a,b,c) における p_i の指数は (0,0,e_i) または (e_i,e_i,0)
∴ 2^k とおり。
b=c, c=a についても同じ。
∴ T(n) のうちで 0<a<b<c を満たすものの数は
#S = {#T - 3(2^k)}/6,
-------------------------------------------------------
とくに nが平方因子を含まない (square-free) とき
e_i = 1, (i=1,…,k)
#T = 6^k,
#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) - 1},
T(n) := {(a,b,c) ∈ N^3 | gcd(a,b,c)=1 かつ lcm(a,b,c)=n }
とおく。
nにおける素因数pの指数をeとすると、題意により、
a,b,c におけるpの指数は {0,e',e} (0≦e'≦e)
e'=0 または e'=e の場合が各 3 とおり、
0<e'<e の場合が各 3!=6 とおりある。
∴ 合計 6e とおり。
n = (p_1)^(e_1)･(p_2)^(e_2) …… (p_k)^(e_k)
(p_1,p_2,…,p_k は相異なる素数) とすれば、
#T(n) = Π[i=1,…,k] 6(e_i) = (6^k)Π[i=1,…,k] (e_i)
T(n) は a=b=c を含まないが、a=b, b=c, c=a を含んでいる。
a=b ⇔ {i=1,…,k について、p_i の指数が等しい}
⇔
∀(1≦i≦k) (a,b,c) における p_i の指数は (0,0,e_i) または (e_i,e_i,0)
∴ 2^k とおり。
b=c, c=a についても同じ。
∴ T(n) のうちで 0<a<b<c を満たすものの数は
#S = {#T - 3(2^k)}/6,
-------------------------------------------------------
とくに nが平方因子を含まない (square-free) とき
e_i = 1, (i=1,…,k)
#T = 6^k,
#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) - 1},
>>109
すごい！
まさかここまで完璧にわかるとは
予想は k = 3 までしか計算していなかったことがバレてしまいました
#S(n) よりも #T(n) のほうが計算しやすいんですね
素因数の指数を使った数え上げがお見事です
すごい！
まさかここまで完璧にわかるとは
予想は k = 3 までしか計算していなかったことがバレてしまいました
#S(n) よりも #T(n) のほうが計算しやすいんですね
素因数の指数を使った数え上げがお見事です
水理学の問題を聞いてもよろしいでしょうか？
実数a,b,cはある三角形の3辺の長さをなし、a<b<cである。
数列{a[n]}を以下の手続きにより定める。
・a[1],a[2],a[3]はa,b,cのいずれかであり、どの2つも相異なる。
・任意の自然数nについて、a[n],a[n+1],a[n+2]はある三角形の3辺の長さをなす。またn≧2のときa[n+2]≠a[n-1]である。
n≧4のとき、a[n]が取りうる値の範囲をa,b,cで表せ。
数列{a[n]}を以下の手続きにより定める。
・a[1],a[2],a[3]はa,b,cのいずれかであり、どの2つも相異なる。
・任意の自然数nについて、a[n],a[n+1],a[n+2]はある三角形の3辺の長さをなす。またn≧2のときa[n+2]≠a[n-1]である。
n≧4のとき、a[n]が取りうる値の範囲をa,b,cで表せ。
>>114
その条件ではa[n]は定まっていない。
多分(0,∞)になると思うけどきちんと書くのは面倒だな。
その条件ではa[n]は定まっていない。
多分(0,∞)になると思うけどきちんと書くのは面倒だな。
相変わらず問題文書けてないけど
a[4]の範囲は[ |c-b|, |c+b| ]
n≧5に対しa[n]の範囲は(0, F[n-3]b + F[n-2]c] (ただしF[n]はFibonacci数列)。
a[4]の範囲は[ |c-b|, |c+b| ]
n≧5に対しa[n]の範囲は(0, F[n-3]b + F[n-2]c] (ただしF[n]はFibonacci数列)。
モチーフ、weilコホモロジーのワキをみると
射影となってるんですが射影ではない場合は不成立なんですか
なんで射影なんだろうと
射影となってるんですが射影ではない場合は不成立なんですか
なんで射影なんだろうと
以下の定積分を、途中式も含めて教えてください。
∮(0,π) sin^2(Nx)/sin^2(x) dx
(∮は普通のインテグラル)
∮(0,π) sin^2(Nx)/sin^2(x) dx
(∮は普通のインテグラル)
>>117
問題文の不備はもう諦めた(´・ω・｀)
c-b > b-a のとき、a[1]=c とおくと
a[4] の下限をより小さい (b-a) にできる
あと区間はすべて
閉区間 [ ] ではなく開区間 ( )
区間の両端を許すと
途中で三角形がつぶれる
問題文の不備はもう諦めた(´・ω・｀)
c-b > b-a のとき、a[1]=c とおくと
a[4] の下限をより小さい (b-a) にできる
あと区間はすべて
閉区間 [ ] ではなく開区間 ( )
区間の両端を許すと
途中で三角形がつぶれる
以下の条件を全て満たす四面体が存在することを示せ。
(1)どの辺の長さも整数
(2)どの面の面積も整数
(3)体積が整数
(1)どの辺の長さも整数
(2)どの面の面積も整数
(3)体積が整数
>>119
In=∫(sin(Nx)/sin(x))^2dx=∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
とおいて積和公式から
I(n+1)+I(n-1)
=2∫(1-cos(2Nx)cos2x)/(sin(x)^2dx
=2∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
. + 2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
=2In
∴In=nπ
In=∫(sin(Nx)/sin(x))^2dx=∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
とおいて積和公式から
I(n+1)+I(n-1)
=2∫(1-cos(2Nx)cos2x)/(sin(x)^2dx
=2∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
. + 2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
=2In
∴In=nπ
>>122
O(0,0,0)
A(117,0,0)
B(117,520,0)
C(0,0,576)
など
O(0,0,0)
A(117,0,0)
B(117,520,0)
C(0,0,576)
など
ピタゴラス数からなる三角を組みあわせればいいのかな？
>>123
2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
は奇関数だから0ってことですかね
あと解答の
=2ln
の部分からの詳細も教えて頂けるとありがたいです
2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
は奇関数だから0ってことですかね
あと解答の
=2ln
の部分からの詳細も教えて頂けるとありがたいです
>>126
それで実現できるのならそれでも十分ですが、辺の長さと面積がともに整数な三角形は直角三角形に限りません。
例えばピタゴラス三角形２つをくっつけた 13,37,40 の三角形なども面積は整数です。
それで実現できるのならそれでも十分ですが、辺の長さと面積がともに整数な三角形は直角三角形に限りません。
例えばピタゴラス三角形２つをくっつけた 13,37,40 の三角形なども面積は整数です。
△ABCがピタゴラス三角形を貼り付けた形になれば良いのでしょうか？
ガウスとストークスの定理なんですが解説していただきたいです。
>>119
直接計算するなら
D(x) = sin(Nx)/sin(x)
= {sin(Nx) - sin(-Nx)}/{2sin(x)}
= cos((N-1)x) + cos((N-3)x) + ････ + cos((3-N)x) + cos((1-N)x)}
= Σ[k=1,N] cos((-1-N+2k)x),
D(x)^2 = Σ[k=1,N］Σ[L=1,N] cos((-1-N+2k)x)・cos((-1-N+2L)x)
= (1/2)Σ[k=1-N,N-1］Σ[L=1-N,N-1] {cos(2(k-L)x)＋cos(2(-1-N+k+L)x)}
k=L となる項が N項、k+L=N+1 となる項が N項ある。
これらの項を積分すると ∫(0,π) dx = π,
その他の項を積分すると、周期性により 0,
よって、
I(N) = Nπ.
チト回りくどいが、D(x)はディリクレ核とか云うらしい。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第6章 Fourier式展開 §74 p.276 (5)の辺り
直接計算するなら
D(x) = sin(Nx)/sin(x)
= {sin(Nx) - sin(-Nx)}/{2sin(x)}
= cos((N-1)x) + cos((N-3)x) + ････ + cos((3-N)x) + cos((1-N)x)}
= Σ[k=1,N] cos((-1-N+2k)x),
D(x)^2 = Σ[k=1,N］Σ[L=1,N] cos((-1-N+2k)x)・cos((-1-N+2L)x)
= (1/2)Σ[k=1-N,N-1］Σ[L=1-N,N-1] {cos(2(k-L)x)＋cos(2(-1-N+k+L)x)}
k=L となる項が N項、k+L=N+1 となる項が N項ある。
これらの項を積分すると ∫(0,π) dx = π,
その他の項を積分すると、周期性により 0,
よって、
I(N) = Nπ.
チト回りくどいが、D(x)はディリクレ核とか云うらしい。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第6章 Fourier式展開 §74 p.276 (5)の辺り
>>125
昔作ったプログラムでピタゴラス三角形四枚で四面体になるやつ探すやつで
(1,40/9,41/9)
(1,84/13,85/13)
(41/9,84/13,855625/13689)
(40/9,85/13,855625/13689)
は全部ピタゴラス三角形で四面体の4面になるはず
昔作ったプログラムでピタゴラス三角形四枚で四面体になるやつ探すやつで
(1,40/9,41/9)
(1,84/13,85/13)
(41/9,84/13,855625/13689)
(40/9,85/13,855625/13689)
は全部ピタゴラス三角形で四面体の4面になるはず
>>134
ピタゴラス三角形4枚で四面体を作るだけなら、合同な三角形を4枚張り合わせるだけでええんやで。
体積整数をどうクリアするかって問題や。
ピタゴラス三角形4枚で四面体を作るだけなら、合同な三角形を4枚張り合わせるだけでええんやで。
体積整数をどうクリアするかって問題や。
座標では
O(0,0,0)
A(1,0,0)
B(1,40/9,0)
C(0,0,84/13)
で4つともピタゴラス三角形。
OCは△OABに垂直なので体積も有理数
O(0,0,0)
A(1,0,0)
B(1,40/9,0)
C(0,0,84/13)
で4つともピタゴラス三角形。
OCは△OABに垂直なので体積も有理数
私が勘違いしてましたすみませんすみません。
オレの作ったプログラムは局面
(2x/(1-x^2))^2+(2y/(1-y^2))^3+1=z^2
の有利点を虱潰しに探していくプログラム
(x,y)=(1/4,3/11),(1/4,17/28),(4/5,6/7),‥
といっぱいある。>>134は3番目の解から作ったやつ。
おそらく無限にあると予想。
(2x/(1-x^2))^2+(2y/(1-y^2))^3+1=z^2
の有利点を虱潰しに探していくプログラム
(x,y)=(1/4,3/11),(1/4,17/28),(4/5,6/7),‥
といっぱいある。>>134は3番目の解から作ったやつ。
おそらく無限にあると予想。
・稜長
OA = 1, OB = 41/9, OC = 84/13,
AB = 40/9, AC = 85/13, BC = 925/117,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB /2 = 20/9,
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC /2 = 42/13,
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = 574/39,
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = 1700/117,
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 560/117,
OA = 1, OB = 41/9, OC = 84/13,
AB = 40/9, AC = 85/13, BC = 925/117,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB /2 = 20/9,
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC /2 = 42/13,
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = 574/39,
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = 1700/117,
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 560/117,
1. ベクトル関数𝑭𝑭(𝑥,𝑦,𝑧)=(7𝑥－5𝑦+11𝑧)𝒊+(5𝑦－11𝑧+7𝑥)𝒋+(11𝑧－7𝑥+5𝑦)𝒌について、Gauss の発散定理や Stokes の定理を用いて、以下の演算を行え。ただし、 閉曲面 S に囲まれている領域の体積は 7 である。また、閉曲線 C は xy 平面の内部に存 在し、その向きは z が正の側から見て反時計回りの方向とする。閉曲線 C に囲まれて いる平面の面積は 17 である。
(1)∫∫ s𝑭∙ 𝒏d𝑆
(2)∫ c𝑭 ∙𝑑𝒓
教えてほしいです。
(1)∫∫ s𝑭∙ 𝒏d𝑆
(2)∫ c𝑭 ∙𝑑𝒓
教えてほしいです。
>>143
・座標
O (0, 0, 0)
A (1, 0, 0)
B (1, 2x/(1-xx), 0)
C (0, 0, 2y/(1-yy))
・稜長
OA = 1, OB = (1+xx)/(1-xx), OC = 2y/(1-yy),
AB = 2x/(1-xx), AC = (1+yy)/(1-yy), BC = z,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB/2 = x/(1-xx),
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC/2 = y/(1-yy),
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = (1+xx)y/{(1-xx)(1-yy)},
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = x(1+yy)/{(1-xx)(1-yy)},
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 2xy/{3(1-xx)(1-yy)},
・座標
O (0, 0, 0)
A (1, 0, 0)
B (1, 2x/(1-xx), 0)
C (0, 0, 2y/(1-yy))
・稜長
OA = 1, OB = (1+xx)/(1-xx), OC = 2y/(1-yy),
AB = 2x/(1-xx), AC = (1+yy)/(1-yy), BC = z,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB/2 = x/(1-xx),
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC/2 = y/(1-yy),
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = (1+xx)y/{(1-xx)(1-yy)},
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = x(1+yy)/{(1-xx)(1-yy)},
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 2xy/{3(1-xx)(1-yy)},
>>142 のデータから
(x, y, z，2x/(1-xx), 2y/(1-yy))
= (1/4, 3/11, 1073/840，8/15, 33/56)
(1/4, 17/28, 221/99，8/15, 952/495)
(4/5, 6/7, 925/117，40/9, 84/13)
指数3ぢゃなくて２でつね。
(x, y, z，2x/(1-xx), 2y/(1-yy))
= (1/4, 3/11, 1073/840，8/15, 33/56)
(1/4, 17/28, 221/99，8/15, 952/495)
(4/5, 6/7, 925/117，40/9, 84/13)
指数3ぢゃなくて２でつね。
>>147
そうそう^3じゃなくて^2。
昔この話題が出たときピタゴラス三角形四枚貼ってできないのかな？と思って理詰めではわかんなかったのでプログラム組んで探してみたらいっぱいあるやんと思ったやつ。
いっぱいあるだけで有限個なのか無限にあるのかは不明。
そうそう^3じゃなくて^2。
昔この話題が出たときピタゴラス三角形四枚貼ってできないのかな？と思って理詰めではわかんなかったのでプログラム組んで探してみたらいっぱいあるやんと思ったやつ。
いっぱいあるだけで有限個なのか無限にあるのかは不明。
>>144
F の発散と回転を計算すると ∇・F = 23, ∇×F = (16,18,12)
(1) Gauss定理から発散の体積積分だから 23×7
(2) Stokesの定理から回転の面積分で z 成分(zの法面)だから 12×17
F の発散と回転を計算すると ∇・F = 23, ∇×F = (16,18,12)
(1) Gauss定理から発散の体積積分だから 23×7
(2) Stokesの定理から回転の面積分で z 成分(zの法面)だから 12×17
6つある選択肢から好きなだけ選ぶ（ただし最低1つは選ぶ）場合の組み合わせの数を求める式は
6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6＝63になると思いますが、
これをさらに簡略化した式にすることは可能ですか？
6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6＝63になると思いますが、
これをさらに簡略化した式にすることは可能ですか？
納i=0,n]nCi=2^n
n個から0取り出す場合の数って日常的イメージがわかないな。
nCi=nCn-iが成立するには1じゃないといけないけど。
n個から0取り出す場合の数って日常的イメージがわかないな。
nCi=nCn-iが成立するには1じゃないといけないけど。
すみません数字がまったく駄目なので質問させてください
車通勤のa君は片道20kmの一般道を平均時速70km/hで信号等もあるのでだいたいいつも45分で会社に着きます
法定速度の50km/h厳守で同じ道のりを走ったらどのくらいの時間がかかるでしょうか
馬鹿な僕には分からないので教えてくれませんか
車通勤のa君は片道20kmの一般道を平均時速70km/hで信号等もあるのでだいたいいつも45分で会社に着きます
法定速度の50km/h厳守で同じ道のりを走ったらどのくらいの時間がかかるでしょうか
馬鹿な僕には分からないので教えてくれませんか
>>155
平均が70ってとんでもない爆走じゃねえか
最高が70なんじゃないの？
止まってる時間や加速している時間、50を超えてる時間がどれくらいあるのかとか複雑で実際に50を守って走って検証したほうが早い
平均が70ってとんでもない爆走じゃねえか
最高が70なんじゃないの？
止まってる時間や加速している時間、50を超えてる時間がどれくらいあるのかとか複雑で実際に50を守って走って検証したほうが早い
>>155
70km/hで走行したとき20kmの道のりは20/70[h]=17.143[min]かかるはず
つまり信号などで45-17=28[min]停止している
50km/hで走行したとき20kmの道のりは
20/50[h]=24[min]かかるはず
信号に70km/hのときの同じだけ時間が取られるとすると24+28=52[min]かかる
…ことにはなるけど、信号で停まりすぎな気がするし、同じだけ信号にかかるのかも不明なので問題がよくわからん
70km/hで走行したとき20kmの道のりは20/70[h]=17.143[min]かかるはず
つまり信号などで45-17=28[min]停止している
50km/hで走行したとき20kmの道のりは
20/50[h]=24[min]かかるはず
信号に70km/hのときの同じだけ時間が取られるとすると24+28=52[min]かかる
…ことにはなるけど、信号で停まりすぎな気がするし、同じだけ信号にかかるのかも不明なので問題がよくわからん
高校数学スレからの発展問題
あるタクシー会社のタクシーには１から通し番号がふられている。
タクシー会社の規模から保有タクシー台数は１００台以下とわかっている。
何台観察したかは不明だが最大の番号が６０であった。
この会社の保有するタクシー台数の期待値を求めよ
尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
シミュレーションしてみたら
> # 観察された台数が不明なときのシミュレーション
> sim <- function(){
+ M=m=0 # m:観察台数 M:最大番号 (初期値0)
+ while(M!=60){ # M=60でないなら
+ N=sample(60:100,1) # タクシー総数Nを60 ~ 100から選ぶ
+ m=sample(1:N,1) # 観察する台数mを1 ~ Nから選ぶ
+ M=max(sample(1:N,m)) # N台からm台選択して最大値をMにいれる
+ }
+ return(N) # タクシー総数を返す
+ }
> re=replicate(1e4,sim()) # 1万回繰り返して平均値(期待値)を算出
> mean(re)
[1] 62.422
という値になった。
あるタクシー会社のタクシーには１から通し番号がふられている。
タクシー会社の規模から保有タクシー台数は１００台以下とわかっている。
何台観察したかは不明だが最大の番号が６０であった。
この会社の保有するタクシー台数の期待値を求めよ
尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
シミュレーションしてみたら
> # 観察された台数が不明なときのシミュレーション
> sim <- function(){
+ M=m=0 # m:観察台数 M:最大番号 (初期値0)
+ while(M!=60){ # M=60でないなら
+ N=sample(60:100,1) # タクシー総数Nを60 ~ 100から選ぶ
+ m=sample(1:N,1) # 観察する台数mを1 ~ Nから選ぶ
+ M=max(sample(1:N,m)) # N台からm台選択して最大値をMにいれる
+ }
+ return(N) # タクシー総数を返す
+ }
> re=replicate(1e4,sim()) # 1万回繰り返して平均値(期待値)を算出
> mean(re)
[1] 62.422
という値になった。
>>155
信号の待ち時間が車速によらないと仮定すると
> 20/50*60 + (45-(20/70)*60)
[1] 51.85714
約52分
信号の待ち時間が車速によらないと仮定すると
> 20/50*60 + (45-(20/70)*60)
[1] 51.85714
約52分
>>155
仮に、途中は時速70kmか止まっているかしかなくて20kmを45分だとすると走っている時間は17分弱ってことになる
時速50kmか止まっているかで20km進む場合、走っている時間は24分
止まっている時間が同じなら、7分ちょっと遅くなるだけってことになるから52分ちょっとかかることになる
現実的には流れに乗って走るのが一番だよ
仮に、途中は時速70kmか止まっているかしかなくて20kmを45分だとすると走っている時間は17分弱ってことになる
時速50kmか止まっているかで20km進む場合、走っている時間は24分
止まっている時間が同じなら、7分ちょっと遅くなるだけってことになるから52分ちょっとかかることになる
現実的には流れに乗って走るのが一番だよ
>>159
>尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
の意味
保有台数は60台から100台の間だから70台である確率も90台である確率も全部同じで1/(100-60+1)=1/41
保有台数が80台なら観察する台数が1台である確率も50台である確率も同じで1/80
といういう風に勝手に決めて計算。
>尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
の意味
保有台数は60台から100台の間だから70台である確率も90台である確率も全部同じで1/(100-60+1)=1/41
保有台数が80台なら観察する台数が1台である確率も50台である確率も同じで1/80
といういう風に勝手に決めて計算。
時速70ｋｍ走行での信号待ち時間が45-(20/70)*60=27.85714のとき
時速50ｋｍ走行での信号待ち時間はどう設定するのが合理的だろう？
ゆっくりだと信号にかかりやすいので27.85714*70/50でいい？
時速50ｋｍ走行での信号待ち時間はどう設定するのが合理的だろう？
ゆっくりだと信号にかかりやすいので27.85714*70/50でいい？
>>162（自己レス）
これはだめだな。
観察する台数が60を超えたら最大数が60という前提に矛盾するから。
保有台数が例えば80台のときには観察台数の候補は１～80じゃなくて1～60にしないとだめだな。
これはだめだな。
観察する台数が60を超えたら最大数が60という前提に矛盾するから。
保有台数が例えば80台のときには観察台数の候補は１～80じゃなくて1～60にしないとだめだな。
点Oを中心とする半径1の円Kの周上を3点A,B,Cが動く。
（1）内積↑AB・↑ACの最小値を求めよ。
（2）円の周上または内部の点Pが固定されており、OP=p(0≦p≦1)である。(↑PB・↑PC)+(↑PC・↑PA)+(↑PA・↑PB)の最初うちを求めよ。
（1）内積↑AB・↑ACの最小値を求めよ。
（2）円の周上または内部の点Pが固定されており、OP=p(0≦p≦1)である。(↑PB・↑PC)+(↑PC・↑PA)+(↑PA・↑PB)の最初うちを求めよ。
前>>167訂正。
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=-0.8660254……
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=-0.8660254……
>>166
プログラム解
f <- function(x,y){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
pracma::dot(A-B,A-C)
}
optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
> optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
$par
[1] -1.047095 1.047197
$value
[1] -0.5
最小値は -0.5
３Dグラフにしてみた。
プログラム解
f <- function(x,y){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
pracma::dot(A-B,A-C)
}
optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
> optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
$par
[1] -1.047095 1.047197
$value
[1] -0.5
最小値は -0.5
３Dグラフにしてみた。
>>104
それほど煩雑ぢゃないかも。
原点Oを内部に含む凸閉曲線Lを考える。
L上に定点A,B,Cおよび動点Pをとる。
ABCPAの順に並ぶとし、線分AC と BP のを交点をXとおく。
対頂角より ∠AXP = ∠BXC,
題意により、Lで方べきの定理が成り立つ。
AX･CX = BX･PX,
AX：PX = BX：CX
二辺挟角より △APX ∽ △BCX
∴ ∠P = ∠C,
円周角の定理の逆により
点Pは、定点A,B,Cを通る円の周上を動く。
この円の中心を（a,b）、半径をrとすれば
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 （終）
それほど煩雑ぢゃないかも。
原点Oを内部に含む凸閉曲線Lを考える。
L上に定点A,B,Cおよび動点Pをとる。
ABCPAの順に並ぶとし、線分AC と BP のを交点をXとおく。
対頂角より ∠AXP = ∠BXC,
題意により、Lで方べきの定理が成り立つ。
AX･CX = BX･PX,
AX：PX = BX：CX
二辺挟角より △APX ∽ △BCX
∴ ∠P = ∠C,
円周角の定理の逆により
点Pは、定点A,B,Cを通る円の周上を動く。
この円の中心を（a,b）、半径をrとすれば
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 （終）
>>166
プログラム解
library(pracma)
fn <- function(x,y,z,p=0.5){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
P=c(p*cos(z),p*sin(z))
dot(P-B,P-C)+dot(P-C,P-A)+dot(P-A,P-B)
}
g <- function(p){
optim(par=c(1,1,1),
fn=function(w) fn(w[1],w[2],w[3],p),method='L')$value
}
g=Vectorize(g)
optimize(g,c(0,1))
> optimize(g,c(0,1))
$minimum
[1] 0.3333333
$objective
[1] -1.333333
ｐが1/3のときに最小値 -4/3
プログラム解
library(pracma)
fn <- function(x,y,z,p=0.5){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
P=c(p*cos(z),p*sin(z))
dot(P-B,P-C)+dot(P-C,P-A)+dot(P-A,P-B)
}
g <- function(p){
optim(par=c(1,1,1),
fn=function(w) fn(w[1],w[2],w[3],p),method='L')$value
}
g=Vectorize(g)
optimize(g,c(0,1))
> optimize(g,c(0,1))
$minimum
[1] 0.3333333
$objective
[1] -1.333333
ｐが1/3のときに最小値 -4/3
>>172
〔円周角の定理〕
円Eの周上に3点A,B,Cがあるとき
∠APB > ∠C ⇔ PはEの内部にある。
∠APB = ∠C ⇔ PはEの周上にある。
∠APB < ∠C ⇔ PはEの外部にある。
〔円周角の定理〕
円Eの周上に3点A,B,Cがあるとき
∠APB > ∠C ⇔ PはEの内部にある。
∠APB = ∠C ⇔ PはEの周上にある。
∠APB < ∠C ⇔ PはEの外部にある。
>>172
いや、題意はそうじゃなくて円の方程式そのものを導出せよだろな
円上の点A(x,y)に対してB(x,2b-y)、C(a-r,b)、D(a+r,b)とP(x,b)に対して方べきの定理より
AP BP = CP DP
∴ (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
∴ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
↑こんなの意味あんのって事でしょ？
いや、題意はそうじゃなくて円の方程式そのものを導出せよだろな
円上の点A(x,y)に対してB(x,2b-y)、C(a-r,b)、D(a+r,b)とP(x,b)に対して方べきの定理より
AP BP = CP DP
∴ (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
∴ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
↑こんなの意味あんのって事でしょ？
>>104 では「円」の方程式は未知としている。
点Aが「円」上にあっても B、C、Dが「円」上にあるとは限らない。
この「円」について分かっていることは
・閉曲線である。
・方べきの定理が成立つ。
ことだけ
点Aが「円」上にあっても B、C、Dが「円」上にあるとは限らない。
この「円」について分かっていることは
・閉曲線である。
・方べきの定理が成立つ。
ことだけ
円の方程式‥‥を導け
は
(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式が
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
となる事を示せ
ではないの？
は
(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式が
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
となる事を示せ
ではないの？
>>165
悪いな、面倒だから照明してないんだ
ピタゴラス三角形の直角部分を3つ付けて
直角の隅になるようにすれば斜面の面積以外は整数にできるから
斜面をピタゴラス三角形2つをつないで作る事にして
ピタゴラス三角形の関係式を弄る方法を思い付いただけだ
悪いな、面倒だから照明してないんだ
ピタゴラス三角形の直角部分を3つ付けて
直角の隅になるようにすれば斜面の面積以外は整数にできるから
斜面をピタゴラス三角形2つをつないで作る事にして
ピタゴラス三角形の関係式を弄る方法を思い付いただけだ
教えて下さい。
角度の「１分」の読み方は、「いっぷん」「いちふん」どちらでしょうか？
角度の「１分」の読み方は、「いっぷん」「いちふん」どちらでしょうか？
>>182
別に決まってるわけではないし単に日本語の問題だから読みやすい方でいいかと
いっぷんのほうが自然には感じるが
別に決まってるわけではないし単に日本語の問題だから読みやすい方でいいかと
いっぷんのほうが自然には感じるが
ほうべきのていりって成り立たないの知ってた?
証明してみな。
証明してみな。
>>183
１分の角とか１分角と呼ぶらしいけど、「１分」自体の読み方で時刻との使い分けはしないのですね。回答ありがとうございました。
１分の角とか１分角と呼ぶらしいけど、「１分」自体の読み方で時刻との使い分けはしないのですね。回答ありがとうございました。
↓の問題教えてください！
｢X1,X2,…,Xn:互いに独立な同一の確率変数で、以下のfxi(x)を確率密度関数とする。
fxi=2x(0<x<1),0(その他)
このとき、
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n
のモーメント母関数を求め、lim(n→∞)Ynを求めましょう。｣
全くわからないです馬鹿でスミマセン
問題文↓
｢X1,X2,…,Xn:互いに独立な同一の確率変数で、以下のfxi(x)を確率密度関数とする。
fxi=2x(0<x<1),0(その他)
このとき、
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n
のモーメント母関数を求め、lim(n→∞)Ynを求めましょう。｣
全くわからないです馬鹿でスミマセン
問題文↓
sinc(x)出てくるやつだな、多分
a,b,cは実数の定数とし、a>0とする。
実数xについての関数
f(x)=ax^2+bx+c
について『f(q) - f(p) = q - p』となる実数p,qが存在するためのa,b,cの条件を求めよ。
実数xについての関数
f(x)=ax^2+bx+c
について『f(q) - f(p) = q - p』となる実数p,qが存在するためのa,b,cの条件を求めよ。
>>188
p=-b/(2a) , q=(1/a)-b/(2a) とすれば必ず成り立つからa≠0なら a,b,c は何でもいい。
p=-b/(2a) , q=(1/a)-b/(2a) とすれば必ず成り立つからa≠0なら a,b,c は何でもいい。
>>188
平均値の定理みたいなもんかな
直線 y = x + α と y = f(x) との交点は常に条件を満たすはず
だから a ≠ 0 なら a, b, c に特に条件は必要ない
平均値の定理みたいなもんかな
直線 y = x + α と y = f(x) との交点は常に条件を満たすはず
だから a ≠ 0 なら a, b, c に特に条件は必要ない
円周率って円周の直径に対する比率のことですよね？
何で面積で円周率が出てくるんですか？
何で面積で円周率が出てくるんですか？
何を都合よく忘れてるんだ
円の面積は円周長を底辺長とし高さが半径長である三角形の面積に等しいから。
証明はどこかにある。頑張って探してね。
証明はどこかにある。頑張って探してね。
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n は n→∞で 平均2/3 標準偏差1/√(18n) の正規分布に近づく ことはわかった。
後は意味がわからん。
後は意味がわからん。
三辺の和が一定のときに面積が最大になる三角形はどんな三角形か？
予想される某芸人の答
(1)
ヘロンの公式を偏微分して答を出す。
(2)
最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
それが同じになるのは正三角形のときである。
∴示された
予想される某芸人の答
(1)
ヘロンの公式を偏微分して答を出す。
(2)
最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
それが同じになるのは正三角形のときである。
∴示された
>>196
> 最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
なんで？
> 最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
なんで？
>>186
n回の独立試行の場合、標本平均Yn の期待値は母平均ぢゃね？
E(X) = ∫ X･f(X)dX = ∫[0,1] 2XX dX = 2/3.
n回の独立試行の場合、標本平均Yn の期待値は母平均ぢゃね？
E(X) = ∫ X･f(X)dX = ∫[0,1] 2XX dX = 2/3.
lim[n→∞](n・e^-an) ただしaは正の実数
これが0になることを証明するにはどうすればいいんでしょうか
これが0になることを証明するにはどうすればいいんでしょうか
e^(an/2) ≧ ean/2,
e^an ≧ (ean/2)^2,
(与式) = n/(e^an) ≦ n･(2/ean)^2
= 4/{(ea)^2･n} → 0 (n→∞)
e^an ≧ (ean/2)^2,
(与式) = n/(e^an) ≦ n･(2/ean)^2
= 4/{(ea)^2･n} → 0 (n→∞)
>>198
n回の独立試行では
f(X_1,X_2,････,X_n) = Π[i=1,n] f(X_i)
モーメント母関数は
E(e^(tY)) = ∫････∫ e^{t(X1+X2+････Xn)/n} f(X1,X2,････Xn) dX1dX2････dXn
= {∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX}^n
= g(t)^n,
ここで
g(t) = ∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX
= ∫[0,1] e^(tX/n) 2X dX
= { [ (2n/t)e^(tX/n)･(X -n/t) ](x=0,1)
= (2n/t){e^(t/n)･(1-n/t) + n/t},
= Σ[k=0,∞] 2/{k!(k+2)}・(t/n)^k
= 1 + (2/3)(t/n) + (1/4)(t/n)^2 + (1/15)(t/n)^3 + (1/72)(t/n)^4 + (1/420)(t/n)^5 + ････
≒ 1 + (2/3n)t,
したがって
E(e^(tY)) = {g(t)}^n
= 1 + (2/3)t + {(2/9) +1/(36n)}t^2 + {(4/81) +1/(54n) -1/(810nn)}t^3 + {(2/243) +1/(162n) -17/(38880nn) -3/(38880n^3)}t^4 + ････
≒ e^(2t/3 + (1/36n)t^2)
= e^(μt + (1/2)(σt)^2)
∴ μ = 2/3, σ^2 = 1/(18n),
n回の独立試行では
f(X_1,X_2,････,X_n) = Π[i=1,n] f(X_i)
モーメント母関数は
E(e^(tY)) = ∫････∫ e^{t(X1+X2+････Xn)/n} f(X1,X2,････Xn) dX1dX2････dXn
= {∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX}^n
= g(t)^n,
ここで
g(t) = ∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX
= ∫[0,1] e^(tX/n) 2X dX
= { [ (2n/t)e^(tX/n)･(X -n/t) ](x=0,1)
= (2n/t){e^(t/n)･(1-n/t) + n/t},
= Σ[k=0,∞] 2/{k!(k+2)}・(t/n)^k
= 1 + (2/3)(t/n) + (1/4)(t/n)^2 + (1/15)(t/n)^3 + (1/72)(t/n)^4 + (1/420)(t/n)^5 + ････
≒ 1 + (2/3n)t,
したがって
E(e^(tY)) = {g(t)}^n
= 1 + (2/3)t + {(2/9) +1/(36n)}t^2 + {(4/81) +1/(54n) -1/(810nn)}t^3 + {(2/243) +1/(162n) -17/(38880nn) -3/(38880n^3)}t^4 + ････
≒ e^(2t/3 + (1/36n)t^2)
= e^(μt + (1/2)(σt)^2)
∴ μ = 2/3, σ^2 = 1/(18n),
>>191
直感的に理解するための実演
・半径30cmの 大きい円 を ピザの生地 で作る。
・中心から 半径が微小な値 (1 ナノメートル) の小さい円 を書いて、
その形に切り込みを入れる。
今回は、便宜上、 微小な値を 1cm とする。
・大円から微小円をくり抜いて、
DVDのような形のピザ生地にする。
・このDVDに右向きへざっくりと切り込みを入れて
ぺろりと剥がす
（ロールケーキを剥がしたような感じの形状になる）
・これを長方形になるように、ちょっとずつ、成型していく。
結果として
縦が r cm、 横が 円周の長さ2πrの半分 = πr
の長方形が得られる。
r x πr = πr^2
直感的に理解するための実演
・半径30cmの 大きい円 を ピザの生地 で作る。
・中心から 半径が微小な値 (1 ナノメートル) の小さい円 を書いて、
その形に切り込みを入れる。
今回は、便宜上、 微小な値を 1cm とする。
・大円から微小円をくり抜いて、
DVDのような形のピザ生地にする。
・このDVDに右向きへざっくりと切り込みを入れて
ぺろりと剥がす
（ロールケーキを剥がしたような感じの形状になる）
・これを長方形になるように、ちょっとずつ、成型していく。
結果として
縦が r cm、 横が 円周の長さ2πrの半分 = πr
の長方形が得られる。
r x πr = πr^2
>>193
円の面積がそういう三角形の面積に等しい
っていうのは説明として分かりづらい。
四角形で説明した方がいい。
円の面積は
円周長の「半分」を底辺として、
高さが半径長である「四角形の面積」に等しい。
円の面積がそういう三角形の面積に等しい
っていうのは説明として分かりづらい。
四角形で説明した方がいい。
円の面積は
円周長の「半分」を底辺として、
高さが半径長である「四角形の面積」に等しい。
>>199
n＞Nのとき|n/e^an - 0|＜εとなるNを探したい
n/e^an＞0だから|n/e^an|=n/e^an
またn＜e^nなので
n/e^an ＜ e^n/e^an = 1/e^(a-1)n
n＞Nなのでe^(a-1)n ＞ e^(a-1)Nだから
1/e^(a-1)n ＜ 1/e^(a-1)N
よってこれが＜εとなるようにN=εe^(a-1)/2とすればよい
n＞Nのとき|n/e^an - 0|＜εとなるNを探したい
n/e^an＞0だから|n/e^an|=n/e^an
またn＜e^nなので
n/e^an ＜ e^n/e^an = 1/e^(a-1)n
n＞Nなのでe^(a-1)n ＞ e^(a-1)Nだから
1/e^(a-1)n ＜ 1/e^(a-1)N
よってこれが＜εとなるようにN=εe^(a-1)/2とすればよい
>>200
任意のε>0 に対して
N = 4/{(ea)^2･ε},
とおけば
n>N ⇒ (与式) < ε,
任意のε>0 に対して
N = 4/{(ea)^2･ε},
とおけば
n>N ⇒ (与式) < ε,
>>196
16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦(a+b+c)[(1/3){(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}]^3=(a+b+c)^4/27
16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦(a+b+c)[(1/3){(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}]^3=(a+b+c)^4/27
>201の
ｎ→∞で
σ^2 = 1/(18n)→0
になるので、何が求められているのからなかったのだけど、
>194でよかったのか。
ｎ→∞で
σ^2 = 1/(18n)→0
になるので、何が求められているのからなかったのだけど、
>194でよかったのか。
（RSA暗号に関する疑問）
RSA暗号は要点だけ書けば次のような仕組みです。
1.素数a,bを決める
2.c=abとおく
3.d=(a-1)(b-1)とおく
4.dと互いに素な自然数eを一つ決める
5.feをdで割った余りが1となる自然数fを求める
6.ペア(c,e)を公開鍵、ペア(c,f)を秘密鍵とする
7.平文（を自然数列に変換した項の一つ）をmとすると、暗号文はm^eをcで割った余りnである
8.暗号文がnのとき、n^fをcで割った余りはmであるので復号できる（∵数論のオイラーの定理）
よく一般向けの解説等では、
「a,bを十分大きくとればcからa,bを求めるのが事実上不可能なのでRSA暗号は安全」
と書かれてますが、
「a,bを知ることなく何か巧妙な手段でfを求めるのもやはり事実上不可能」
だと言えますか？
もちろんそうでないと現実的におかしいのですが、しばらく考えてみても理由が思いつかなかったので
分かる方教えてください。
多分数行の算数でわかるような単純なことだろうと思われるのですが
RSA暗号は要点だけ書けば次のような仕組みです。
1.素数a,bを決める
2.c=abとおく
3.d=(a-1)(b-1)とおく
4.dと互いに素な自然数eを一つ決める
5.feをdで割った余りが1となる自然数fを求める
6.ペア(c,e)を公開鍵、ペア(c,f)を秘密鍵とする
7.平文（を自然数列に変換した項の一つ）をmとすると、暗号文はm^eをcで割った余りnである
8.暗号文がnのとき、n^fをcで割った余りはmであるので復号できる（∵数論のオイラーの定理）
よく一般向けの解説等では、
「a,bを十分大きくとればcからa,bを求めるのが事実上不可能なのでRSA暗号は安全」
と書かれてますが、
「a,bを知ることなく何か巧妙な手段でfを求めるのもやはり事実上不可能」
だと言えますか？
もちろんそうでないと現実的におかしいのですが、しばらく考えてみても理由が思いつかなかったので
分かる方教えてください。
多分数行の算数でわかるような単純なことだろうと思われるのですが
>>211
そもそもその“cからa,bを求めるのが事実上不可能”(=計算量が指数的に増大しないアルゴリズムは存在しない)が証明されてないからなぁ。
そもそもその“cからa,bを求めるのが事実上不可能”(=計算量が指数的に増大しないアルゴリズムは存在しない)が証明されてないからなぁ。
>>212
…まあ確かにそれはそうなんですが、
「そこへの還元の出来なさ」が言えそうで言えないのがもどかしいのです
…まあ確かにそれはそうなんですが、
「そこへの還元の出来なさ」が言えそうで言えないのがもどかしいのです
>>213
つまりc,e,f全部知ってる人はa,bも全部少ない手間で計算できるのか？ですね。
どーなんだろ？
つまりc,e,f全部知ってる人はa,bも全部少ない手間で計算できるのか？ですね。
どーなんだろ？
量子コンピュータなら秒殺という時代になってきたから新たな暗号形式が求められているようだな
量子コンピュータを悪者が手にするようになる前に堅牢な暗号が開発されなかったらどうなっちゃうん？
量子コンピュータを悪者が手にするようになる前に堅牢な暗号が開発されなかったらどうなっちゃうん？
RSAはもう脆弱扱いで
ラインダール（SHA2）が主流なんだっけ
ラインダール（SHA2）が主流なんだっけ
>>196
(1)
a+b+c=2s
c=2s-a-b
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
16S^2
=(a+b+(2s-a-b))(-a+b+(2s-a-b))(a-b+(2s-a-b))(a+b-(2s-a-b))
=2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s)
∂/∂a(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(b-s)(2a+b-2s)
a=s-b/2
∂/∂b(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(a-s)(a+2b-2s)
b=s-a/2
s=a+b/2=b+a/2
b=a, s=(3/2)a
c=2s-a-b=a
∴ a=b=c
(1)
a+b+c=2s
c=2s-a-b
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
16S^2
=(a+b+(2s-a-b))(-a+b+(2s-a-b))(a-b+(2s-a-b))(a+b-(2s-a-b))
=2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s)
∂/∂a(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(b-s)(2a+b-2s)
a=s-b/2
∂/∂b(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(a-s)(a+2b-2s)
b=s-a/2
s=a+b/2=b+a/2
b=a, s=(3/2)a
c=2s-a-b=a
∴ a=b=c
辺の長さの和が一定の多角形で面積が最大なものは正多角形である
って正しそうだけど、証明は難しいのかなぁ？
三角形と四角形なら私にもできるけど。
って正しそうだけど、証明は難しいのかなぁ？
三角形と四角形なら私にもできるけど。
>>211
面白そうなので、ちょっと実験してみた。
暗号文ｍは123
> library(numbers)
> library(gmp)
> options(digits=22)
> k=1e3
> (ab=sample(Primes(k),2))
[1] 911 47
> # 1
> a=ab[1] ; b=ab[2] ; GCD(a,b)
[1] 1
> # 2
> (c=a*b)
[1] 42817
> # 3
> (d=(a-1)*(b-1))
[1] 41860
> # 4
> flg=FALSE
> while(!flg){
+ e=sample(k,1)
+ flg <- GCD(d,e)==1
+ }
> e ; GCD(d,e)
[1] 361
[1] 1
> # 5
> flg=FALSE
> f=0
> while(!flg){
+ f=f+1
+ flg <- (f*e)%%d==1
+ }
> f ; (f*e)%%d
[1] 18321
[1] 1
> # 6
> (public=c(c,e))
[1] 42817 361
> (secret=c(c,f))
[1] 42817 18321
> # 7
> m=as.bigz(123)
> (n=m^e%%c)
Big Integer ('bigz') :
[1] 3047
> #8
> n^f%%c
Big Integer ('bigz') :
[1] 123
復号されていて面白い。理屈はさっぱりわからんけどｗ
面白そうなので、ちょっと実験してみた。
暗号文ｍは123
> library(numbers)
> library(gmp)
> options(digits=22)
> k=1e3
> (ab=sample(Primes(k),2))
[1] 911 47
> # 1
> a=ab[1] ; b=ab[2] ; GCD(a,b)
[1] 1
> # 2
> (c=a*b)
[1] 42817
> # 3
> (d=(a-1)*(b-1))
[1] 41860
> # 4
> flg=FALSE
> while(!flg){
+ e=sample(k,1)
+ flg <- GCD(d,e)==1
+ }
> e ; GCD(d,e)
[1] 361
[1] 1
> # 5
> flg=FALSE
> f=0
> while(!flg){
+ f=f+1
+ flg <- (f*e)%%d==1
+ }
> f ; (f*e)%%d
[1] 18321
[1] 1
> # 6
> (public=c(c,e))
[1] 42817 361
> (secret=c(c,f))
[1] 42817 18321
> # 7
> m=as.bigz(123)
> (n=m^e%%c)
Big Integer ('bigz') :
[1] 3047
> #8
> n^f%%c
Big Integer ('bigz') :
[1] 123
復号されていて面白い。理屈はさっぱりわからんけどｗ
同周長で面積を最大にするn角形があれば凸である
(凹なところはそこを反転させると面積が増やせる)
また隣り合う辺の長さは等しい
(違っていればその辺の和を保って二等辺にすることでその三角形部分の面積を増やせる)
さらに隣り合う内角の大きさは等しい
(違っていればその隣り合う二角を等しくすることでその四角形部分の面積を増やせる、なぜなら>>220によってその四角形部分は対角の和が180度のとき最大になり、そのとき四角形部分は円に内接する形であり、いま3辺は長さが等しいのでそれは二角が等しいときである)
という感じか
(凹なところはそこを反転させると面積が増やせる)
また隣り合う辺の長さは等しい
(違っていればその辺の和を保って二等辺にすることでその三角形部分の面積を増やせる)
さらに隣り合う内角の大きさは等しい
(違っていればその隣り合う二角を等しくすることでその四角形部分の面積を増やせる、なぜなら>>220によってその四角形部分は対角の和が180度のとき最大になり、そのとき四角形部分は円に内接する形であり、いま3辺は長さが等しいのでそれは二角が等しいときである)
という感じか
隣り合う2辺が作る3角形と3辺が作る4角形で証明すれば充分だろ
k,nは自然数の定数で、数列{a[j]}は
a[1]=n
a[2]=(kn,n)
a[j+1]=(a[j],a[j-1])
ただし(x,y)=xCyの二項係数
このときa[j]のnについてのオーダーはどのようになりますか？
a[1]=n
a[2]=(kn,n)
a[j+1]=(a[j],a[j-1])
ただし(x,y)=xCyの二項係数
このときa[j]のnについてのオーダーはどのようになりますか？
>>225
まぁそうなんだけど
AB=BC=CD=a
AD=b
が束縛条件で面積最大が等脚台形のときがまぁまぁ
メンドそう。
オレは昔の人が便利な定理残してくれてるんだからありがたく使わせていただくの大好き。
まぁそうなんだけど
AB=BC=CD=a
AD=b
が束縛条件で面積最大が等脚台形のときがまぁまぁ
メンドそう。
オレは昔の人が便利な定理残してくれてるんだからありがたく使わせていただくの大好き。
>>220
プレートシュナイダーの公式
T=(p+q+r+s)/2
S=sqrt((T-p)*(T-q)*(T-r)*(T-s)-p*q*r*s*(cos(A/2+C/2))^2)
を使ってプログラムに最大となる四角形を探索させてみた。
四辺の長さの和が20(T=10に相当)として作図させてみた。
四角形ABCDでDを原点、Cをx軸上の点としてA,Bを任意に動かす。
A,Bの位置が決まるとDA,ABの長さが決まる。
BC+CDが20-DA-ABの長さになるようにCを決定する。
これで決定された四角形にプレートシュナイダーの公式を使って面積Sを計算。
Sが最大になるA,Bの位置をコンピューターに探索させる。
その結果は、やはり、最初の直感通りであったｗ
Rのコードはここ
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/188
プレートシュナイダーの公式
T=(p+q+r+s)/2
S=sqrt((T-p)*(T-q)*(T-r)*(T-s)-p*q*r*s*(cos(A/2+C/2))^2)
を使ってプログラムに最大となる四角形を探索させてみた。
四辺の長さの和が20(T=10に相当)として作図させてみた。
四角形ABCDでDを原点、Cをx軸上の点としてA,Bを任意に動かす。
A,Bの位置が決まるとDA,ABの長さが決まる。
BC+CDが20-DA-ABの長さになるようにCを決定する。
これで決定された四角形にプレートシュナイダーの公式を使って面積Sを計算。
Sが最大になるA,Bの位置をコンピューターに探索させる。
その結果は、やはり、最初の直感通りであったｗ
Rのコードはここ
http://2chb.net/r/hosp/1592215787/188
n辺の和が一定のn角形の面積が最大になる形状をn人で和になって考えた。答が唯一なら誰がみても同じ形になるはずなので正n角形のときが面積が最大である。
∴示された。
∴示された。
球に内接する12面体で体積最大のものは正12面体であることを証明せよ。
>>222
P,Q,R を隣合う頂点とし、 PQ≠QR と仮定する。
Qを通りPRに平行な直線をLとする。
Lに関してRと対称な点R'をとる。
PR'の中点をQ'とおけば
PQ+QR = PQ+QR' > PR' = PQ'+Q'R,
かつ △PQR = △PQ'R
Q' を少し持ち上げて PQ+QR = PQ"+Q"R となるようにすれば
△PQR < △PQ"R (矛盾)
∴ 面積が最大になるのは PQ=QR の場合しかないな。
P,Q,R を隣合う頂点とし、 PQ≠QR と仮定する。
Qを通りPRに平行な直線をLとする。
Lに関してRと対称な点R'をとる。
PR'の中点をQ'とおけば
PQ+QR = PQ+QR' > PR' = PQ'+Q'R,
かつ △PQR = △PQ'R
Q' を少し持ち上げて PQ+QR = PQ"+Q"R となるようにすれば
△PQR < △PQ"R (矛盾)
∴ 面積が最大になるのは PQ=QR の場合しかないな。
いつもの芸風www
>>230
コンセヴィッチとかが一晩ガチで考えたらモジュライ空間に謎の不変量か測度作って超アクロバティックな一発計算でカッコよく示しそう
コンセヴィッチとかが一晩ガチで考えたらモジュライ空間に謎の不変量か測度作って超アクロバティックな一発計算でカッコよく示しそう
∫[0,∞] {exp(-x)}*arctan(x) dx
を求めよ。
を求めよ。
>>234
Wolfram先生によると
≈0.6214496242358133576392657282153393238931646769197054169479755316419305616213745298777519239036674507
Wolfram先生によると
≈0.6214496242358133576392657282153393238931646769197054169479755316419305616213745298777519239036674507
分散がσ^2である母集団からn個のデータx = (x_1,…,x_n)を得た。
σ^2の値を推定せよ。
s^2 = [(x_1 - avg(x))^2 + … + (x_n - avg(x))^2] / (n - 1)
が正しい推定値だそうですが、なぜですか？
σ^2の値を推定せよ。
s^2 = [(x_1 - avg(x))^2 + … + (x_n - avg(x))^2] / (n - 1)
が正しい推定値だそうですが、なぜですか？
E(s^2) を計算すればわかる
n個の確率変数
x_1 - avg(x), x_2 - avg(x), ････, x_n - avg(x)
の和は0なので、自由度は n-1 しかありません。(*)
∴ E( 標本分散 ) = σ^2・(n-1)/n,
∴ E(s^2) = σ^2.
*) (1,1,････,1) 方向のバラツキは標本分散に寄与しません。
x_1 - avg(x), x_2 - avg(x), ････, x_n - avg(x)
の和は0なので、自由度は n-1 しかありません。(*)
∴ E( 標本分散 ) = σ^2・(n-1)/n,
∴ E(s^2) = σ^2.
*) (1,1,････,1) 方向のバラツキは標本分散に寄与しません。
そう、よく言われるのは
サンプルデータは統計的自由度が1つ少ない
という説明(なんかモヤモヤするやつ)
自分の理解としては
そもそも分散の定義式自体に起因するというもの
母集団{m_i |1≦i≦N}からサンプル{x_i |1≦i≦n}を抽出するとして
母集団の分散σ^2=Σ(m_i-(Σm_j)/N)^2/Nを変形すれば
(Σ(m_i)^2/(NC1)-Σ_(i<j)m_im_j)/(NC2))×((N-1)/N)…[母]
となる(ここでNCrは二項係数)
同じように、サンプルの(通常の)分散を変形すれば
(Σ(x_i)^2/(nC1)-Σ_(i<j)x_ix_j)/(nC2))×((n-1)/n)…[サ]
となる([母]と全く同じ形)
さてサンプルに
m_iが選ばれている確率は(nC1/NC1)
m_im_jが選ばれている確率は(nC2/NC2)
なので[サ]の期待値を取れば
「[サ]の((n-1)/n)以外の部分」から
「[母]の((N-1)/N)以外の部分」がキレイに復元される
しかし、
この困った部分(n-1)/n は(N-1)/Nへ変換されない
ここの調整を先にサンプルの分散にn/(n-1)×(N-1)/Nを掛けて行っていると思える
ただ、通常Nはとても大きい数なので(N-1)/N≒1となり、普通はn/(n-1)のみ掛けて調整される
つまり分散の式が
("スケール共変"な良い部分) × (困った部分(N-1)/N)
という形の定義になっているのが原因と思える
サンプルデータは統計的自由度が1つ少ない
という説明(なんかモヤモヤするやつ)
自分の理解としては
そもそも分散の定義式自体に起因するというもの
母集団{m_i |1≦i≦N}からサンプル{x_i |1≦i≦n}を抽出するとして
母集団の分散σ^2=Σ(m_i-(Σm_j)/N)^2/Nを変形すれば
(Σ(m_i)^2/(NC1)-Σ_(i<j)m_im_j)/(NC2))×((N-1)/N)…[母]
となる(ここでNCrは二項係数)
同じように、サンプルの(通常の)分散を変形すれば
(Σ(x_i)^2/(nC1)-Σ_(i<j)x_ix_j)/(nC2))×((n-1)/n)…[サ]
となる([母]と全く同じ形)
さてサンプルに
m_iが選ばれている確率は(nC1/NC1)
m_im_jが選ばれている確率は(nC2/NC2)
なので[サ]の期待値を取れば
「[サ]の((n-1)/n)以外の部分」から
「[母]の((N-1)/N)以外の部分」がキレイに復元される
しかし、
この困った部分(n-1)/n は(N-1)/Nへ変換されない
ここの調整を先にサンプルの分散にn/(n-1)×(N-1)/Nを掛けて行っていると思える
ただ、通常Nはとても大きい数なので(N-1)/N≒1となり、普通はn/(n-1)のみ掛けて調整される
つまり分散の式が
("スケール共変"な良い部分) × (困った部分(N-1)/N)
という形の定義になっているのが原因と思える
>>237-239
ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、P(X)をXのすべての部分集合の集合を表すとします。P(P(X))というのはハウスドルフの公理系に出てきます。
P(P(P(X)))、P(P(P(P(X))))、…が数学において登場しないのはなぜでしょうか？
ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、P(X)をXのすべての部分集合の集合を表すとします。P(P(X))というのはハウスドルフの公理系に出てきます。
P(P(P(X)))、P(P(P(P(X))))、…が数学において登場しないのはなぜでしょうか？
人間の頭がついていけないから登場しないが、それらを使えば、新しい理論が拓けるという可能性はありますか？
>>240
普通に登場してそうだけどね
複雑な構造はちゃんと書き下すとPPP(X)とか必要になるやつありそう
普通に登場してそうだけどね
複雑な構造はちゃんと書き下すとPPP(X)とか必要になるやつありそう
>>234
(与式) = [ -exp(-x)arctan(x) ](0,∞) + ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= f(1)
= 0.6214496242358
ここに
f(a) = ∫[0,∞] exp(-ax)/(1+xx) dx, (a>0)
より
f(a) + f "(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = 1/a,
これを解くと
f(a) = ∫[0,∞] sin(y)/(y+a) dy
= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
= ∫[a,∞] {-cosθ･sin(a) + sinθ･cos(a)}/θ dθ
= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),
ここに
Ci(a) = -∫[a,∞] (cosθ)/θ dθ, 余弦積分
Si(a) = ∫[0,a] (sinθ)/θ dθ, 正弦積分
これに
Ci(1) = 0.337403922901
π/2 - Si(1) = 0.6247132564277
cos(1) = 0.54030230586814
sin(1) = 0.8414709848079
を入れる。
(与式) = [ -exp(-x)arctan(x) ](0,∞) + ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= f(1)
= 0.6214496242358
ここに
f(a) = ∫[0,∞] exp(-ax)/(1+xx) dx, (a>0)
より
f(a) + f "(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = 1/a,
これを解くと
f(a) = ∫[0,∞] sin(y)/(y+a) dy
= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
= ∫[a,∞] {-cosθ･sin(a) + sinθ･cos(a)}/θ dθ
= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),
ここに
Ci(a) = -∫[a,∞] (cosθ)/θ dθ, 余弦積分
Si(a) = ∫[0,a] (sinθ)/θ dθ, 正弦積分
これに
Ci(1) = 0.337403922901
π/2 - Si(1) = 0.6247132564277
cos(1) = 0.54030230586814
sin(1) = 0.8414709848079
を入れる。
>>239
一般に k 個のパラメータを推定して残差の分散を求めると n-k で割る式になる
平均だけ求めた場合は k=1 になるだけの話
一般に k 個のパラメータを推定して残差の分散を求めると n-k で割る式になる
平均だけ求めた場合は k=1 になるだけの話
>>236
avg(x) = (1/n) Σx_i も変数。計算が面倒だけど
n=3 で試すと E(s^2) = 2 σ^2 になる。
avg(x) = (1/n) Σx_i も変数。計算が面倒だけど
n=3 で試すと E(s^2) = 2 σ^2 になる。
E(s^2) = σ^2
みなさん、ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、松坂和夫の集合位相入門に「Sの空でない部分集合Oが開集合であるための必要十分条件は、
Oの任意の点xに対して、Oがxの近傍となっていることである。」という定理があります。なぜわざわざ「Sの空でない」と制限しているのでしょうか？
ところで、別の話になりますが、松坂和夫の集合位相入門に「Sの空でない部分集合Oが開集合であるための必要十分条件は、
Oの任意の点xに対して、Oがxの近傍となっていることである。」という定理があります。なぜわざわざ「Sの空でない」と制限しているのでしょうか？
内田伏一の集合と位相でも同様の「制限」をしています。
空だと任意の点xが選べないからでは
命題「x∈O ⇒ Oはxの近傍である」が真である
みたいな回りくどい書き方にするのが嫌だったんじゃね？
空集合は開に決まってるんだから判定方法自体が必要ないし。
みたいな回りくどい書き方にするのが嫌だったんじゃね？
空集合は開に決まってるんだから判定方法自体が必要ないし。
∀O∈P(S)((∀x((x∈O)→∃V(V∈V_x)∩(V⊂O))→(O∈O(S))
論理的にはOが空のとき仮定x∈Oのところが偽だから問題ないって話か
論理的にはOが空のとき仮定x∈Oのところが偽だから問題ないって話か
□ABCDはAB=4,BC=5,CD=6,DA=7,BD=xである。
□ABCDが円に内接するよう、実数xの値を定めよ。
□ABCDが円に内接するよう、実数xの値を定めよ。
みなさん、ありがとうございました。
>>252
そうです。松坂和夫の集合位相入門にはわざわざ「p⇒q」はpが偽なら真であるということを述べていますし、空集合がすべての集合の部分集合であることを証明したりもしています。
>>252
そうです。松坂和夫の集合位相入門にはわざわざ「p⇒q」はpが偽なら真であるということを述べていますし、空集合がすべての集合の部分集合であることを証明したりもしています。
>>254
ここまで典型的な問題が質問されるのも逆に新鮮みを感じる。
∠BAD=θとすると∠BCD=180°-θで、cos∠BAD=cos∠BCD=cosθ
△BADに余弦定理で x^2=4^2+7^2-2*4*7cosθ
△BCDに余弦定理で x^2=5^2+6^2-2*5*6cosθ
x^2とcosθについての2元1次連立方程式として解く。
ここまで典型的な問題が質問されるのも逆に新鮮みを感じる。
∠BAD=θとすると∠BCD=180°-θで、cos∠BAD=cos∠BCD=cosθ
△BADに余弦定理で x^2=4^2+7^2-2*4*7cosθ
△BCDに余弦定理で x^2=5^2+6^2-2*5*6cosθ
x^2とcosθについての2元1次連立方程式として解く。
>>256
ありがとうございます。間が抜けていまして、これはxとθの連立方程式ですね
cosθが入っているので解けないと勝手に勘違いしていました。
ありがとうございます。間が抜けていまして、これはxとθの連立方程式ですね
cosθが入っているので解けないと勝手に勘違いしていました。
>>236
母分散の値がわかっていれば推定する必要はないのでは？
母分散の値が不明なときに/(n-1)になるんじゃなかったかな？
母分散の値がわかっていれば推定する必要はないのでは？
母分散の値が不明なときに/(n-1)になるんじゃなかったかな？
>>255
集合・位相入門って、あとがきかなんかで、いくつかの命題で空集合を敢えて除外した理由とか書いてあった気がするが
集合・位相入門って、あとがきかなんかで、いくつかの命題で空集合を敢えて除外した理由とか書いてあった気がするが
「前提が成り立たない場合は正しい」という論理の基礎がわかってない人への配慮でしょ
>>253
最小二乗法の正規方程式を代入するだけ
行列計算が結構必要だよ
数式が扱えない所でやるもんじゃ無いな
最小二乗法の正規方程式を代入するだけ
行列計算が結構必要だよ
数式が扱えない所でやるもんじゃ無いな
>>262
なるほど、今度勉強してみます
自分が考えてた方向性は
「キュムラントの擬再現性」的なもの
2次キュムラントである分散は
(再現部分) × (N(N-1)÷N^2)
となった
3次キュムラントならば
(再現部分) × (N(N-1)(N-2)÷N^3)
となり
一般にi次キュムラントは
(再現部分) × (N(N-1)…(N-i)÷N^i)
と
i乗と階差i乗の分だけズレが生じる
調べてみたらこの方向性はK-statistics(K統計量)とかの話らしいですね
なるほど、今度勉強してみます
自分が考えてた方向性は
「キュムラントの擬再現性」的なもの
2次キュムラントである分散は
(再現部分) × (N(N-1)÷N^2)
となった
3次キュムラントならば
(再現部分) × (N(N-1)(N-2)÷N^3)
となり
一般にi次キュムラントは
(再現部分) × (N(N-1)…(N-i)÷N^i)
と
i乗と階差i乗の分だけズレが生じる
調べてみたらこの方向性はK-statistics(K統計量)とかの話らしいですね
うーん、正確には4次以上のところでは
(再現部分)の中にさらに擬再現な項も現れてくる(？)
(再現部分)の中にさらに擬再現な項も現れてくる(？)
>>239
ここでの補正部分はn/(n-1)×(N-1)/Nであるのに
多くの論説でn/(n-1)しか計算で出てこないのは
サンプルの変数x_iたちを独立とみなして計算しているからか
x_i≠x_j(i≠j)という束縛条件の有無
つまり同時抽出か反復抽出かで若干結果が異なる
自分のは同時抽出でx_iたちが独立ではないときの計算だけどこれは面倒だからあまり教科書ではされていない(？)
母数Nが大きいとき、これらにほとんど差異はなくなる
ここでの補正部分はn/(n-1)×(N-1)/Nであるのに
多くの論説でn/(n-1)しか計算で出てこないのは
サンプルの変数x_iたちを独立とみなして計算しているからか
x_i≠x_j(i≠j)という束縛条件の有無
つまり同時抽出か反復抽出かで若干結果が異なる
自分のは同時抽出でx_iたちが独立ではないときの計算だけどこれは面倒だからあまり教科書ではされていない(？)
母数Nが大きいとき、これらにほとんど差異はなくなる
>>254
トレミーより AC･BD = 4･6 + 5･7 = 59,
また
BD = x = √(59･31/29) = 7.941597164
AC = y = √(59･29/31) = 7.429236057
トレミーより AC･BD = 4･6 + 5･7 = 59,
また
BD = x = √(59･31/29) = 7.941597164
AC = y = √(59･29/31) = 7.429236057
対角線 AC と BD の交点をXとすれば
AX = 14L, BX = 10L,
CX = 15L, DX = 21L,
AC = 29L, BD = 31L,
ここに L = √{59/(29･31)} = 0.25618
AX = 14L, BX = 10L,
CX = 15L, DX = 21L,
AC = 29L, BD = 31L,
ここに L = √{59/(29･31)} = 0.25618
すごいな。こんな問題にすら計算機教が現れるのか。たいした釣り師だ。逆に感心する。
>>221
暗号化前の数値mが123の間違いだな。
暗号はｎの3047
n=3047からm=123へ公開鍵(c=42817,e=361)を使って復号できるか？
### 暗号解読 ###
rm(list=ls())
# 公開鍵 (c,e)
c=42817
e=361
# 暗号
n=3047
# 素因数分解してdを決定
library(gmp)
(c1=gmp::factorize(c)) # 計算機にcを素因数分解させて
(d=prod((c1-1))) # 素因数-1の積dを求める
# fを虱潰しに探す
fmax=1e6 # 探索させる秘密鍵 (c,f)のｆの上限=10^6
f=0 # 初期値
flg=FALSE # 条件をみたすか否かのフラッグ
re.f=NULL # fの候補を容れる数列
# fmax以下でf*eをdで割った余りが1となるfの値を数をre.fに追加する
while(!flg | f<=fmax){
f=f+1 # 1増やして
flg <- (f*e)%%d==1 # f*e (mod d)が1に等しいか?
if(flg & f<=fmax) re.f=c(re.f,f) # 等しければre.fに追加
}
re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
decode=NULL # 秘密鍵(c,f)を使っての復号
for(f in re.f){
decode=append(decode,asNumeric(mod.bigz(pow.bigz(n,f),c)))
}
decode
暗号化前の数値mが123の間違いだな。
暗号はｎの3047
n=3047からm=123へ公開鍵(c=42817,e=361)を使って復号できるか？
### 暗号解読 ###
rm(list=ls())
# 公開鍵 (c,e)
c=42817
e=361
# 暗号
n=3047
# 素因数分解してdを決定
library(gmp)
(c1=gmp::factorize(c)) # 計算機にcを素因数分解させて
(d=prod((c1-1))) # 素因数-1の積dを求める
# fを虱潰しに探す
fmax=1e6 # 探索させる秘密鍵 (c,f)のｆの上限=10^6
f=0 # 初期値
flg=FALSE # 条件をみたすか否かのフラッグ
re.f=NULL # fの候補を容れる数列
# fmax以下でf*eをdで割った余りが1となるfの値を数をre.fに追加する
while(!flg | f<=fmax){
f=f+1 # 1増やして
flg <- (f*e)%%d==1 # f*e (mod d)が1に等しいか?
if(flg & f<=fmax) re.f=c(re.f,f) # 等しければre.fに追加
}
re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
decode=NULL # 秘密鍵(c,f)を使っての復号
for(f in re.f){
decode=append(decode,asNumeric(mod.bigz(pow.bigz(n,f),c)))
}
decode
復号完了！
> re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
[1] 18321 60181 102041 143901 185761 227621 269481 311341 353201 395061 436921
[12] 478781 520641 562501 604361 646221 688081 729941 771801 813661 855521 897381
[23] 939241 981101
> decode
[1] 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123
[21] 123 123 123 123
> re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
[1] 18321 60181 102041 143901 185761 227621 269481 311341 353201 395061 436921
[12] 478781 520641 562501 604361 646221 688081 729941 771801 813661 855521 897381
[23] 939241 981101
> decode
[1] 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123
[21] 123 123 123 123
例えば、符号理論とか暗号理論とか数学が現実に役立っている理論において選択公理を使わなければ証明できないような応用上有用な結果ってあるんですか？
>>275
確かwikiの選択公理のとこに選択公理ないと証明できない定理の一覧みたいなのあったと思うけど
確かwikiの選択公理のとこに選択公理ないと証明できない定理の一覧みたいなのあったと思うけど
計算機狂に捧ぐ
176: 2020/06/02(火) 14:05:44 ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、 均衡素数を20個見つけよ
176: 2020/06/02(火) 14:05:44 ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、 均衡素数を20個見つけよ
回りくどい言い方をしているが、「"6の倍数-1"ではない素数を20個挙げよ」というだけだな。
いや
x以下の≡1 (mod 6)である素数と≡5(mod 6)である素数の数が等しくなるxじゃね？
. 5
7 ◯
11
. 13 ◯
17
. 19 ◯
. 23
. 29
31
37 ◯
‥‥
じゃね？
x以下の≡1 (mod 6)である素数と≡5(mod 6)である素数の数が等しくなるxじゃね？
. 5
7 ◯
11
. 13 ◯
17
. 19 ◯
. 23
. 29
31
37 ◯
‥‥
じゃね？
ペアノの公理からsuc(x)≠xってどう示せますか
>>280
succ(0)≠0 (∵ 公理)
succ(x)≠xとする。
succ(succ(x))=succ(x)とする。
この時succ(c)=x (∵ 公理)
コレは仮定に矛盾。
∴succ(succ(x))≠succ(x)
succ(0)≠0 (∵ 公理)
succ(x)≠xとする。
succ(succ(x))=succ(x)とする。
この時succ(c)=x (∵ 公理)
コレは仮定に矛盾。
∴succ(succ(x))≠succ(x)
>>277
小中学生でも問題の意味がわかるような問題とか、暗号みたいに何かの役に立っている数理をプログラムするのが楽しい。
例えば、こういう問題。内容的には中学入試らしいね。
容量8Lの袋と容量5Lの袋を使って池の水を丁度4L集めたい。袋に目盛りはついていません。
袋から袋への移し替えは全量で行います。
池からとる水の量や池に捨てる水の量には制限はありません。
最初に片方に満たした作業を１回目として丁度4Lを集めるのに最低何回の移動が必要か？
小中学生でも問題の意味がわかるような問題とか、暗号みたいに何かの役に立っている数理をプログラムするのが楽しい。
例えば、こういう問題。内容的には中学入試らしいね。
容量8Lの袋と容量5Lの袋を使って池の水を丁度4L集めたい。袋に目盛りはついていません。
袋から袋への移し替えは全量で行います。
池からとる水の量や池に捨てる水の量には制限はありません。
最初に片方に満たした作業を１回目として丁度4Lを集めるのに最低何回の移動が必要か？
集合 S の元 x に対する命題 P(x) と、整数に値をとる関数 N(x) に対し、
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。
(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
が成り立つならば P(x) は真である。
このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。
(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
が成り立つならば P(x) は真である。
このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。
プログラムって
操作の組み合わせを総当たりで試すんか？
操作の組み合わせを総当たりで試すんか？
掃出法で解きました合ってますか？合ってなかったから回答と途中式欲しいです
次の２階微分方程式について，ラプラス変換を用いて解け.
y′′ − y′ − 6y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1
途中式もお願いします
y′′ − y′ − 6y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1
途中式もお願いします
多分筆記体のbなんだろうがhに見えるな
uもaの出来損ないみたいで気持ち悪い
>>283
命題ってただのS→{真,偽}のこと？
それなら偽の逆像の元で|N(x)|の最少値を探せば矛盾するから逆像は空集合、よって全て真が言えそう
命題ってただのS→{真,偽}のこと？
それなら偽の逆像の元で|N(x)|の最少値を探せば矛盾するから逆像は空集合、よって全て真が言えそう
>>283
地道にやってみたけど、多分>>289の方がスマートにやれると思う。
絶対値の縦棒と紛らわしかったので、集合の内包的記法の縦棒を∥と表記した。変な書き方で申し訳ない。
x∈S に対して A0={a∈S|∥N(a)>0 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。N(A0)は±N(X)を上限、下限とする整数の集合だから有限集合である。
A0＝∅ であれば、P(x)は真である。
A0≠∅ のとき、B0={|N(a)|∥a∈A0}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn1とする。
A1={a∈S∥N(a)>n1 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A1＝∅ であれば、P(x)は真である。
A1≠∅ のとき、B1={|N(a)|∥a∈A1}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn2とする。
A2={a∈S∥N(a)>n2 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A2＝∅ であれば、P(x)は真である。
A2≠∅ のとき、B2={|N(a)|∥a∈A2}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn3とする。
以下同様にAiを定めると、どこかで空集合が現れない限り #(N(A0))>#(N(A1))>#(N(A2))>…… となるが、
これは自然数の減少列であるから有限である。したがって必ず有限回の操作で空集合が現れるためP(x)は真である。
地道にやってみたけど、多分>>289の方がスマートにやれると思う。
絶対値の縦棒と紛らわしかったので、集合の内包的記法の縦棒を∥と表記した。変な書き方で申し訳ない。
x∈S に対して A0={a∈S|∥N(a)>0 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。N(A0)は±N(X)を上限、下限とする整数の集合だから有限集合である。
A0＝∅ であれば、P(x)は真である。
A0≠∅ のとき、B0={|N(a)|∥a∈A0}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn1とする。
A1={a∈S∥N(a)>n1 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A1＝∅ であれば、P(x)は真である。
A1≠∅ のとき、B1={|N(a)|∥a∈A1}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn2とする。
A2={a∈S∥N(a)>n2 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A2＝∅ であれば、P(x)は真である。
A2≠∅ のとき、B2={|N(a)|∥a∈A2}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn3とする。
以下同様にAiを定めると、どこかで空集合が現れない限り #(N(A0))>#(N(A1))>#(N(A2))>…… となるが、
これは自然数の減少列であるから有限である。したがって必ず有限回の操作で空集合が現れるためP(x)は真である。
>>285
(上)
連立１次方程式
4x -3y -4z +3u -4v = -5 … (1)
-x +y +2z -v = 1 … (2)
-x -2z -2u +5v = 1 … (3)
を解け。
(略解)
(1) + (2)･3 + (3) より
u -2v = -1 … (4)
u= 2b-1, v=b,
(2)+(3)+(4)･2 より
-2x +y = 0,
これらより
[x] [-2a+b+1]
[y] [-4a+2b+2]
[z] = [a]
[u] [2b-1]
[v] [b]
ただし a,bは任意。
(上)
連立１次方程式
4x -3y -4z +3u -4v = -5 … (1)
-x +y +2z -v = 1 … (2)
-x -2z -2u +5v = 1 … (3)
を解け。
(略解)
(1) + (2)･3 + (3) より
u -2v = -1 … (4)
u= 2b-1, v=b,
(2)+(3)+(4)･2 より
-2x +y = 0,
これらより
[x] [-2a+b+1]
[y] [-4a+2b+2]
[z] = [a]
[u] [2b-1]
[v] [b]
ただし a,bは任意。
>>289さんの方針でも清書してみました。
A={x∈S∥P(x)が偽} , B={|N(x)|∥x∈A} とする。
非負整数の集合であるBの最小値を与えるAの要素のうちの1つをx1とする。
(iii)の対偶から、P(x)が偽であるならば「|N(y)| < |N(x)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在する」が成り立つ
したがってP(x1)が偽であるから|N(y)| < |N(x1)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在することになるが、これはx1の最小性に矛盾する。
A={x∈S∥P(x)が偽} , B={|N(x)|∥x∈A} とする。
非負整数の集合であるBの最小値を与えるAの要素のうちの1つをx1とする。
(iii)の対偶から、P(x)が偽であるならば「|N(y)| < |N(x)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在する」が成り立つ
したがってP(x1)が偽であるから|N(y)| < |N(x1)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在することになるが、これはx1の最小性に矛盾する。
|N|の値域で帰納法使えばいいんじゃないの？
>>277
N以下の素数で均衡素数を表示させてみた。
F <- function(N){
library(numbers)
prime=Primes(N)
n_p=length(prime)
f1 <- function(x) x%%6==1
f5 <- function(x) x%%6==5
p1=prime[sapply(prime,f1)]
p5=prime[sapply(prime,f5)]
f <- function(p) sum(p1<=p)==sum(p5<=p)
p=NULL
i=1
lp=length(p)
while(i <= n_p){
x=prime[i]
if(f(x)==TRUE) p=c(p,x)
lp=length(p)
i=i+1
}
p
}
> F(1e3)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e4)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e5)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e6)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
あとは知らん。
N以下の素数で均衡素数を表示させてみた。
F <- function(N){
library(numbers)
prime=Primes(N)
n_p=length(prime)
f1 <- function(x) x%%6==1
f5 <- function(x) x%%6==5
p1=prime[sapply(prime,f1)]
p5=prime[sapply(prime,f5)]
f <- function(p) sum(p1<=p)==sum(p5<=p)
p=NULL
i=1
lp=length(p)
while(i <= n_p){
x=prime[i]
if(f(x)==TRUE) p=c(p,x)
lp=length(p)
i=i+1
}
p
}
> F(1e3)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e4)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e5)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e6)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
あとは知らん。
>>286
0 = tt-t-6 = (t-3)(t+2),
より 特性根は -2, 3.
ラプラス変換を
y = a{e^(-2x) -1} + b{e^(3x) -1}
とおく。
これを与式に代入して解くと
a=0, b=1/3,
y = {e^(3x) - 1}/3.
0 = tt-t-6 = (t-3)(t+2),
より 特性根は -2, 3.
ラプラス変換を
y = a{e^(-2x) -1} + b{e^(3x) -1}
とおく。
これを与式に代入して解くと
a=0, b=1/3,
y = {e^(3x) - 1}/3.
前>>300あごめ、やっぱなしで。移して足し集めんなんで8+8=16(回)必要か。下手したら24回。
傾けて半分にでけるんなら一発やん
放物線y=x^2のx≧0の部分をC、直線y=ax(a>0)とCの交点で原点OでないものをAとする。
C上の相異なる2点P(p,p^2),Q(q,q^2)に対し、直線PQを以下の全ての条件を満たすように定めたい。
それは可能か。可能ならばp,qをaで表せ。
（条件）
・0<p<a,a<q
・Cと直線OAと直線PQとで囲まれる3つの有限領域の面積が全て等しい
C上の相異なる2点P(p,p^2),Q(q,q^2)に対し、直線PQを以下の全ての条件を満たすように定めたい。
それは可能か。可能ならばp,qをaで表せ。
（条件）
・0<p<a,a<q
・Cと直線OAと直線PQとで囲まれる3つの有限領域の面積が全て等しい
AB=5,BC=12,CA=13の△ABCにおいて、∠BCA=θ°とする。
360°<16θ<370°を示せ。
360°<16θ<370°を示せ。
>>301
いや>299が想定した正解。
高校数学スレのグラフを使っての解法をプログラムして
値を変えても応用できるようにしただけ。
いや>299が想定した正解。
高校数学スレのグラフを使っての解法をプログラムして
値を変えても応用できるようにしただけ。
>>307
１３リットルの容器と７リットルの容器の移し替えで前者に１０リットルを満たすステップは１８回になったな。
プロラムにバクが紛れているかもしれんからもっと少ない回数で可能かもしれない。
１８回未満のステップがあれば提示希望。
13L 7L
1 13 0
2 6 7
3 6 0
4 0 6
5 13 6
6 12 7
7 12 0
8 5 7
9 5 0
10 0 5
11 13 5
12 11 7
13 11 0
14 4 7
15 4 0
16 0 4
17 13 4
18 10 7
１３リットルの容器と７リットルの容器の移し替えで前者に１０リットルを満たすステップは１８回になったな。
プロラムにバクが紛れているかもしれんからもっと少ない回数で可能かもしれない。
１８回未満のステップがあれば提示希望。
13L 7L
1 13 0
2 6 7
3 6 0
4 0 6
5 13 6
6 12 7
7 12 0
8 5 7
9 5 0
10 0 5
11 13 5
12 11 7
13 11 0
14 4 7
15 4 0
16 0 4
17 13 4
18 10 7
>>306
Wolfram先生によると
θ=22.6198649480404261729490108766797211594872729681881102887427570043581852608784595213388154454546402776839224441176...
だそうです。
Wolfram先生によると
θ=22.6198649480404261729490108766797211594872729681881102887427570043581852608784595213388154454546402776839224441176...
だそうです。
>>308
１３Lと７Lだと１０Lを満たすのが一番ステップが多いな。
目的とする量を変化させてグラフにしてみた。
１３Lと７Lだと１０Lを満たすのが一番ステップが多いな。
目的とする量を変化させてグラフにしてみた。
容器が21Lと１0Lの時は5と16が最小移動回数28回みたい。
http://www.shokabo.co.jp/author/1401/answer/Q16.6.pdf
内田伏一『集合と位相』問16.6
(X, O)を位相空間とし、(Y, O_Y)をその部分空間とする。A⊂Yに対して、部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合は、位相空間(X, O)における
Aの導集合A^dとYとの共通部分A^d∩Yに一致することを示せ。
上の解答は見ただけで読んでいませんが、そうする必要は本当にありますか？
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明ではないですか？
内田伏一『集合と位相』問16.6
(X, O)を位相空間とし、(Y, O_Y)をその部分空間とする。A⊂Yに対して、部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合は、位相空間(X, O)における
Aの導集合A^dとYとの共通部分A^d∩Yに一致することを示せ。
上の解答は見ただけで読んでいませんが、そうする必要は本当にありますか？
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明ではないですか？
自明ならすぐに証明できるはずですよね
>>306
tanθ=5/12 , tan(2θ)=120/119＞1=tan45°から 2θ＜45°すなわち 360°<16θ
0<x<π/2 で tanx＞x であるから tan(2θ-π/4)＞2θ-π/4
tan(2θ-π/4)={(120/119)-1}/{1+(120/119)}=1/239
2θ＜(π/4)+(1/239)＜(π/4)+(π/144)=370°/8
よって 16θ＜370°
tanθ=5/12 , tan(2θ)=120/119＞1=tan45°から 2θ＜45°すなわち 360°<16θ
0<x<π/2 で tanx＞x であるから tan(2θ-π/4)＞2θ-π/4
tan(2θ-π/4)={(120/119)-1}/{1+(120/119)}=1/239
2θ＜(π/4)+(1/239)＜(π/4)+(π/144)=370°/8
よって 16θ＜370°
306（合計50点）
・12と13が挟む角θからtan2θを計算し、360°<16θを示す（18点）
・（注意）三角関数の計算によらない他の方針であっても勿論良い
・5,12,13の直角三角形を2つ張り合わせて、先の2θと図形的考察で16θ<370°（32点）
・三角関数などの考察を用いても勿論良い、テイラー展開を用いても良いが上下から不等式評価をしていなければ減点する
・（注意）ソフトウェアを利用した計算については、当該部及びその影響する部分に点を与えない。
・12と13が挟む角θからtan2θを計算し、360°<16θを示す（18点）
・（注意）三角関数の計算によらない他の方針であっても勿論良い
・5,12,13の直角三角形を2つ張り合わせて、先の2θと図形的考察で16θ<370°（32点）
・三角関数などの考察を用いても勿論良い、テイラー展開を用いても良いが上下から不等式評価をしていなければ減点する
・（注意）ソフトウェアを利用した計算については、当該部及びその影響する部分に点を与えない。
16θ=361.917839168646818767184174026875538551796367491009764619884112069730964174055352341421047127274244442942759105881...
∴示されたｗ
∴示されたｗ
>>317
0<x<π/2 ⇒ x < tan(x),
を使うのでござるか。
∴ 2θ - π/4 < tan(2θ -π/4) = 1/239,
∴ 16θ < 2π + 8/239 = 361.91785036°
誤差 0.0000112°
かなり近い…
0<x<π/2 ⇒ x < tan(x),
を使うのでござるか。
∴ 2θ - π/4 < tan(2θ -π/4) = 1/239,
∴ 16θ < 2π + 8/239 = 361.91785036°
誤差 0.0000112°
かなり近い…
f(x) を整数係数の 1 変数多項式とする。正の整数 n に対し、
有限個の n を除いて f(n) が素数となるような f は定数に限ることを証明せよ。
有限個の n を除いて f(n) が素数となるような f は定数に限ることを証明せよ。
f(a)=p⇒f(a+np)=p for almost every n
>>304
弓形OPA = (1/6)(a-0)^3,
弓形PAQ = (1/6)(q-p)^3
が等しいことから、必要条件
q-p = a-0,
が出るが、さて････
OA： y = ax,
PQ： y = (p+q)x -pq,
の交点Xは (pq/(p+q-a), apq/(p+q-a))
弓形OPA = (1/6)(a-0)^3,
弓形PAQ = (1/6)(q-p)^3
が等しいことから、必要条件
q-p = a-0,
が出るが、さて････
OA： y = ax,
PQ： y = (p+q)x -pq,
の交点Xは (pq/(p+q-a), apq/(p+q-a))
>>314
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明であり、集積点の定義をそのまま使った素直な解答だと思います。なぜ
http://www.shokabo.co.jp/author/1401/answer/Q16.6.pdf
のような解答なのかが分かりません。
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明であり、集積点の定義をそのまま使った素直な解答だと思います。なぜ
http://www.shokabo.co.jp/author/1401/answer/Q16.6.pdf
のような解答なのかが分かりません。
続き
OA： y = ax,
PQ： y = (2q-a)x - (q-a)q,
の交点Xは (q/2, aq/2)
題意から
p^3 -3aap + a^3 = 0,
３つの実根のうち 0<p/a<1 を満たすものは
p = 0.3472963553338607 a,
q = 1.3472963553338607 a,
かな？
OA： y = ax,
PQ： y = (2q-a)x - (q-a)q,
の交点Xは (q/2, aq/2)
題意から
p^3 -3aap + a^3 = 0,
３つの実根のうち 0<p/a<1 を満たすものは
p = 0.3472963553338607 a,
q = 1.3472963553338607 a,
かな？
>>327
一応「閉包」と言ってもXでの閉包とYでの閉包で異なる、ということに注意が必要ってことかな
まあYでの閉包=Xでの閉包∩Yなんだけどそれは少し考えておく必要がある
一応「閉包」と言ってもXでの閉包とYでの閉包で異なる、ということに注意が必要ってことかな
まあYでの閉包=Xでの閉包∩Yなんだけどそれは少し考えておく必要がある
>>304
直線OAと直線x=pの交点をB、直線PQと直線x=aとの交点をC、直線OAと直線PQの交点をEとする。
囲まれる3つの有限領域について、O-P間を領域S,P-A間を領域T,A-Q間を領域Uとする。
>>326からq=a+pのとき領域SとUの面積は等しいので、あとは領域SとTの面積が等しければよい。
点E(>>326における点X)のx座標は (a+p)/2 であるから、線分ABの中点がEなので△APEと△BPEは面積が等しい。
したがって、Sから△BPEを除いた領域とTから△APEを除いた面積は等しい。
∫[0~p](ax-x^2)dx=(1/6)(a-p)^3
3ap^2-2p^3=(a-p)^3
a^3-3a^2p+p^3=0
あかん、この3次方程式解けんわ。ギブアップ。
直線OAと直線x=pの交点をB、直線PQと直線x=aとの交点をC、直線OAと直線PQの交点をEとする。
囲まれる3つの有限領域について、O-P間を領域S,P-A間を領域T,A-Q間を領域Uとする。
>>326からq=a+pのとき領域SとUの面積は等しいので、あとは領域SとTの面積が等しければよい。
点E(>>326における点X)のx座標は (a+p)/2 であるから、線分ABの中点がEなので△APEと△BPEは面積が等しい。
したがって、Sから△BPEを除いた領域とTから△APEを除いた面積は等しい。
∫[0~p](ax-x^2)dx=(1/6)(a-p)^3
3ap^2-2p^3=(a-p)^3
a^3-3a^2p+p^3=0
あかん、この3次方程式解けんわ。ギブアップ。
>>277
>>294
10億まで調べたが（GPUで10分ぐらい）それ以降のが見つからんな
import math
import sys
from tqdm import tqdm
MAX=int(sys.argv[1])
merk=int(MAX/20)
record=dict()
sosu=[2,3,]
kinko_sosu=[2,3,]
def isPrime(n):
m = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
for p in sosu:
if n % p == 0:
return False
if p >= m:
return True
cnt_1mod6=cnt_5mod6=0
cnt_p=2
for i in tqdm(range(5,MAX)):
if isPrime(i):
cnt_p+=1
sosu.append(i)
if i % 6 == 1:
cnt_1mod6 += 1
elif i % 6 == 5:
cnt_5mod6 += 1
if cnt_1mod6 == cnt_5mod6:
kinko_sosu.append(i)
if i % merk == 0:
record[i] = str(round(100*(cnt_5mod6 - cnt_1mod6)/cnt_1mod6,3))+'%'
print(kinko_sosu)
print(record)
100%|██████████| 99999995/99999995 [09:58<00:00, 167059.18it/s]
[2, 3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 163, 223, 229]
{5000000: '0.075%', 10000000: '0.057%', 15000000: '0.063%', 20000000: '0.056%',
25000000: '0.027%', 30000000: '0.041%', 35000000: '0.054%', 40000000: '0.038%',
45000000: '0.039%', 50000000: '0.011%', 55000000: '0.028%', 60000000: '0.02%',
65000000: '0.033%', 70000000: '0.033%', 75000000: '0.029%', 80000000: '0.028%',
85000000: '0.021%', 90000000: '0.021%', 95000000: '0.016%'}
>>294
10億まで調べたが（GPUで10分ぐらい）それ以降のが見つからんな
import math
import sys
from tqdm import tqdm
MAX=int(sys.argv[1])
merk=int(MAX/20)
record=dict()
sosu=[2,3,]
kinko_sosu=[2,3,]
def isPrime(n):
m = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
for p in sosu:
if n % p == 0:
return False
if p >= m:
return True
cnt_1mod6=cnt_5mod6=0
cnt_p=2
for i in tqdm(range(5,MAX)):
if isPrime(i):
cnt_p+=1
sosu.append(i)
if i % 6 == 1:
cnt_1mod6 += 1
elif i % 6 == 5:
cnt_5mod6 += 1
if cnt_1mod6 == cnt_5mod6:
kinko_sosu.append(i)
if i % merk == 0:
record[i] = str(round(100*(cnt_5mod6 - cnt_1mod6)/cnt_1mod6,3))+'%'
print(kinko_sosu)
print(record)
100%|██████████| 99999995/99999995 [09:58<00:00, 167059.18it/s]
[2, 3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 163, 223, 229]
{5000000: '0.075%', 10000000: '0.057%', 15000000: '0.063%', 20000000: '0.056%',
25000000: '0.027%', 30000000: '0.041%', 35000000: '0.054%', 40000000: '0.038%',
45000000: '0.039%', 50000000: '0.011%', 55000000: '0.028%', 60000000: '0.02%',
65000000: '0.033%', 70000000: '0.033%', 75000000: '0.029%', 80000000: '0.028%',
85000000: '0.021%', 90000000: '0.021%', 95000000: '0.016%'}
>>331
Wolfram先生に聞いたらどうでしょうか？
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=solve+a%5E3-3a%5E2p%2Bp%5E3%3D0+for+p
Wolfram先生に聞いたらどうでしょうか？
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=solve+a%5E3-3a%5E2p%2Bp%5E3%3D0+for+p
>>336
p = (i ((-2 + 2 i sqrt(3))^(2/3) (sqrt(3) + i) - 2 2^(1/3) (sqrt(3) + -i)) a)/(4 (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = ((-2 + 2 i sqrt(3) + 2^(1/3) (-1 - i sqrt(3)) (-1 + i sqrt(3))^(2/3)) a)/(2 2^(2/3) (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = (1/(1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3) + (1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3)) a
と表示されたので実数解なし？
p = (i ((-2 + 2 i sqrt(3))^(2/3) (sqrt(3) + i) - 2 2^(1/3) (sqrt(3) + -i)) a)/(4 (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = ((-2 + 2 i sqrt(3) + 2^(1/3) (-1 - i sqrt(3)) (-1 + i sqrt(3))^(2/3)) a)/(2 2^(2/3) (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = (1/(1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3) + (1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3)) a
と表示されたので実数解なし？
実数係数の1変数3次方程式は少なくとも一つは実数解を持つことを示せ。
y = x^3-3*a^2*x+a^3
dy/dx = 3*x^2 -3*a^2 = 3(x+a)(x-a)
-Inf -a a Inf
増加 0 減少 0 増加
実数解が3個ありそう。
dy/dx = 3*x^2 -3*a^2 = 3(x+a)(x-a)
-Inf -a a Inf
増加 0 減少 0 増加
実数解が3個ありそう。
f(p)=p^3-3a^2p+a^3
は
f(0)=a^3>0
f(a)=-a^3<0
極値は±a
だから
0<p<aの範囲内では実数解を1つ必ず含む
その解をβとしたとき
p=β、q=a+β
が題意を満たす唯一の場合
でいいのでは？
は
f(0)=a^3>0
f(a)=-a^3<0
極値は±a
だから
0<p<aの範囲内では実数解を1つ必ず含む
その解をβとしたとき
p=β、q=a+β
が題意を満たす唯一の場合
でいいのでは？
x→∞とx→-∞で符号が変わる
中間値の定理から根をもつ、終了
中間値の定理から根をもつ、終了
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
>>346
解が1つしかないというのは確認しておくべきかと思いました
それとu^3,v^3に対してu,vは一般には1の3乗根1,ω,ω^2分不定性がありますが、そのうちどれが正しく0<p<aの解を与えるかってすぐ分かりますか？
解が1つしかないというのは確認しておくべきかと思いました
それとu^3,v^3に対してu,vは一般には1の3乗根1,ω,ω^2分不定性がありますが、そのうちどれが正しく0<p<aの解を与えるかってすぐ分かりますか？
>>341
x＝x^2+t^2
α=1/2 (1 - sqrt(1 - 4 t^2))
β=1/2 (1 + sqrt(1 - 4 t^2))
t=[-1/2,1/2]
β-α=sqrt(1-4*t^2)
f=function(x) (sqrt(1-4*x^2))^3/6
数値積分して
integrate(f, -1/2,1/2)$value
> integrate(f, -1/2,1/2)$value
[1] 0.09817476
> pi/32
[1] 0.09817477
なのであってる。
x＝x^2+t^2
α=1/2 (1 - sqrt(1 - 4 t^2))
β=1/2 (1 + sqrt(1 - 4 t^2))
t=[-1/2,1/2]
β-α=sqrt(1-4*t^2)
f=function(x) (sqrt(1-4*x^2))^3/6
数値積分して
integrate(f, -1/2,1/2)$value
> integrate(f, -1/2,1/2)$value
[1] 0.09817476
> pi/32
[1] 0.09817477
なのであってる。
d2(X,Y)=min{d(X,Y), d(X,P)+d(Q,Y), d(X,Q)+d(P,Y)}
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
そ、そうなの？
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
dの定義は
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
d(x,y)=d(y,x)だった
一般的な距離関数か
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
あなるほどX=P,Y=Qと置けば矛盾してるってことですか？
ところで、もしかして擬距離にはなるとか？
非負性書き忘れました
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
>>363
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
>>363
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
>>328
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
なるほど！
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
地上51階建ての超高層ビルの1階にある1つのエレベーターの昇りに50人の乗客が乗っている。
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
一般に3次式は
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
上リーマン積分をinfU(f,P)になるようにU(f,P)を定義すると、［a,b］の分割Pとa≦x≦bで［a,x］の分割P*に対して、U(f,P)≧U(f,P*)としてもいいのでしょうか？
>>366
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
>>374
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
>>363
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
http://www5a.biglobe.ne.jp/~t-konno/math/tokyo/1983_tokyo_rz_6.pdf
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
http://www5a.biglobe.ne.jp/~t-konno/math/tokyo/1983_tokyo_rz_6.pdf
放物線回転体でなくて半球面の容器だったら何度傾けたら半分が流出するんだろうな？
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
なんでn次元球の体積にガンマ関数出てくるの？？
まあガウス積分から出ると言えばそれまでなんだけど、何か不思議な感じはする
何か他の説明もあるかもね
何か他の説明もあるかもね
ガンマ関数のせいでπのべきが2次元ごとに上がる仕組みになるけど、これの幾何学的な見方あるのか気になるわ
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
>>371
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
>>373
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
R^2 の部分集合A;B を
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
n次元ガウス積分を球殻の積分に変換して、n次元球殻の式を求めて、 n次元球体積 を計算。
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れる理由に思い悩むこともない。
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れる理由に思い悩むこともない。
>>385
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
>>385
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
加法群Qから加法群Zへの準同型をすべて求めよ。
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
>>389
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
前>>390
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
15-20°らへんで大丈夫。
レベルが低くて申し訳ありません。
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
>>395
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
>>392
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
交換云々は考える必要が無く、12枚引けると考えていい
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
>>395
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
>>403（バグ修正）
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
皆様方ご丁寧にありがとうございます。
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
最初の10枚にレアカードがあったのに交換で失ってしまう可能性があるから、確率は12/25より小さくなる気がするのでシミュレーションの方が正解に近い気がする。
レアカードを故意に破棄ってのは選ばない前提なんじゃないのか
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
>>409
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
カードは裏返したまま（レアカードかどうかは確認できない）で交換とすると２枚になると場合分けが面倒だな。
混乱させてしまっているので後出しで申し訳ありませんが追記します。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
>>411
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
>>386
>∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1}
これがβ関数で表せるからそこからΓ関数に繋がるってこと？
式の上からはそれに過ぎないんだろうけど･･･・
>∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1}
これがβ関数で表せるからそこからΓ関数に繋がるってこと？
式の上からはそれに過ぎないんだろうけど･･･・
オレが勉強した教科書の証明は
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
>>386
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
>>383
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
20度ちょいくらいだろ
多分、有名角ではない
多分、有名角ではない
計算してみたら
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
つまり昨日全く別の問題に出てきてた0<p<aの
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
>>422
これをRを使って数値重積分して計算
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
これをRを使って数値重積分して計算
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
>>422
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
前>>425
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
3次方程式: x^3 - αx + β = 0 の解について
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
n = 0, 1, 2, … に対し、数列 s_n を中心二項係数 C[2k,k] の 0 から n までの和
s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k]
によって定める。
例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, …
s_n が素数となる n を小さい順に並べると、
1, 3, 12, 39, 90, …
である。
(1) s_n は常に奇数であることを示せ。
(2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。
(3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k]
によって定める。
例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, …
s_n が素数となる n を小さい順に並べると、
1, 3, 12, 39, 90, …
である。
(1) s_n は常に奇数であることを示せ。
(2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。
(3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
よくある継ぎ足しのタレの問題なのですが
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
いつ補充するかをわざとぼかすのもよくあるパターン
(4.7/5.7)^n=0.05
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
>>437
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
最初の式を両辺のlogをとって変形しているだけ
複素解析の部分分数分解で
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
https://imgur.com/gallery/NSuiGaN
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
https://imgur.com/gallery/NSuiGaN
>>431
レスありがとうございます。
>422は>423の
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
レスありがとうございます。
>422は>423の
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
>>433
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
>>422
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満たしたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？
蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満たしたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？
蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ
>>434
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
>>444
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
x(0) = 100, x' = x/20 から x = 100 exp(t/20) なので exp(t/20) = 1/2 となる t
π＝180度 だから 1ラジアン＝π／１８０度
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
△ABCが与えられたとき、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとり、それらを結ぶと正三角形（△PQR）となるようにしたい。
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
なんの話をしてるの?
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
>>453
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平行な直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る
これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平行な直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る
これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
>>453
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
単なる遊びです。
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
単なる遊びです。
>>440
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
>>443
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
まあ
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
証明は
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
前>>449
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
次の連立方程式を解け。
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
lim(x→0,y→0)の極限値
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
>>466
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
こういう巡回型の式でx<y<zなる実数解は持たない、って一般に言えたりするんかな
いや、うまく関数形とればありうるか
例えば
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
どうせ出すならこういう引っ掛けがある方が面白いな
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
もしよろしければ極座標変換での導出も教えていただきたいです…
一般に、
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
>>478
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
>>476
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
>>477
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
>>481
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
>>462
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
>>483
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
h=1/2の盃とすると
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
x = y = z,
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
>>491
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
>>473-474
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
X1, X2, · · · , Xn を独立で同分布な確率変数とする
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
>>489
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
大体3.14でよし。
>>496
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
こんにちは
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
>>492 その先も検算してみてよ。
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413099107351
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=1.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 20.322037016506141867920614451404025971
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=2.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 90.000000000000000000000000000000000000
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので
計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413099107351
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=1.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 20.322037016506141867920614451404025971
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=2.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 90.000000000000000000000000000000000000
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので
計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
表記が反映されなかった問題もあるので、それはお許しいただきたいです
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
大体5分12秒でよし。
加法群Qの自己同型群は何か。
誰か教えて
誰か教えて
R←Sの恒等射でよし。
RrS=Qとする。
アーベル群。
彼はほもです。
>>497
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
丸投げというか、適当な回答が分からなかったので…
気分を害してしまったのならごめんなさい
気分を害してしまったのならごめんなさい
>>512
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
自分の回答がなく、解説もないため、あっているか不安になっただけです。
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
ある3次方程式の実数解がcos(nπ/m)の多項式として表され、かつその解が立方根を使わなければ表せないとき、分母のmは9が最大なのでしょうか。
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
荒らし。
答えなくていい。
係数は整数だとして、それが解になるのは限定的、例外的なんじゃ?
たぶん11はない気がするが ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
たぶん11はない気がするが ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
前>
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
・円周率 π ← こいつは径と周の長さの比について、
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。
・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？
例えば、素数定理
n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近する
↑ 素数の分布の話をしてるのに、
何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。
・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？
例えば、素数定理
n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近する
↑ 素数の分布の話をしてるのに、
何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
性懲りもなくこんな問題を考えてみた。
ワイングラスの曲線が正弦波 y=sin(x) のときに何度傾ければ半分のワインが残るか？
ワイングラスの曲線が正弦波 y=sin(x) のときに何度傾ければ半分のワインが残るか？
荒らし。
>>527
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
ここにいる人達は皆数学科？
私は物理ですが
私は物理ですが
>>494
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
数列{a[n]}=(1+1/n)^n、a[n]を10進法表記した桁数をb[n]とする。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
>>531
Wolfram先生によると
1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))
0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
Wolfram先生によると
1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))
0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
>>538
今やネット上だとこういうのも可能らしいね。
https://www.appps.jp/334075/
今やネット上だとこういうのも可能らしいね。
https://www.appps.jp/334075/
>>537
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
y = 1/x, y = √(1+x^2), y = √(x^2-1)はどれもそのグラフは双曲線の一部です。
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
あるいは>>546のグラフがどれも双曲線の一部になっているということを利用して計算が簡単になったりとかいうことはありますか？
>>546
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
>>547
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
>>541
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
>>495
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
2×2の正方行列Aが逆行列を持たないとき、AB=[1+ε ε][0 1]となる2×2の正方行列Bが存在することを示せ。
>>518
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
>>554
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
>>555
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
間違えた
cosの多項式と書いてあった
cosの多項式と書いてあった
>>557
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
失礼 π＝180度 だから
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
>>555
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
f(n), g(n)を自然数の集合から正の実数の集合への関数とし、
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
>>528
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
これをx,y,X,Yについてそれぞれ解きたいんですけど、なんか綺麗な方法ありますかね？
φ(m)が3の倍数のとき
eg m=18,19,26,27,‥‥
eg m=18,19,26,27,‥‥
前>>569
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
自分では分からないのでお願いします。
http://imepic.jp/20200723/458270
http://imepic.jp/20200723/458270
>>564
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
>>571
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
>>549
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
>>528
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)}
■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)])
・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) }
= asin(x) -∫dx √(1-xx)
・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx)
= x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx)
= 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x)
・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx)
=2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) )
・R=acos(y), q=....
・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分}
■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ)
・∫dy acosy^2
= y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi
・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a))
参考(作図アプリ:Geogebra)
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)}
■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)])
・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) }
= asin(x) -∫dx √(1-xx)
・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx)
= x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx)
= 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x)
・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx)
=2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) )
・R=acos(y), q=....
・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分}
■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ)
・∫dy acosy^2
= y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi
・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a))
参考(作図アプリ:Geogebra)
>>576
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
>>576
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
>>577 (追加)
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考:
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考:
√37をオイラー・ペル方程式とテイラー展開を使って小数第6位まで求めろって問題を出されたんだけど、ぶっちゃけこれどうやって求めればいい？
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
うーん
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
>>579
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
882/145は約6(10^1オーダー)
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
小学生のうちに覚えさせておきたい数字、
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
( ^～^) …
S[n] = Σ[k=1,n] k^m とする。
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
>>592
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
>>593
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
>>595
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
>>587
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
>>594
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
ここじゃなくて、ペルに聞いて来いやぁあ？
>>581
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
>>601 (補題)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
ああ、そういうことか
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、って話か
てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、って話か
てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
ある飲食店に人が来るまでの時間をX(時間)とし、パラメータ5の指数分布に従うとする(パラメータ5の意味は、来るまでの時間の期待値は1/5=12分)
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
サイコロを投げることを繰り返す。XkはK回目に6の目が出たら1、それ以外の目が出たら0とする。
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
>>606
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
>>606
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
大数の強法則を誰か例に例えながら教えてくれ
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
大数を読みましょう^^
大学への数学！？？
た い す う
たいすう ってあれだろ、
丸太じゃない方のLog
丸太じゃない方のLog
(t^2-1)^(r-1/2)=煤mm=0~∞ ］｛ Γ(1/2-r+m)・t^(2r-1-2m)・1/m！・1/Γ(1/2-r)｝
この式の導出過程が知りたいです
この式の導出過程が知りたいです
シグマ記号が消えてますがm=0~∞のSUMです
>>617
|t| > 1 ならガンマ関数の関数等式 Γ(z+1) = zΓ(z) と二項級数を使えば何とかなりそう
|t| > 1 ならガンマ関数の関数等式 Γ(z+1) = zΓ(z) と二項級数を使えば何とかなりそう
>>617
f(x) := (1-x)^(r-1/2)
{d/dx}^m f(x)
= (r-1/2)(r-1/2 -1)...(r-1/2 -(m-1)) * (-1)^m * (1-x)^(r-1/2 -m)
= (m-1 +1/2 -r)...(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
= Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
よって テーラー展開 により
|x|＜1 の時
f(x) = Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * x^m
|t|＞1 の時
(tt-1)^(r-1/2) = t^(2r-1) * (1-1/tt)^(r-1/2) = t^(r-1/2) * f(1/tt)
= Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * t^(2r-1 -2m)
f(x) := (1-x)^(r-1/2)
{d/dx}^m f(x)
= (r-1/2)(r-1/2 -1)...(r-1/2 -(m-1)) * (-1)^m * (1-x)^(r-1/2 -m)
= (m-1 +1/2 -r)...(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
= Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
よって テーラー展開 により
|x|＜1 の時
f(x) = Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * x^m
|t|＞1 の時
(tt-1)^(r-1/2) = t^(2r-1) * (1-1/tt)^(r-1/2) = t^(r-1/2) * f(1/tt)
= Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * t^(2r-1 -2m)
大数ってあれだろ、
無量大数 (10^68)
(注)
これぐらいの大きさになると、
大数の法則がほぼ完全に成り立つ
ってワケでもねゑが････
無量大数 (10^68)
(注)
これぐらいの大きさになると、
大数の法則がほぼ完全に成り立つ
ってワケでもねゑが････
ゲームの経験値テーブルなんですが、
どういう法則なのか全然分かりません。。
12,21,35,58,91,139,204,290,400,539,709,914,1158,1446,1780,2166,2607,3108,3674,4308,…,an,…
単純な階差数列というわけではないようですが、
anは求められるのでしょうか。
どういう法則なのか全然分かりません。。
12,21,35,58,91,139,204,290,400,539,709,914,1158,1446,1780,2166,2607,3108,3674,4308,…,an,…
単純な階差数列というわけではないようですが、
anは求められるのでしょうか。
数列クイズに正解なし
マジレスすると、ゲームの経験値とかなら高々有限列だから、
あえて増加量が規則的にならないように決めている可能性もある
直前の経験値からの増加量の下限と上限を決めておいて、
その間の乱数を使って増やすとかね
高々有限列ならあらかじめ全部計算しておけばいいし
あえて増加量が規則的にならないように決めている可能性もある
直前の経験値からの増加量の下限と上限を決めておいて、
その間の乱数を使って増やすとかね
高々有限列ならあらかじめ全部計算しておけばいいし
お願いします
ストーンの定理を使うことはわかるのですがどう適用したらいいか
Levy の反転公式っぽい
>>588
返信遅くなりすいません。
当方かなり数学が苦手で、ヒントをもとに考えてみましたが、やり方がいまいち分からず、解けませんでした。お手数おかけしますが、途中式を書いてもらえないでしょうか？
返信遅くなりすいません。
当方かなり数学が苦手で、ヒントをもとに考えてみましたが、やり方がいまいち分からず、解けませんでした。お手数おかけしますが、途中式を書いてもらえないでしょうか？
前>>619
>>528
ワインの水面の端がx=t(π/2＜t＜3π/2)のとき水面y=sintの面積はπ(3π-t)^2
ワイン満杯V=∫[t=-1→1]π(3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2t^3/3](π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/16)π
=(54-2+18-27)π^4/48
=43π^4/48
ワイングラスをθ°左に傾けたとき半分こぼれて半分残ったとすると、
残ったワインV/2=43π^4/96
ワインの左端(s,sins)
ワインの水面y=(x-s)coss+sins
ワインの水面と軸との交点(u,0)
ワインの右端(v,sinv)
欠円を足し集めるんじゃないかと――。
>>528
ワインの水面の端がx=t(π/2＜t＜3π/2)のとき水面y=sintの面積はπ(3π-t)^2
ワイン満杯V=∫[t=-1→1]π(3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2t^3/3](π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/16)π
=(54-2+18-27)π^4/48
=43π^4/48
ワイングラスをθ°左に傾けたとき半分こぼれて半分残ったとすると、
残ったワインV/2=43π^4/96
ワインの左端(s,sins)
ワインの水面y=(x-s)coss+sins
ワインの水面と軸との交点(u,0)
ワインの右端(v,sinv)
欠円を足し集めるんじゃないかと――。
>>625
ありがとうございます。
たしかに規則的でない可能性もありますね。式が一つでない可能性もありますしね。。
ただ、レベルが何千とか何万の桁まであって、経験値が何万とか何億とかのけたまであるので、
ある程度式に当てはめた方が労力も少なくなるとは思うので何か法則があるのかなと考えていました。
中華製のブラウザゲームなので何考えてるかわかりませんが
ありがとうございます。
たしかに規則的でない可能性もありますね。式が一つでない可能性もありますしね。。
ただ、レベルが何千とか何万の桁まであって、経験値が何万とか何億とかのけたまであるので、
ある程度式に当てはめた方が労力も少なくなるとは思うので何か法則があるのかなと考えていました。
中華製のブラウザゲームなので何考えてるかわかりませんが
xy平面の各格子点上に電球が置いてあり、時刻t=0に原点Oに置かれた電球が初めて点灯した。
各電球は以下の性質を持つ。
「隣接する電球が時刻t=m-1に初めて点灯したとき、時刻t=mに確率pで点灯する。」
以下の問いに答えよ。
（1）点(2,0)に置かれた電球をDとする。電球Dが初めて点灯する時刻として考えられるものを全て述べよ。必要があれば自然数nなどの文字を用いよ。
（2）Dが点灯する確率をpで表せ（どの時刻に点灯するかは問わない）。
各電球は以下の性質を持つ。
「隣接する電球が時刻t=m-1に初めて点灯したとき、時刻t=mに確率pで点灯する。」
以下の問いに答えよ。
（1）点(2,0)に置かれた電球をDとする。電球Dが初めて点灯する時刻として考えられるものを全て述べよ。必要があれば自然数nなどの文字を用いよ。
（2）Dが点灯する確率をpで表せ（どの時刻に点灯するかは問わない）。
>>635
典型的な悪問って感じ
「隣接する電球」の定義が与えられていないから、解答者の解釈によって答えが変わるよね
例えば、点 (1, 1) は原点 O と隣接するのかしないのかさえわからない
「初めて点灯したとき」の確率しか与えられていないから、
隣接する電球が全て点灯したあとに点灯していなければ二度と点灯しないのか、それとも毎時刻確率 p で点灯するのか
数学の問題とは思えない
典型的な悪問って感じ
「隣接する電球」の定義が与えられていないから、解答者の解釈によって答えが変わるよね
例えば、点 (1, 1) は原点 O と隣接するのかしないのかさえわからない
「初めて点灯したとき」の確率しか与えられていないから、
隣接する電球が全て点灯したあとに点灯していなければ二度と点灯しないのか、それとも毎時刻確率 p で点灯するのか
数学の問題とは思えない
(2)のΣ1/n^(3/2)は収束するというのはどのように証明すればいいんでしょうか？
>>635
「隣接」を「距離1の格子点」とするなら(1)はすべての偶数秒。(2)は経路が多すぎてなんとも。
「隣接」を「距離1の格子点」とするなら(1)はすべての偶数秒。(2)は経路が多すぎてなんとも。
>>637
rを1より大きい定数とする。この問題の場合はr=3/2
n≦x≦n+1 のとき 1/(n+1)^r≦1/x^r
この両辺を区間[n~n+1]で積分して
Σ[n=1~k-1]で和をとって
両辺に1を加えて
k→∞ で極限をとれば上に有界は示せる。
上に有界で単調増加だから収束。
rを1より大きい定数とする。この問題の場合はr=3/2
n≦x≦n+1 のとき 1/(n+1)^r≦1/x^r
この両辺を区間[n~n+1]で積分して
Σ[n=1~k-1]で和をとって
両辺に1を加えて
k→∞ で極限をとれば上に有界は示せる。
上に有界で単調増加だから収束。
nは2以上の自然数、また S[a,n] = Σ[k=1,n] k^a と定める。
（1）nに関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つような自然数の組(a,b)は(3,1)のみであることを示せ。
（2）（1）においてa,bを正の有理数とした場合、(a,b)=(3,1)以外に条件を満たすものは存在するか。
（1）nに関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つような自然数の組(a,b)は(3,1)のみであることを示せ。
（2）（1）においてa,bを正の有理数とした場合、(a,b)=(3,1)以外に条件を満たすものは存在するか。
前>>630訂正。
>>528
ワイングラス満杯V=∫[t=π/2→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/8)π
=(27-1+9-27)π^4/24
=π^4/3
残ったワインはV/2=π^4/6
今仮に傾けたワインの水面がx=π/2から2πまで存在するとすると、
x軸より下にあるワインはV.= ∫[t=π→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/3+3π^3/2-9π^3/4)π
=(27-8+36-54)π^4/24
=π^4/24
x軸より上にあるワインはV`=π^4/6-π^4/24
=3π^4/24
=π^4/8
ワイングラスを傾けず正対させたとき、
x軸より上のワインはπ^4/3-π^4/24=7π^4/24
つまりワイングラスの中のワインが入ってない空間の体積は、
7π^4/24-π^4/8=6π^4/24=π^4/6
tanθ=1/(3π/2)=2/3π=0.21220659078……
tan11°=0.19438030913……
tan12°=0.21255656167……
ワインが半分残せるθは11°となるが、水面とワイングラスとの接点をx=π/2とした近似値である。
>>528
ワイングラス満杯V=∫[t=π/2→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/8)π
=(27-1+9-27)π^4/24
=π^4/3
残ったワインはV/2=π^4/6
今仮に傾けたワインの水面がx=π/2から2πまで存在するとすると、
x軸より下にあるワインはV.= ∫[t=π→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/3+3π^3/2-9π^3/4)π
=(27-8+36-54)π^4/24
=π^4/24
x軸より上にあるワインはV`=π^4/6-π^4/24
=3π^4/24
=π^4/8
ワイングラスを傾けず正対させたとき、
x軸より上のワインはπ^4/3-π^4/24=7π^4/24
つまりワイングラスの中のワインが入ってない空間の体積は、
7π^4/24-π^4/8=6π^4/24=π^4/6
tanθ=1/(3π/2)=2/3π=0.21220659078……
tan11°=0.19438030913……
tan12°=0.21255656167……
ワインが半分残せるθは11°となるが、水面とワイングラスとの接点をx=π/2とした近似値である。
積分使うのが定石だけど
√n-√(n-1)
=(n-(n-1))/(√n+√(n-1))=1/(√n+√(n-1))≧1/(2√n)
を利用して階差を作って
2/√(n-1)-2/√n=2(√n-√(n-1))/√(n-1)n)≧1/√((n-1)n^2)
≧n^(-3/2)
を両辺足し上げて評価する
というのもあるよね～
√n-√(n-1)
=(n-(n-1))/(√n+√(n-1))=1/(√n+√(n-1))≧1/(2√n)
を利用して階差を作って
2/√(n-1)-2/√n=2(√n-√(n-1))/√(n-1)n)≧1/√((n-1)n^2)
≧n^(-3/2)
を両辺足し上げて評価する
というのもあるよね～
>>641
(1)両辺のnの次数を比較するとa+1=2(b+1)であるから、自然数の組は(2b+1,b)の形のものに限られる。
n=2 のとき 1+2^(2b+1)=(1+2^b)^2 。2^b=x とおくと 1+2x^2=(1+x)^2 。これを x>0 で解いて x=2 すなわち b=1
(1)両辺のnの次数を比較するとa+1=2(b+1)であるから、自然数の組は(2b+1,b)の形のものに限られる。
n=2 のとき 1+2^(2b+1)=(1+2^b)^2 。2^b=x とおくと 1+2x^2=(1+x)^2 。これを x>0 で解いて x=2 すなわち b=1
>>624
an=[0.0041218*n^4+0.4517*n^3-0.26*n^2+6.69322*n+5.45]
[x] は x の整数部（1位未満切り捨て）
an=[0.0041218*n^4+0.4517*n^3-0.26*n^2+6.69322*n+5.45]
[x] は x の整数部（1位未満切り捨て）
>>646
ありがとうございます！n=20 まで完璧に合いますね
解法は、エクセルのソルバーで解くとかグラフ機能で近似式とかな感じでしょうか？ご教授いただけたらありがたいです。
というのも実は、n=21以降が、
(,4308),5015,5801,6669,7626,8676,9823,....
となっており、anからの算出結果に対して、少しずつ誤差が出てきてしまいます。
ちなみに、
n=650が約265.7億、
n=651が約269.4億、
n=652が約273.2億、
n=653が約277.0億、
.
.
n=700が約527.6億、
n=701が約527.6億
.
n=900が約7494.2億、
n=901が約7592.2億、
です。
ありがとうございます！n=20 まで完璧に合いますね
解法は、エクセルのソルバーで解くとかグラフ機能で近似式とかな感じでしょうか？ご教授いただけたらありがたいです。
というのも実は、n=21以降が、
(,4308),5015,5801,6669,7626,8676,9823,....
となっており、anからの算出結果に対して、少しずつ誤差が出てきてしまいます。
ちなみに、
n=650が約265.7億、
n=651が約269.4億、
n=652が約273.2億、
n=653が約277.0億、
.
.
n=700が約527.6億、
n=701が約527.6億
.
n=900が約7494.2億、
n=901が約7592.2億、
です。
>>641
(2)が難しい
(a, b) = (3, 1) のときはファウルハーバーの公式より成り立つ。
もし n に関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つなら、 n = 2 でも成り立つので
S[a,2] = {S[b,2]}^2 すなわち
1 + 2^a = (1 + 2^b)^2
が成り立つ。ここで a = b + c と置くと、
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
が成り立つことがわかる。よって c > 1 である。
このとき、 (b, c) を自然数の組に限定すると、左辺は偶数であるので b = 1 でなければならない。
ゆえに (b, c) = (1, 2) すなわち (a, b) = (3, 1) となるので(1)が成り立つ。
(2)も同様に示せないだろうか？
つまり、もしも方程式
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
の正の有理数解が (b, c) = (1, 2) の他には存在しないならば、
(1)の条件を満たす正の有理数の組は (a, b) = (3, 1) に限られることがわかる。
例えば、上の方程式が成り立つなら log_{2}(2^(c-1) - 1) も有理数となるが、
そのような c は 2 以外に存在するだろうか？
(2)が難しい
(a, b) = (3, 1) のときはファウルハーバーの公式より成り立つ。
もし n に関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つなら、 n = 2 でも成り立つので
S[a,2] = {S[b,2]}^2 すなわち
1 + 2^a = (1 + 2^b)^2
が成り立つ。ここで a = b + c と置くと、
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
が成り立つことがわかる。よって c > 1 である。
このとき、 (b, c) を自然数の組に限定すると、左辺は偶数であるので b = 1 でなければならない。
ゆえに (b, c) = (1, 2) すなわち (a, b) = (3, 1) となるので(1)が成り立つ。
(2)も同様に示せないだろうか？
つまり、もしも方程式
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
の正の有理数解が (b, c) = (1, 2) の他には存在しないならば、
(1)の条件を満たす正の有理数の組は (a, b) = (3, 1) に限られることがわかる。
例えば、上の方程式が成り立つなら log_{2}(2^(c-1) - 1) も有理数となるが、
そのような c は 2 以外に存在するだろうか？
>>644
さすが。
その式を n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.671003
でござるか。
また、その式のnを1/2だけ増加すると
2/√(n -1/2) - 2/√(n +1/2)
= 2[√(n +1/2) - √(n -1/2)] /√(nn -1/4)
= 2/{[√(n +1/2) + √(n -1/2)]√(nn -1/4)}
> 2/{[2√n]n} (*)
= 1/n^(3/2),
これを n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.613812････
でござる。
なお ζ(3/2) = Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) = 2.61237535････
*) y=√x は上に凸だから
4n - [√(n +1/2) + √(n -1/2)]^2
= 4n - [2n + 2√(n +1/2)･√(n -1/2)]
= 2n - 2√(n +1/2)･√(n -1/2)
> 0, (AM-GM)
さすが。
その式を n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.671003
でござるか。
また、その式のnを1/2だけ増加すると
2/√(n -1/2) - 2/√(n +1/2)
= 2[√(n +1/2) - √(n -1/2)] /√(nn -1/4)
= 2/{[√(n +1/2) + √(n -1/2)]√(nn -1/4)}
> 2/{[2√n]n} (*)
= 1/n^(3/2),
これを n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.613812････
でござる。
なお ζ(3/2) = Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) = 2.61237535････
*) y=√x は上に凸だから
4n - [√(n +1/2) + √(n -1/2)]^2
= 4n - [2n + 2√(n +1/2)･√(n -1/2)]
= 2n - 2√(n +1/2)･√(n -1/2)
> 0, (AM-GM)
ζ(s) が Re(s) > 1 で絶対収束することって常識じゃなかったのか
>>655
そうなんだけど、あまりにも有名だから個別の解法を考える必要があるのかなと思って
リーマンゼータ関数でググればすぐに出てくるし
解析学のテキストに載っていることも多いし
そうなんだけど、あまりにも有名だから個別の解法を考える必要があるのかなと思って
リーマンゼータ関数でググればすぐに出てくるし
解析学のテキストに載っていることも多いし
>>655
いや、ナンセンスとも限らないな
時には有名な既知の問題であることを教える必要もあるんじゃないか？
何でもかんでも自分の力で証明する必要はないよね
いや、ナンセンスとも限らないな
時には有名な既知の問題であることを教える必要もあるんじゃないか？
何でもかんでも自分の力で証明する必要はないよね
a≠0において定義され、a→0においてg(a)=f(a)/(1-a^2)は収束するがh(a)=f(a)/(1-a)は収束しないような実数値関数f(a)について考察する。
a=0の近傍でh(a)=(1+a)g(a)としてよく、
(1-|a|)|g(a)| < |h(a)| < (1+|a|)|g(a)|
a→0で左辺および右辺は収束するから、|h(a)|は収束する。
したがって考察すべき実数値関数は存在しない。
a=0の近傍でh(a)=(1+a)g(a)としてよく、
(1-|a|)|g(a)| < |h(a)| < (1+|a|)|g(a)|
a→0で左辺および右辺は収束するから、|h(a)|は収束する。
したがって考察すべき実数値関数は存在しない。
>>528
>>650
理論値は wine_full = π*(π² - 4) = 18.4399... となる。詳細は省略。
趣向を変えて モンテカルロ法 で乱数をぶん回してみた ( n=1000000 )
PARI/GPプログラムも省略。10行ちょっとくらいに収まった。
wine(Pi)
= 18.4238...
t = Pi/2 + acos(tan( 9.5126*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4999...
t = Pi/2 + acos(tan( 11*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4486...
11°は傾けすぎである。
n=1000000 には根拠がある。
box = (2*Pi)*(2*Pi)*2; #乱数を振る箱体積
a = wine_full; b = 0.5 * wine_full;
b/a*(sqrt((box-a)/a) + sqrt((box-b)/b) ) / sqrt(n)
= 0.00228...
体積比 b/a の揺れ幅を 少数点以下 2桁未満に抑えたかった。
効率は悪いが元の計算でポカミスしてないかの検算には使える。
>>650
理論値は wine_full = π*(π² - 4) = 18.4399... となる。詳細は省略。
趣向を変えて モンテカルロ法 で乱数をぶん回してみた ( n=1000000 )
PARI/GPプログラムも省略。10行ちょっとくらいに収まった。
wine(Pi)
= 18.4238...
t = Pi/2 + acos(tan( 9.5126*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4999...
t = Pi/2 + acos(tan( 11*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4486...
11°は傾けすぎである。
n=1000000 には根拠がある。
box = (2*Pi)*(2*Pi)*2; #乱数を振る箱体積
a = wine_full; b = 0.5 * wine_full;
b/a*(sqrt((box-a)/a) + sqrt((box-b)/b) ) / sqrt(n)
= 0.00228...
体積比 b/a の揺れ幅を 少数点以下 2桁未満に抑えたかった。
効率は悪いが元の計算でポカミスしてないかの検算には使える。
nを整数とする。n < a < n + 1となるような整数aが存在しないことを示せ。
ただし、自然数の定義は、杉浦解析入門1と同様に定義されているとする。
ただし、自然数の定義は、杉浦解析入門1と同様に定義されているとする。
>>661
正しくは
V = π ∫[t=π/2→3π/2] (3π/2 - t)² (-cos(t)) dt
= ... = π ∫[t=0→π] t² sin(t) dt = ... = π (π² - 4)
っす。
(-cos(t)) のファクターは y=sin(t), δy = |dy/dt| δt に起因。
正しくは
V = π ∫[t=π/2→3π/2] (3π/2 - t)² (-cos(t)) dt
= ... = π ∫[t=0→π] t² sin(t) dt = ... = π (π² - 4)
っす。
(-cos(t)) のファクターは y=sin(t), δy = |dy/dt| δt に起因。
誰か >>590 にマジレス頼む。
現実に 九九 だけだと
明らかに足りないって中学・高校で気づくよな？
17^2 とか 25^2、 29^2
こんなの毎回計算していたら、時間の無駄だし。
現実に 九九 だけだと
明らかに足りないって中学・高校で気づくよな？
17^2 とか 25^2、 29^2
こんなの毎回計算していたら、時間の無駄だし。
整数 と その平方
21 … 441
22 … 484
23 … 529
24 … 576
25 … 625
26 … 676
27 … 729
28 … 784
29 … 841
ちなみに、21~29 はその性質上、
下2桁が同一の形の回文(625 を折返し地点として) になっているから
覚えやすいんだよな。
下2桁は {41,84,29,76} のみ。
21 … 441
22 … 484
23 … 529
24 … 576
25 … 625
26 … 676
27 … 729
28 … 784
29 … 841
ちなみに、21~29 はその性質上、
下2桁が同一の形の回文(625 を折返し地点として) になっているから
覚えやすいんだよな。
下2桁は {41,84,29,76} のみ。
>>662
整数の定義が「自然数およびそれに負号をつけたもの」なら、
自然数の全体 N と整数の全体 Z に対して
N = {n ∊ N | n ≧ 0} と Z - N = {-n | n ∊ N, n > 0} を示して
a > 0, a = 0, a < 0 で場合分けすれば
0 < k < 1 を満たす k ∊ N が存在しないことに帰着される
整数の定義が「自然数およびそれに負号をつけたもの」なら、
自然数の全体 N と整数の全体 Z に対して
N = {n ∊ N | n ≧ 0} と Z - N = {-n | n ∊ N, n > 0} を示して
a > 0, a = 0, a < 0 で場合分けすれば
0 < k < 1 を満たす k ∊ N が存在しないことに帰着される
前>>661
>>663
y=sinxの積分関数が-cosxというのはわかる。
だからといって積分関数π(3π/2-t)^2に掛けていいという話を聞いたことがあっただろうか？
聞いたことあった気もする。けどあった気がするだけで、そんな話はないような気もする。
x=tのときの(t,sint)を左端とする水面の面積π(3π/2-t)^2をt=π/2から3π/2まで足し集めて、
ワイングラス満杯のワインの容積が出るんじゃないの？
1度目は計算間違いだった。
2度目のV=π^4/3は式が違うというのか？
π≦x≦2πの円柱に換算するとπ(π/2)^2×｛1-(-1)｝=π^3/2に比べてワイングラス満杯のワインの容積はだいぶ大きい。
π/2≦x≦πのx軸より上の部分を回転させるとかなりの容積になると思うんだよ。
18ぐらいなのか32ぐらいなのか。
>>663
y=sinxの積分関数が-cosxというのはわかる。
だからといって積分関数π(3π/2-t)^2に掛けていいという話を聞いたことがあっただろうか？
聞いたことあった気もする。けどあった気がするだけで、そんな話はないような気もする。
x=tのときの(t,sint)を左端とする水面の面積π(3π/2-t)^2をt=π/2から3π/2まで足し集めて、
ワイングラス満杯のワインの容積が出るんじゃないの？
1度目は計算間違いだった。
2度目のV=π^4/3は式が違うというのか？
π≦x≦2πの円柱に換算するとπ(π/2)^2×｛1-(-1)｝=π^3/2に比べてワイングラス満杯のワインの容積はだいぶ大きい。
π/2≦x≦πのx軸より上の部分を回転させるとかなりの容積になると思うんだよ。
18ぐらいなのか32ぐらいなのか。
>>660
正弦曲線ワイングラス満杯、
同様に数値積分で18.4399となりましたが、Wolfram先生が定積分の答を返してくれました。
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4)?18.440
正弦曲線ワイングラス満杯、
同様に数値積分で18.4399となりましたが、Wolfram先生が定積分の答を返してくれました。
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4)?18.440
文字化けを訂正
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4) ≒ 18.440
Rのコード
f<- function(x) -cos(x) # == sin(x-pi/2) == -cos(x)
A <- function(x)pi*(pi-acos(x))^2
integrate(A,-1,1)
> integrate(A,-1,1)$value
[1] 18.4399
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4) ≒ 18.440
Rのコード
f<- function(x) -cos(x) # == sin(x-pi/2) == -cos(x)
A <- function(x)pi*(pi-acos(x))^2
integrate(A,-1,1)
> integrate(A,-1,1)$value
[1] 18.4399
>>668
∫[-1,-1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
∫[-1,-1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
>>668 円盤の厚みは t 方向じゃなくて y 方向ですよ。
円盤面積: S(t) = π(3π/2-t)^2 {これはOK}
体積: V = lim Σ[i=1,N] δy S(t) = lim Σ δt (δy/δt) S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt |dy/dt| S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt (-cos(t)) S(t) {負符号が付くのは水面が下がる方向に積分してるから}
円盤面積: S(t) = π(3π/2-t)^2 {これはOK}
体積: V = lim Σ[i=1,N] δy S(t) = lim Σ δt (δy/δt) S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt |dy/dt| S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt (-cos(t)) S(t) {負符号が付くのは水面が下がる方向に積分してるから}
