分からない問題はここに書いてね463
http://2chb.net/r/math/1599810760/
(使用済です: 478)
http://2chb.net/r/math/1599810760/
(使用済です: 478)
＞＞g(x,y)=x^3-3xy+y^3-4。
束縛条件g(x,y)=0のもとでf(x,y)=x+yが極値をとる候補(a,b)を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法使います。分からないので助けていただきたいです、お願いします。
束縛条件g(x,y)=0のもとでf(x,y)=x+yが極値をとる候補(a,b)を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法使います。分からないので助けていただきたいです、お願いします。
log(e^(ax)) -log(e^(x)＋1)=0
のxを求めたいのですが、お願いします。
のxを求めたいのですが、お願いします。
初等関数では無理
多分ランベルトW関数使えばなんとかなりそう
多分ランベルトW関数使えばなんとかなりそう
>>2
f(x,y) = x + y → extremum, with g(x,y) = x^3 - 3xy + y^3 - 4 = 0
L = f - λ g
dL = df - λ dg - g dλ = (1 - 3λ x^2 + 3λ y) dx + (1 + 3λ x - 3λ y^2) dy - g dλ = 0
∴ 1 + 3λ (y - x^2) = 0, 1 + 3λ (x - y^2) = 0
∴ -1/(3λ) = y - x^2 = x - y^2 ∴ (y + x + 1)(y - x) = 0
(y + x + 1)(y - x) = 0 と g(x,y) = 0 を連立させて x, y を求める
f(x,y) = x + y → extremum, with g(x,y) = x^3 - 3xy + y^3 - 4 = 0
L = f - λ g
dL = df - λ dg - g dλ = (1 - 3λ x^2 + 3λ y) dx + (1 + 3λ x - 3λ y^2) dy - g dλ = 0
∴ 1 + 3λ (y - x^2) = 0, 1 + 3λ (x - y^2) = 0
∴ -1/(3λ) = y - x^2 = x - y^2 ∴ (y + x + 1)(y - x) = 0
(y + x + 1)(y - x) = 0 と g(x,y) = 0 を連立させて x, y を求める
g(x,y) = (x+y+1)(xx+yy-xy-x-y+1) - 5
= (x+y+1){(x+y-2)^2 + 3(x-y)^2}/4 - 5,
より
x+y > -1,
x+y+1 = 20/{(x+y-2)^2 + 3(x-y)^2} ≦ 20/(x+y-2)^2,
等号は x=y のとき。
(x+y+1)(x+y-2)^2 - 20 ≦ 0,
(x+y-4){(x+y)^2 + (x+y) + 4} ≦ 0,
{ } >0 だから
x+y-4 ≦ 0,
以上より、
-1 < x+y ≦ 4,
等号は x=y=2 のとき。
= (x+y+1){(x+y-2)^2 + 3(x-y)^2}/4 - 5,
より
x+y > -1,
x+y+1 = 20/{(x+y-2)^2 + 3(x-y)^2} ≦ 20/(x+y-2)^2,
等号は x=y のとき。
(x+y+1)(x+y-2)^2 - 20 ≦ 0,
(x+y-4){(x+y)^2 + (x+y) + 4} ≦ 0,
{ } >0 だから
x+y-4 ≦ 0,
以上より、
-1 < x+y ≦ 4,
等号は x=y=2 のとき。
ラグランジュ乗数法を使うまでもなかったか
https://b.hatena.ne.jp/UhoNiceGuy/%E6%94%BF%E6%B2%BB/
ネトウヨ責任転嫁脳ニホンザルゴキブリ殺せ
ネトウヨ責任転嫁脳ニホンザルゴキブリ殺せ
リーマン多様体でなめらかな関数fとして、なめらかな曲線cについての微分方程式
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)
[前スレ．992]
・上限
y = 1/{x･log(x)^2} は下に凸だから、接線の上にある。
1/{n(log n)^2} < ∫[n-1/2,n+1/2] 1/{x･log(x)^2} dx
= [ -1/log(x) ](n-1/2, n+1/2) (n≧3)
∴ (与式) < 1/{2･log(2)^2} + 1/log(2+1/2)
= 1.04068449050 + 1.09135666794
= 2.13204115844
・近似値 2.109742801237…
・上限
y = 1/{x･log(x)^2} は下に凸だから、接線の上にある。
1/{n(log n)^2} < ∫[n-1/2,n+1/2] 1/{x･log(x)^2} dx
= [ -1/log(x) ](n-1/2, n+1/2) (n≧3)
∴ (与式) < 1/{2･log(2)^2} + 1/log(2+1/2)
= 1.04068449050 + 1.09135666794
= 2.13204115844
・近似値 2.109742801237…
>>10
(与式) = Σ[n：2～∞] 1/{n(log n)^2}
でござる。
y = 1/{x(log x)^2} は下に凸だから、x=n での接線より上側にある。
(与式) = Σ[n：2～∞] 1/{n(log n)^2}
でござる。
y = 1/{x(log x)^2} は下に凸だから、x=n での接線より上側にある。
(n=1~∞)(-1)^n{(2+(-1)^n)/n}が発散することをしめせ
交項級数ってS=(-1)^n-1 anで①a1≧ a2… an>0かつ②lim(n→∞)an=0の時に収束しますが、①や②を満たさない場合は絶対発散になってしまうのですか？①、②を満たさなくても収束することってありえるのですか？
そもそも公項級数なんて言葉あるの初めて知った
何コレ？
プラスマイナスが順番に出てくるとか？
何コレ？
プラスマイナスが順番に出てくるとか？
位相の初歩的な問題です．
問題(b)と(c)の解答があっているかどうかチェックをお願いします．
リーマン多様体でなめらかな関数fとして、なめらかな曲線cについての微分方程式
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)
>>22
1:そもそも級数Σa_nが収束するならa_n=S_n-S_[n-1]→0が成り立つ(S_nは部分和)
2:有限個のa_nが単調じゃなくても収束はするでそ
1:そもそも級数Σa_nが収束するならa_n=S_n-S_[n-1]→0が成り立つ(S_nは部分和)
2:有限個のa_nが単調じゃなくても収束はするでそ
>>14
そもそも①,②を満たしても収束とは限らん
例：n = 2m の偶数項が 2/m, n = 2m+1 の奇数項が -1/m
そもそも①,②を満たしても収束とは限らん
例：n = 2m の偶数項が 2/m, n = 2m+1 の奇数項が -1/m
a_1, …, a_n, b_1, …, b_n ∈ R, a_1 ≦ b_1, …, a_n ≦ b_nとする．
P := {(x_1, …, x_n) ∈ R^n | x_i ≦ a_i or b_i ≦ x_i for some i ∈ {1, …, n}}とする．
Pの内部を求めよ．
P := {(x_1, …, x_n) ∈ R^n | x_i ≦ a_i or b_i ≦ x_i for some i ∈ {1, …, n}}とする．
Pの内部を求めよ．
以下の漸化式で定義される数列{a[n]}を考える。
a[1]=a, a[2]=b
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
3以上の任意の自然数mに対して、
a[m]=p^m+q^m
となるような有理数p,qが存在するように、初期値である複素数a,bを定めたい。
a,bが満たすべき条件を求めよ。
a[1]=a, a[2]=b
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
3以上の任意の自然数mに対して、
a[m]=p^m+q^m
となるような有理数p,qが存在するように、初期値である複素数a,bを定めたい。
a,bが満たすべき条件を求めよ。
>>27
おおっと、全部が正と空目してた！
2/m^2 と -1/m^2 にすれば①,②を満たさず収束する例になるな
おおっと、全部が正と空目してた！
2/m^2 と -1/m^2 にすれば①,②を満たさず収束する例になるな
x^2-x-1=9の2解u,vを用いて
an=su^n+tv^nと表さられる
∴解なし
an=su^n+tv^nと表さられる
∴解なし
>>32
(a)については結局の所，すべて「明らか」で済ませていますが，もっと詳しく書かないと減点されますか？
(a)については結局の所，すべて「明らか」で済ませていますが，もっと詳しく書かないと減点されますか？
選挙で投票できる有権者数（左）に対して実際の集計された投票数（右）黄色マーカー
何か法則ある？
https://pbs.twimg.com/media/EmLmwvRUYAAdafR?format=jpg&name=large
何か法則ある？
https://pbs.twimg.com/media/EmLmwvRUYAAdafR?format=jpg&name=large
>>30
1,2を満たすとする
a[n]-a[n+1]≧0より、偶数番目の部分和
S[2n]=(a[1]-a[2])+…+(a[2n-1]-a[2n])
の列は単調増加
また、括弧を付け替えると
S[2n]=a[1]-(a[2]-a[3])-…-(a[2n-2]-a[2n-1])-a[2n]≦a[1]
となり上に有界、したがってS[2n]は収束する
S[2n]→sとすると、十分大きいnをとれば
|S[2n+1]-s|≦|S[2n]-s|+|a[2n+1]|<ε
したがって奇数番目の部分和S[2n+1]もsに収束する
よって級数は収束する
以上
1,2を満たすとする
a[n]-a[n+1]≧0より、偶数番目の部分和
S[2n]=(a[1]-a[2])+…+(a[2n-1]-a[2n])
の列は単調増加
また、括弧を付け替えると
S[2n]=a[1]-(a[2]-a[3])-…-(a[2n-2]-a[2n-1])-a[2n]≦a[1]
となり上に有界、したがってS[2n]は収束する
S[2n]→sとすると、十分大きいnをとれば
|S[2n+1]-s|≦|S[2n]-s|+|a[2n+1]|<ε
したがって奇数番目の部分和S[2n+1]もsに収束する
よって級数は収束する
以上
13つてただの収束列と発散列の和でしかないけど
>>13
n=2m-1 と n=2m をまとめて
Σ(n=1～2M) (-1)^n {(2+(-1)^n)/n}
= Σ(m=1～M) {-1/(2m-1) + 3/(2m)}
= Σ(m=1～M) (4m-3)/{(2m-1)2m}
> Σ(m=1～M) 1/(m+1)
> Σ(m=1～M) log(1 + 1/(m+1))
= Σ(m=1～M) log(m+2) - log(m+1)
= log(M+2) - log(2),
これは2M番目までの部分和である。
2M+1番目を１つ追加しても O(1/M) しか変わらず、同様に振るまう。
故に発散する。
n=2m-1 と n=2m をまとめて
Σ(n=1～2M) (-1)^n {(2+(-1)^n)/n}
= Σ(m=1～M) {-1/(2m-1) + 3/(2m)}
= Σ(m=1～M) (4m-3)/{(2m-1)2m}
> Σ(m=1～M) 1/(m+1)
> Σ(m=1～M) log(1 + 1/(m+1))
= Σ(m=1～M) log(m+2) - log(m+1)
= log(M+2) - log(2),
これは2M番目までの部分和である。
2M+1番目を１つ追加しても O(1/M) しか変わらず、同様に振るまう。
故に発散する。
>>10
Sup = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + ∫[N+1/2, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/log(N+1/2), ← 接線で近似
Inf = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + ∫[N+1, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + 1/log(N+1), ← 割線で近似
放物線近似（シンプソンの1/3公式) では
近似値 = (2･Sup + Inf)/3 = 2.109742801236890
Sup = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + ∫[N+1/2, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/log(N+1/2), ← 接線で近似
Inf = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + ∫[N+1, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + 1/log(N+1), ← 割線で近似
放物線近似（シンプソンの1/3公式) では
近似値 = (2･Sup + Inf)/3 = 2.109742801236890
数学自体の質問でなくてすみません。
word で留数
Res[z=a]f(z)
を表記するとき z=a をResの下に持ってくるにはどうしたらいいですか？
word で留数
Res[z=a]f(z)
を表記するとき z=a をResの下に持ってくるにはどうしたらいいですか？
行列記号を使うことにしました。
Res[f(z);z=a]でええやン
>>34
分からないけど隠れた数字があるんじゃないの
普通に考えたら登録者数を出した日付より得票数を出した日付の方がずっと後なんだと思うけど
要はデータが少なすぎて何も言えないということ
分からないけど隠れた数字があるんじゃないの
普通に考えたら登録者数を出した日付より得票数を出した日付の方がずっと後なんだと思うけど
要はデータが少なすぎて何も言えないということ
Cをn次正方行列とする．Cのすべての固有値の絶対値が1より小さければ，I_n - Cは正則であることを示せ．
>>46
この命題の証明で，E-Cが正則であることは証明すべきことであるにもかかわらず，著者は仮定によって正則であるなどと書いているため，質問しました．
この命題の証明で，E-Cが正則であることは証明すべきことであるにもかかわらず，著者は仮定によって正則であるなどと書いているため，質問しました．
どなたかこの式の証明できますでしょうか
期待値の計算で出てきた式をwolframに入れたのが右辺なのですが過程がさっぱりわかりません...
期待値の計算で出てきた式をwolframに入れたのが右辺なのですが過程がさっぱりわかりません...
>>48
Σ_{k = 0 ~ n} k(k - 1) nCk θ^k (1 - θ)^(n - k)
= Σ_{k = 2 ~ n} n!/((k - 2)!(n - k)!) θ^k (1 - θ)^(n - k)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)!/(j!(n - 2 - j)!) θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)Cj θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 (θ + (1 - θ))^ (n - 2) = n(n - 1) θ^2
Σ_{k = 0 ~ n} k(k - 1) nCk θ^k (1 - θ)^(n - k)
= Σ_{k = 2 ~ n} n!/((k - 2)!(n - k)!) θ^k (1 - θ)^(n - k)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)!/(j!(n - 2 - j)!) θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)Cj θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 (θ + (1 - θ))^ (n - 2) = n(n - 1) θ^2
>>50
二項定理そうやって使えばよかったんですね～全然思いつかなかった
ご回答ありがとうございました！
二項定理そうやって使えばよかったんですね～全然思いつかなかった
ご回答ありがとうございました！
>>47
たとえば Cをジョルダン標準形にすれば一発で終わる.
P^(-1)CP =Q (上三角行列) なる正則行列Pが取れるから
P^(-1)(E - C)P = E - Q (上三角行列)
三角行列は対角成分上にすべての固有値が出現することに注意する
CとQは相似だから Qの対角成分上にCの固有値がすべてでてくる.
よって E-Qの対角成分はすべて0でないことがいえるので
E-Qは0を固有値として持たない ⇔ E-Qは正則.
したがって E-Cも正則. 証明おわり.
たとえば Cをジョルダン標準形にすれば一発で終わる.
P^(-1)CP =Q (上三角行列) なる正則行列Pが取れるから
P^(-1)(E - C)P = E - Q (上三角行列)
三角行列は対角成分上にすべての固有値が出現することに注意する
CとQは相似だから Qの対角成分上にCの固有値がすべてでてくる.
よって E-Qの対角成分はすべて0でないことがいえるので
E-Qは0を固有値として持たない ⇔ E-Qは正則.
したがって E-Cも正則. 証明おわり.
ヒモで直径５０センチの円を作る場合って
50x3.14の長さのヒモを用意したらいいんだっけ？
50x3.14の長さのヒモを用意したらいいんだっけ？
ペル方程式
x^2-ny^2=1（nは自然数）
について、この方程式は(x,y)=(1,0)以外の整数解を持つことを示せ。
また(x,y)=(1,0)でない任意の解の1つをv=(a,b)とおけば、ある2×2行列Aが存在してAvも方程式の解となることを示せ。
x^2-ny^2=1（nは自然数）
について、この方程式は(x,y)=(1,0)以外の整数解を持つことを示せ。
また(x,y)=(1,0)でない任意の解の1つをv=(a,b)とおけば、ある2×2行列Aが存在してAvも方程式の解となることを示せ。
Mを多様体、∇をMの接続とします。
Mの任意の点に対し、その点の近傍で、近傍内の2点を結ぶ∇-測地線がただ1つ存在するようなものはとれますか？
Mの任意の点に対し、その点の近傍で、近傍内の2点を結ぶ∇-測地線がただ1つ存在するようなものはとれますか？
1または素数である2つの整数p,qを用いてn=pqの形で表せる整数n全体からなる集合をSとする。
2次関数f(x)で、任意の整数kに対しf(k)の値がSの要素となるものは存在しないことを示せ。
2次関数f(x)で、任意の整数kに対しf(k)の値がSの要素となるものは存在しないことを示せ。
この定理の証明ですが，同じことを2度書いているように思いますが，どうでしょうか？
>>55
nは平方数でないとしておく(さもなければ誤り)
K=Q(√d)とおく.KのQ上の共役写像はちょうど2個あり
それは √d➙√d と √d ➙ -√d である.
2個の共役体はともに実数体に含まれる.
よって,ディリクレの単数定理より Kは基本単数を持つ
これはさすがに牛刀割鶏ということで半分ジョークだが
初等的にやろうとするとあまり簡単ではない.
たとえばディオファントス近似定理(鳩ノ巣論法から導かれる)
を応用することで ずっと初等的に議論できる.
具体的には 0＜|x^2-ny^2|＜c を満たす自然数x,yの組が
無限個存在するような定数cを求めることができる.
よって鳩ノ巣原理から ある自然数kが存在して
x^2-ny^2 = k を満たす自然数x,yの組が無限個存在することがいえる
再び鳩の巣原理から ある整数a,bが存在して
x≡a(mod k),y≡b(mod k)なる自然数x,yであって
x^2-ny^2 = k を満たすものが無限個存在することがいえる.
ここまでくれば 以下の恒等式を用いてフィニッシュ:
(X^2-nY^2)(Z^2-nW^2)=(XZ+nWY)^2-n(XW+YZ)^2
nは平方数でないとしておく(さもなければ誤り)
K=Q(√d)とおく.KのQ上の共役写像はちょうど2個あり
それは √d➙√d と √d ➙ -√d である.
2個の共役体はともに実数体に含まれる.
よって,ディリクレの単数定理より Kは基本単数を持つ
これはさすがに牛刀割鶏ということで半分ジョークだが
初等的にやろうとするとあまり簡単ではない.
たとえばディオファントス近似定理(鳩ノ巣論法から導かれる)
を応用することで ずっと初等的に議論できる.
具体的には 0＜|x^2-ny^2|＜c を満たす自然数x,yの組が
無限個存在するような定数cを求めることができる.
よって鳩ノ巣原理から ある自然数kが存在して
x^2-ny^2 = k を満たす自然数x,yの組が無限個存在することがいえる
再び鳩の巣原理から ある整数a,bが存在して
x≡a(mod k),y≡b(mod k)なる自然数x,yであって
x^2-ny^2 = k を満たすものが無限個存在することがいえる.
ここまでくれば 以下の恒等式を用いてフィニッシュ:
(X^2-nY^2)(Z^2-nW^2)=(XZ+nWY)^2-n(XW+YZ)^2
一部修正
2行目,3行目のdはnが正しい.
10行目の「...～を満たす自然数x,yの組が...」
の部分は "互いに素な" 自然数x,yの組に修正
これは近似定理から存在を示すのだから明らかに可能
この修正は１番最後に段階で効いてくる 以上.
2行目,3行目のdはnが正しい.
10行目の「...～を満たす自然数x,yの組が...」
の部分は "互いに素な" 自然数x,yの組に修正
これは近似定理から存在を示すのだから明らかに可能
この修正は１番最後に段階で効いてくる 以上.
>>57
任意の整数zに対して q(z)が整数になるという条件,
つまり q(Z)⊂Z を満たす複素数係数多項式q(x)は
一般に整数値多項式(Integer-valued polynomial)と呼ばれる
整数値多項式q(x)は必ず有理数係数多項式である
(例えば,適当なヴァンデルモンド行列を考える)
問題を解くには以下を示せば十分である:
各整数n≠0に対して,nの異なる素因数の個数をω(n)で表す.
(例: ω(1)=0, ω(2)=1, ω(4)=1, ω(6)=2, ω(n)=ω(-n) )
ここでは便宜上ω(0)=0 と定める.整数全体に対して関数ωが定義された.
f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
a_n = ω(f(n))により整数列(a_n)を定める.
このとき sup(a_n) = +∞ が成立する.
任意の整数zに対して q(z)が整数になるという条件,
つまり q(Z)⊂Z を満たす複素数係数多項式q(x)は
一般に整数値多項式(Integer-valued polynomial)と呼ばれる
整数値多項式q(x)は必ず有理数係数多項式である
(例えば,適当なヴァンデルモンド行列を考える)
問題を解くには以下を示せば十分である:
各整数n≠0に対して,nの異なる素因数の個数をω(n)で表す.
(例: ω(1)=0, ω(2)=1, ω(4)=1, ω(6)=2, ω(n)=ω(-n) )
ここでは便宜上ω(0)=0 と定める.整数全体に対して関数ωが定義された.
f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
a_n = ω(f(n))により整数列(a_n)を定める.
このとき sup(a_n) = +∞ が成立する.
>>60 の続き
sup(a_n) = +∞ を示す
そのために補題として以下を示す
[補題]
f(n)を定数でない整数係数多項式とする.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数pは無限個存在する
(証明)
c = f(0) とおく.
c=0 のときは f(x)はxで割り切れるので明らかである.
よって 以降は c≠0 としておく.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数p全体の集合をDとおく.
Dが有限集合であると仮定する.(背理法のための仮定)
明らかにDは空ではない(Dが空ならばf(x)は定数となる)
各q∈Dに対して cがqで割り切れる回数を e_q で表すとする.
n＞K なる任意の自然数nに対して
|f(n)| ＞ |c| となるように定数Kを取る.
Π[q∈D]d*q^(1+e_q) ＞K を満たす自然数dを取る.
このとき m = Π[q∈D]d*q^(1+e_q) とおけば
f(m) ≡ c (mod q^(1+e_q)) が成立する.
よって, |f(m)| = |c| がいえるが m＞K より |f(m)|＞|c| だから矛盾.
以上で補題の証明はおわり.
補題から sup(a_n) = +∞ はすぐでる:
sup(a_n)＜+∞と仮定する.
r=sup(a_n) とおく. 明らかに r＞0.
ω(f(m))=r を満たす自然数mが取れる.
f(m)のすべての素因数の積をAとおく.
補題より gcd(q, A)=1 であって
しかも q|f(s) なる自然数sが存在するような素数qが取れる.
t≡m (mod A) かつ t≡s (mod q)を満たす自然数tを取ると,
f(t)≡f(m)≡0 (mod A) かつ f(t)≡f(s)≡0 (mod q) だから
ω(f(t))≧r+1 となり r=sup(a_n)に反する.
本題の証明おわり
ちなみにわずかな修正で sup を limsup に取り替えることができる
sup(a_n) = +∞ を示す
そのために補題として以下を示す
[補題]
f(n)を定数でない整数係数多項式とする.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数pは無限個存在する
(証明)
c = f(0) とおく.
c=0 のときは f(x)はxで割り切れるので明らかである.
よって 以降は c≠0 としておく.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数p全体の集合をDとおく.
Dが有限集合であると仮定する.(背理法のための仮定)
明らかにDは空ではない(Dが空ならばf(x)は定数となる)
各q∈Dに対して cがqで割り切れる回数を e_q で表すとする.
n＞K なる任意の自然数nに対して
|f(n)| ＞ |c| となるように定数Kを取る.
Π[q∈D]d*q^(1+e_q) ＞K を満たす自然数dを取る.
このとき m = Π[q∈D]d*q^(1+e_q) とおけば
f(m) ≡ c (mod q^(1+e_q)) が成立する.
よって, |f(m)| = |c| がいえるが m＞K より |f(m)|＞|c| だから矛盾.
以上で補題の証明はおわり.
補題から sup(a_n) = +∞ はすぐでる:
sup(a_n)＜+∞と仮定する.
r=sup(a_n) とおく. 明らかに r＞0.
ω(f(m))=r を満たす自然数mが取れる.
f(m)のすべての素因数の積をAとおく.
補題より gcd(q, A)=1 であって
しかも q|f(s) なる自然数sが存在するような素数qが取れる.
t≡m (mod A) かつ t≡s (mod q)を満たす自然数tを取ると,
f(t)≡f(m)≡0 (mod A) かつ f(t)≡f(s)≡0 (mod q) だから
ω(f(t))≧r+1 となり r=sup(a_n)に反する.
本題の証明おわり
ちなみにわずかな修正で sup を limsup に取り替えることができる
+∞の話だから limsup も sup も意味が同じで修正もなにもいらない
標準偏差って何？
>>46
(I_n - C)x = 0 とすると Cx = x
もし x ≠ 0 なら x は C の固有ベクトルで固有値は 1 となるから x = 0
すなわち (I_n - C)x = 0 なら x = 0
したがって (I_n - C) の固有値は 0 にならないから正則
(I_n - C)x = 0 とすると Cx = x
もし x ≠ 0 なら x は C の固有ベクトルで固有値は 1 となるから x = 0
すなわち (I_n - C)x = 0 なら x = 0
したがって (I_n - C) の固有値は 0 にならないから正則
(I_n - C)x = 0 → x = 0 だけで正則だったわ
局所的にユークリッド空間という定義
>>68
p ∈ M を固定して e : T=T_p(M) → M を指数写像とする
すなわち初期値 v∈T に対して f(0) = p, f'(0) =v となる等速ゲージの測地線をとるときとf(1)を対応させる写像とする
Tに極座標T=(0,∞)×S(=S^(n-1)) ∪ {0} を入れておく
適当な仮定の元でeはpの近傍の局所座標の元に
e(t,s) = st + R(s,t) (R(s,t) = O(t^2))
とかける
十分小さいtにおいて|R(s)|<t/4,
として良い
あとは簡単な計算でs=s'の場合とs≠s'の場合に分けて(s,t)≠(s',t')の場合e(s,t)≠e(s',t')が成り立つ事を示す
p ∈ M を固定して e : T=T_p(M) → M を指数写像とする
すなわち初期値 v∈T に対して f(0) = p, f'(0) =v となる等速ゲージの測地線をとるときとf(1)を対応させる写像とする
Tに極座標T=(0,∞)×S(=S^(n-1)) ∪ {0} を入れておく
適当な仮定の元でeはpの近傍の局所座標の元に
e(t,s) = st + R(s,t) (R(s,t) = O(t^2))
とかける
十分小さいtにおいて|R(s)|<t/4,
として良い
あとは簡単な計算でs=s'の場合とs≠s'の場合に分けて(s,t)≠(s',t')の場合e(s,t)≠e(s',t')が成り立つ事を示す
>>70
ありがとうございます。
しかしこれではpと他の点でしか成り立たないようにみぇます。
欲しいのは、近傍上の任意の二点が唯一の測地線で結べるという結果です。
ありがとうございます。
しかしこれではpと他の点でしか成り立たないようにみぇます。
欲しいのは、近傍上の任意の二点が唯一の測地線で結べるという結果です。
ユークリッド幾何の公理じゃん
>>71
それが言えたら任意の２点でも言えるやろ？
各点p事に定数c(p)が連続に定まっててpのd(p)近傍内のqとpを結ぶ測地線が一つしかないが示した事
任意のpに対してその近傍Nで任意の２点q,rで言いたいならまずコンパクト近傍Nを取っておいてd(q)の最小値m>0をとる
この時pのd/2近傍から任意に２点とったら測地線一個しかないでしょ？
それが言えたら任意の２点でも言えるやろ？
各点p事に定数c(p)が連続に定まっててpのd(p)近傍内のqとpを結ぶ測地線が一つしかないが示した事
任意のpに対してその近傍Nで任意の２点q,rで言いたいならまずコンパクト近傍Nを取っておいてd(q)の最小値m>0をとる
この時pのd/2近傍から任意に２点とったら測地線一個しかないでしょ？
この問題のこの解答は正しいですか？
「xの近傍」とは，xを含む開集合のことです．
X，Yは距離空間です．
この問題のこの解答は正しいですか？
>>54だれがどうやってヒモを結ぶだ？
しかも3.14じゃぎりぎり届いてないぜ？
ヒモを結ぶだけの余裕が必要だよ、コンジュ。
しかも3.14じゃぎりぎり届いてないぜ？
ヒモを結ぶだけの余裕が必要だよ、コンジュ。
問題：以下の和を求めよ
ｎ+（ｎ-1）10+（ｎ-2）10＾2・・・・・+10＾（ｎ-1）
狽ﾌ使い方がよく判っていません
宜しくお願い致します
ｎ+（ｎ-1）10+（ｎ-2）10＾2・・・・・+10＾（ｎ-1）
狽ﾌ使い方がよく判っていません
宜しくお願い致します
文字化けしました
☓狽ﾌ使い方がよく判っていません
○シグマの使い方がよく判っていません
☓狽ﾌ使い方がよく判っていません
○シグマの使い方がよく判っていません
10倍して引く
>>79
答えの式の形が予想できるなら差分法も良い
求める和Sは逆から足すと S=Σ[k=1,n]k*10^(n-k)
よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
ここで f(k)=(9k+1)/10^(k-1) とおけば
81k/10^k = f(k)-f(k+1) が成立するので
Σ[k=1,n]81k/10^k = Σ[k=1,n]{f(k)-f(k+1)}
= f(1) - f(n+1)
= 10 - (9n+10)/10^n
∴ S = (10^(n+1)-9n-10)/81 が求める和
答えの式の形が予想できるなら差分法も良い
求める和Sは逆から足すと S=Σ[k=1,n]k*10^(n-k)
よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
ここで f(k)=(9k+1)/10^(k-1) とおけば
81k/10^k = f(k)-f(k+1) が成立するので
Σ[k=1,n]81k/10^k = Σ[k=1,n]{f(k)-f(k+1)}
= f(1) - f(n+1)
= 10 - (9n+10)/10^n
∴ S = (10^(n+1)-9n-10)/81 が求める和
「determine」をどう訳すのが適切かを教えてほしいです．
以下のように訳しましたが，「determine」の意味を辞書で調べると「決定する」という言葉が見つかります．
ですが，Int A, Ext A, Bd Aは解答者が決めるものではなくて，既に決まっているものです．
ですので，「求めよ」と訳せばいいのかなと思いましたが，辞書に「求める」という意味がないため，そのように訳していいのか分かりません．
R^2の一般の点を(x, y)と書くとき，以下の各条件によって指定されたR^2の部分集合Aに対して，Int A, Ext AおよびBd Aをdetermineせよ．
If we denote the general point of R^2 by (x, y), determine Int A, Ext A, and Bd A for the subset A of R^2 specified by each of the following conditions:
(a) 0 < x^2 + y^2 <1.
(b) y < x^2.
(c) x is rational and y > 0.
以下のように訳しましたが，「determine」の意味を辞書で調べると「決定する」という言葉が見つかります．
ですが，Int A, Ext A, Bd Aは解答者が決めるものではなくて，既に決まっているものです．
ですので，「求めよ」と訳せばいいのかなと思いましたが，辞書に「求める」という意味がないため，そのように訳していいのか分かりません．
R^2の一般の点を(x, y)と書くとき，以下の各条件によって指定されたR^2の部分集合Aに対して，Int A, Ext AおよびBd Aをdetermineせよ．
If we denote the general point of R^2 by (x, y), determine Int A, Ext A, and Bd A for the subset A of R^2 specified by each of the following conditions:
(a) 0 < x^2 + y^2 <1.
(b) y < x^2.
(c) x is rational and y > 0.
>>79
もう１つの方法は微分を用いる方法
もし無限級数の問題だったなら １番楽なのだが...
1+x+...+x^n = (x^(n+1)-1)/(x-1) の両辺をxで微分すると
左辺は 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
右辺は 商の微分公式で計算できて それが f(x,n)で表されたとする
さらに両辺をx倍すれば Σ[k=1,n]kx^k = xf(x,n) が得られる
これに x=1/10 を代入すれば Σ[k=1,n]k/10^k = f(1/10,n)/10
なので f(1/10,n)/10 を計算するだけの問題となった
もう１つの方法は微分を用いる方法
もし無限級数の問題だったなら １番楽なのだが...
1+x+...+x^n = (x^(n+1)-1)/(x-1) の両辺をxで微分すると
左辺は 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
右辺は 商の微分公式で計算できて それが f(x,n)で表されたとする
さらに両辺をx倍すれば Σ[k=1,n]kx^k = xf(x,n) が得られる
これに x=1/10 を代入すれば Σ[k=1,n]k/10^k = f(1/10,n)/10
なので f(1/10,n)/10 を計算するだけの問題となった
>>82
ご回答を有難うございます
>よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
この８１と云う数は、何処から出てくるのでしょうか？
愚問でしたら、申し訳ありません
ご回答を有難うございます
>よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
この８１と云う数は、何処から出てくるのでしょうか？
愚問でしたら、申し訳ありません
>>79
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/10^(n-k)
ここで
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
とすると
f'(x) = - Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k+1)
- x f'(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k)
また
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
= (1/x^n) Σ_{k = 0 ~ n-1} x^k
= (1/x^n)(x^n - 1)/(x - 1)
= (1 - 1/x^n)/(x - 1)
= 1/(x-1) - 1/(x^(n+1) - x^n)
だから
f'(x) = -1/(x-1)^2 + ((n+1)x^n - n x^(n-1))/(x^(n+1) - x^n)^2
となって
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n (-10f'(10))
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/10^(n-k)
ここで
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
とすると
f'(x) = - Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k+1)
- x f'(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k)
また
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
= (1/x^n) Σ_{k = 0 ~ n-1} x^k
= (1/x^n)(x^n - 1)/(x - 1)
= (1 - 1/x^n)/(x - 1)
= 1/(x-1) - 1/(x^(n+1) - x^n)
だから
f'(x) = -1/(x-1)^2 + ((n+1)x^n - n x^(n-1))/(x^(n+1) - x^n)^2
となって
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n (-10f'(10))
>>48
もう１つの方法は微分を用いる方法
Σ[k=0,n] k(k-1) nＣk x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk k(k-1)･x^{k-2} (1-θ)^{n-k}
= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk (d/dx)^2 x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) (d/dx)^2 Σ[k=0,n] nＣk x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) (d/dx)^2 (x+1-θ)^n
= (x^2) n(n-1)･(x+1-θ)^{n-2}
これに x=θ を代入すれば
n(n-1)θ^2
もう１つの方法は微分を用いる方法
Σ[k=0,n] k(k-1) nＣk x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk k(k-1)･x^{k-2} (1-θ)^{n-k}
= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk (d/dx)^2 x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) (d/dx)^2 Σ[k=0,n] nＣk x^k (1-θ)^{n-k}
= (x^2) (d/dx)^2 (x+1-θ)^n
= (x^2) n(n-1)･(x+1-θ)^{n-2}
これに x=θ を代入すれば
n(n-1)θ^2
>>83
仰るとおりですね。
その "determine" は人の意思で「決定する」という意味ではなく、
「同定する」「測って求める」という方の意味です。
・出所
むかし 阪大・理・化のＣ教授(故人)から直接聞きました。
仰るとおりですね。
その "determine" は人の意思で「決定する」という意味ではなく、
「同定する」「測って求める」という方の意味です。
・出所
むかし 阪大・理・化のＣ教授(故人)から直接聞きました。
楕円Cの内部から、Cの周に引ける垂線は最大4本ですか？
楕円が真円の場合は∞本ですが、楕円が真円に近づくにつれて引ける垂線の本数が増えるなんてことあるんでしょうか？
楕円が真円の場合は∞本ですが、楕円が真円に近づくにつれて引ける垂線の本数が増えるなんてことあるんでしょうか？
>>55
(ax 干 n･by)^2 - n･(bx ± ay)^2 = (a^2 - n･b^2)(x^2 - n･y^2),
を使う。
(ax 干 n･by)^2 - n･(bx ± ay)^2 = (a^2 - n･b^2)(x^2 - n･y^2),
を使う。
>>91
なさそう。
点(p,q) と Cの周上の点(a cosφ, b sinφ) の距離dの2乗は
dd = (a cosφ-p)^2 + (b sinφ-q)^2
= (aa-bb)/2・cos(2φ) -2ap･cosφ -2bq･sinφ +(aa+bb)/2 +pp+qq,
これの極値が垂線に対応する。
なさそう。
点(p,q) と Cの周上の点(a cosφ, b sinφ) の距離dの2乗は
dd = (a cosφ-p)^2 + (b sinφ-q)^2
= (aa-bb)/2・cos(2φ) -2ap･cosφ -2bq･sinφ +(aa+bb)/2 +pp+qq,
これの極値が垂線に対応する。
解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました
ご回答頂いた方、有難うございました
解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました
ご回答頂いた方、有難うございました
宜しくお願い致します
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
宜しくお願い致します
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
宜しくお願い致します
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
連投のようになってしまいました
申し訳ありません
申し訳ありません
0個はなしと解釈して
(1) 2^n-2
(2) (2^n-2)/2
(3) (3^n-3×2^n+3)/6
(1) 2^n-2
(2) (2^n-2)/2
(3) (3^n-3×2^n+3)/6
>>81
81 = (10-1)^2 だから2回やるんだな。
１回では
- n + 10 + 10^2 + ････ + 10^n,
２回目で
n - 10(n+1) + 10^{n+1},
81 = (10-1)^2 だから2回やるんだな。
１回では
- n + 10 + 10^2 + ････ + 10^n,
２回目で
n - 10(n+1) + 10^{n+1},
線形回帰のサンプル(x,y)は、xを観測者が指定した場合、i.i.d.にはなりませんよね？
これは易問ですか？
以下の命題の真偽を述べよ。
「連続する100万個の自然数の中には、少なくとも1つ素数が存在する。」
以下の命題の真偽を述べよ。
「連続する100万個の自然数の中には、少なくとも1つ素数が存在する。」
偽
100万の階乗から100万個は合成数が続く
念のため100万の階乗+2から、というべきか
>>106
2つの解法(1)(2)をあげておく
(1) (典型的方法, 中学数学)
mを2以上の整数とするとき
任意の整数k(2≦k≦m)に対して m!+k は kで割り切れるが
m!+kは明らかにkより大きいので素数になりえない
m＞10^6 のときを考えれば 問題の命題は偽とわかる
(2) (中国剰余定理を適用, 汎用性高)
もっと強く以下を示す:
各自然数nに対して ω(n)をnの異なる素因数の個数をとする
たとえば ω(6)=2, ω(4)=1 である.
任意に自然数k,h(h＞1)を固定する.
このとき h個の連続する自然数であって
どれもが少なくともk個の素因数を持つものが存在する
[証明]
m_1,m_2,.m_h＞1をどの2つも互いに素な整数であって
しかも 各整数i(1≦i≦h)に対して ω(m_i)≧k なるものとする.
中国剰余定理より すべての整数i(1≦i≦h)に対して x≡ -i (mod m_i)
を満たすような自然数xが無限個存在する
このとき h連続の自然数x+1,x+2,.,x+h は少なくともk個の素因数を持つ
2つの解法(1)(2)をあげておく
(1) (典型的方法, 中学数学)
mを2以上の整数とするとき
任意の整数k(2≦k≦m)に対して m!+k は kで割り切れるが
m!+kは明らかにkより大きいので素数になりえない
m＞10^6 のときを考えれば 問題の命題は偽とわかる
(2) (中国剰余定理を適用, 汎用性高)
もっと強く以下を示す:
各自然数nに対して ω(n)をnの異なる素因数の個数をとする
たとえば ω(6)=2, ω(4)=1 である.
任意に自然数k,h(h＞1)を固定する.
このとき h個の連続する自然数であって
どれもが少なくともk個の素因数を持つものが存在する
[証明]
m_1,m_2,.m_h＞1をどの2つも互いに素な整数であって
しかも 各整数i(1≦i≦h)に対して ω(m_i)≧k なるものとする.
中国剰余定理より すべての整数i(1≦i≦h)に対して x≡ -i (mod m_i)
を満たすような自然数xが無限個存在する
このとき h連続の自然数x+1,x+2,.,x+h は少なくともk個の素因数を持つ
>>106
おまけとして類題をあげておく
[類題]
k,m＞0を整数定数とし,f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
このとき, m個の自然数, f(n+1),f(n+2),..,f(n+m)のどれもが
少なくともk個の異なる素因数を持つような自然数nが存在することを示せ.
おまけとして類題をあげておく
[類題]
k,m＞0を整数定数とし,f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
このとき, m個の自然数, f(n+1),f(n+2),..,f(n+m)のどれもが
少なくともk個の異なる素因数を持つような自然数nが存在することを示せ.
補題
自然数列aiと素数列piで
f(ai)≡0 (mod pi), pi≠pj (unless i=j)
がとれる
p1～p(n-1)まで取れたとしてN=f(0)×p1～×p(n-1)とおいて
M=f(kN)を考えれば
・f(0)の素因子qについてはvq(M)≦vq(f(0))
・p1～p(n-1)のなかのqでf(0)の素因子でないものについてはvq(M)=0
故にMの素因子が全てp1～p(n-1)に限られるときはM≦|f(0)|
ここでlim[k] M=∞□
n ≡ ai - j ( j ≦ i/k < j+1 )
で完
自然数列aiと素数列piで
f(ai)≡0 (mod pi), pi≠pj (unless i=j)
がとれる
p1～p(n-1)まで取れたとしてN=f(0)×p1～×p(n-1)とおいて
M=f(kN)を考えれば
・f(0)の素因子qについてはvq(M)≦vq(f(0))
・p1～p(n-1)のなかのqでf(0)の素因子でないものについてはvq(M)=0
故にMの素因子が全てp1～p(n-1)に限られるときはM≦|f(0)|
ここでlim[k] M=∞□
n ≡ ai - j ( j ≦ i/k < j+1 )
で完
ゴールドバッハ予想は真偽が定まっていないから命題とは言えない？
>>114
いえ、ちゃんとした命題です
その誤解は高校の教科書にある「真とか偽とかが決まってる文」みたいな説明が不適切なだけ
いえ、ちゃんとした命題です
その誤解は高校の教科書にある「真とか偽とかが決まってる文」みたいな説明が不適切なだけ
「命題と定義したものが命題」だと
任意の記号列を命題にできるからなー
でもこれしかないし
任意の記号列を命題にできるからなー
でもこれしかないし
>>109
うむ。
100万の階乗をNとおくと
N + 2 ～ N + 100万 は明らかに合成数。
N + 100万 + 1 = N + (100^3 + 1) = N + (100 + 1)(100^2 - 100 + 1) も合成数。
N + 100万 + 2 = 偶数 (合成数)
うむ。
100万の階乗をNとおくと
N + 2 ～ N + 100万 は明らかに合成数。
N + 100万 + 1 = N + (100^3 + 1) = N + (100 + 1)(100^2 - 100 + 1) も合成数。
N + 100万 + 2 = 偶数 (合成数)
>>117
そうそう
N≧3として
N+1が素数ならN!からN+1個は合成数で
N+1が合成数ならN!+2からN個は合成数
いずれにしてもN!からN+2個の中にN個連続した合成数はある
まあ(N+1)!使えば済む話ではあるけど
そうそう
N≧3として
N+1が素数ならN!からN+1個は合成数で
N+1が合成数ならN!+2からN個は合成数
いずれにしてもN!からN+2個の中にN個連続した合成数はある
まあ(N+1)!使えば済む話ではあるけど
N+1 が素数ならウィルソンの定理で
N! + 1 ≡ 0 (mod N+1)
N+1 が合成数なら
N! + N+1 も合成数
N! + 1 ≡ 0 (mod N+1)
N+1 が合成数なら
N! + N+1 も合成数
筑波大のオープン講義の機械学習の授業です
https://ocw.tsukuba.ac.jp/course/systeminformation/machine_learning/p-12/
10:00あたりの数式になぜルート３とかがかかっているのかがわからないです
https://ocw.tsukuba.ac.jp/course/systeminformation/machine_learning/p-12/
10:00あたりの数式になぜルート３とかがかかっているのかがわからないです
1990年度の本試験ベクトルで
座標平面上の原点Oを中心とする半径２の円に内接する正六角形の頂点を順に
A B C D E Fとし、Aの座標は（２、０） Bは第１象限にあるとする。
このとき
（１）ベクトルAC＋２ベクトルDE－２ベクトルFAを成分で表すと
この問題の解説を、お願いします。
座標平面上の原点Oを中心とする半径２の円に内接する正六角形の頂点を順に
A B C D E Fとし、Aの座標は（２、０） Bは第１象限にあるとする。
このとき
（１）ベクトルAC＋２ベクトルDE－２ベクトルFAを成分で表すと
この問題の解説を、お願いします。
解答と答えが合わないんです！
マルチ
宜しくおねがいします
＜問題＞
ｘ+ｙ+ｚ＝ｎ、 １≦x≦y≦ｚ をみたす整数（ｘ、ｙ、ｚ）の組は何組あるか。
＜問題＞
ｘ+ｙ+ｚ＝ｎ、 １≦x≦y≦ｚ をみたす整数（ｘ、ｙ、ｚ）の組は何組あるか。
3|nの時
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2]+2)/6
otherwise
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2])/6
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2]+2)/6
otherwise
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2])/6
2変数関数の微分についての問題ですが，上の解答は合っていますか？
D_1 = ∂/∂x, D_2 = ∂/∂y, はいいとして
f '(０;ｕ) とは何？ 勾配 ∇f のこと？
ローカル記号を使うときは定義を明らかにすること。
f '(０;ｕ) とは何？ 勾配 ∇f のこと？
ローカル記号を使うときは定義を明らかにすること。
エスパーしても方向微分しかないだろう
>>130
nをk個の自然数の和に分ける方法の数を q_k(n) とする。
(制限付き分割数と云うらしい。)
x=1 のとき
y + z = n-1 だから q_2(n-1) とおり。
x>1 のとき
(x-1) + (y-1) + (z-1) = n-3, だから q_3(n-3) とおり。
∴ q_3(n) = q_2(n-1) + q_3(n-3),
q_1(n) = 1,
q_2(n) = {n-1 + δ_2(n)}/2 = {2n-1 + (-1)^n}/4,
q_3(n) = (nn-1)/12 - δ_2(n)/4 + δ_3(n)/3,
ここに
δ_k(n) = 1 (nがkの倍数)
= 0 (その他)
δ_2(n) = {1 + (-1)^n}/2,
参考書
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58
H(3,n-3) = C(n-1,2) = (n-1)(n-2)/2,
[(n-3)/2] = {n-1-δ_2(n)}/2 = {2n-3 - (-1)^n}/4,
nをk個の自然数の和に分ける方法の数を q_k(n) とする。
(制限付き分割数と云うらしい。)
x=1 のとき
y + z = n-1 だから q_2(n-1) とおり。
x>1 のとき
(x-1) + (y-1) + (z-1) = n-3, だから q_3(n-3) とおり。
∴ q_3(n) = q_2(n-1) + q_3(n-3),
q_1(n) = 1,
q_2(n) = {n-1 + δ_2(n)}/2 = {2n-1 + (-1)^n}/4,
q_3(n) = (nn-1)/12 - δ_2(n)/4 + δ_3(n)/3,
ここに
δ_k(n) = 1 (nがkの倍数)
= 0 (その他)
δ_2(n) = {1 + (-1)^n}/2,
参考書
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58
H(3,n-3) = C(n-1,2) = (n-1)(n-2)/2,
[(n-3)/2] = {n-1-δ_2(n)}/2 = {2n-3 - (-1)^n}/4,
Df(０) = ∇f が勾配で、それとｕの内積が f '(０,ｕ) かな。
しかし |ｕ| = 1 とはしてないな。
しかし |ｕ| = 1 とはしてないな。
接続付きのなめらかな多様体Mで、点p\inMとして測地線c_v(t)(0でpを取る)に沿った平行場Eを考えると、Eが測地線の初期値vと平行場の初期値uとtに対してなめらかってどう示します？
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。
なんか冷静になると面倒なだけで作業な気がしてきたので質問を取り下げます
x^2+xy+y^2=16, y^2+yz+z^2=25, z^2+zx+x^2=36のとき、x+y+zを求めよ
x^2+xy+y^2=16, y^2+yz+z^2=25, z^2+zx+x^2=36のとき、x+y+zを求めよ
>>143
そこまでやるならx+y+zの値も出して上げれば良いのに
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz+where+x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D16%2C+y%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D25%2C+z%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D36&lang=ja
そこまでやるならx+y+zの値も出して上げれば良いのに
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz+where+x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D16%2C+y%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D25%2C+z%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D36&lang=ja
どれか一辺60°外側に回して出せるんだけどな
しかしこんな汚い値になるならそもそもの頂点の座標が汚いんだろうな
しかしこんな汚い値になるならそもそもの頂点の座標が汚いんだろうな
>>141-142
a=5, b=6, c=4,
とする。
x+y+z = σ, xy+yz+zx = τ,
とおこう。問題の第3式から第2式を引けば
(x-y)σ = bb - aa,
をうる。同様の式を y-z, z-x について作り、
2乗して加えてまとめると、
(σ^2 - 3τ)σ^2 = a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2.
一方 問題の3つの式を加えて
2σ^2 - 3τ = a^2 + b^2 + c^2,
をうるから、τを消去して
{σ^2 - (aa+bb+cc)/2}^2
= (3/4) {2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 - a^4 - b^4 - c^4}
= (3/4) (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
= (3/4) (4S)^2
= 12 S^2,
となるが、これは σ>0 である解
σ = √{(aa+bb+cc + (4√3)S)/2},
をもつ。(菅原淳輔氏による)
数セミ増刊「数学の問題」第2集, 日本評論社 (1978)
●110
a=5, b=6, c=4,
とする。
x+y+z = σ, xy+yz+zx = τ,
とおこう。問題の第3式から第2式を引けば
(x-y)σ = bb - aa,
をうる。同様の式を y-z, z-x について作り、
2乗して加えてまとめると、
(σ^2 - 3τ)σ^2 = a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2.
一方 問題の3つの式を加えて
2σ^2 - 3τ = a^2 + b^2 + c^2,
をうるから、τを消去して
{σ^2 - (aa+bb+cc)/2}^2
= (3/4) {2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 - a^4 - b^4 - c^4}
= (3/4) (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
= (3/4) (4S)^2
= 12 S^2,
となるが、これは σ>0 である解
σ = √{(aa+bb+cc + (4√3)S)/2},
をもつ。(菅原淳輔氏による)
数セミ増刊「数学の問題」第2集, 日本評論社 (1978)
●110
a(b+c)=1,a+2b+3c=2,1≦ab+bc+ca≦2のもとで、|c|の取りうる値の範囲を求めよ。
1+(2b+3c)(b+c)=2(b+c), 0≦bc≦1 (∃b; real)
2x^2+(5c^2-2c)x +3c^4-2c^3+c^2=0,0≦x≦1 (∃x)
解なし
2x^2+(5c^2-2c)x +3c^4-2c^3+c^2=0,0≦x≦1 (∃x)
解なし
イヤc≦0の解あるorz
結局c=0
2020H2
最尤推定において、尤度関数L(θ)=p(X_1,θ)...p(X_n,θ)の最小化とはどういう意味でしょうか？
確率変数を定義域とする汎関数の最小化だと数学的には理解はできますが、違うような気がします。
確率変数を定義域とする汎関数の最小化だと数学的には理解はできますが、違うような気がします。
>>153
これ自分もモヤモヤするところだわ
本当は汎関数的に決めれたらいいんだろうけど統計では分布は決めてしまって母数(分布のパラメータ)だけを決めることにするんよね確か
これ自分もモヤモヤするところだわ
本当は汎関数的に決めれたらいいんだろうけど統計では分布は決めてしまって母数(分布のパラメータ)だけを決めることにするんよね確か
153です。
ネットでいくつか具体例をみてみると、固定した x_1, ..., x_n ∈ R に対して、それぞれ最大値θを選ぼうとしてるようにみえます。
もしかして、ただの記号の濫用ですかね？
ネットでいくつか具体例をみてみると、固定した x_1, ..., x_n ∈ R に対して、それぞれ最大値θを選ぼうとしてるようにみえます。
もしかして、ただの記号の濫用ですかね？
多変数関数がC^1なら微分可能であることの証明ですが，平均値の定理を適用するためになぜ，閉区間Iを含む開区間を考えているのでしょうか？
φが閉区間I上で連続，Iの内部で微分可能なのは明らかであるように思われます．
接続付きのなめらかな多様体Mで、点p\inMとして測地線c_v(t)(0でpを取る)に沿った平行場Eを考えると、Eが測地線の初期値vと平行場の初期値uとtに対してなめらかってどう示します？
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。
以下の条件を満たす多変数関数は存在しますか？
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．
fは不連続である．
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．
fは不連続である．
12^3-3=b^2
にa=3⇒b=1
以外の自然数の解はありますか。
にa=3⇒b=1
以外の自然数の解はありますか。
間違えた。訂正します
12a^3-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。
12a^3-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。
又間違えた。訂正します。
12*(a^3)-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。
12*(a^3)-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。
>>164
次の結果を適用すれば機械的にチェックできる:
[事実]
整数定数kが 0＜|k|≦10^6 の範囲にあるとき
整数x,yが y^2=x^3+k を満たすなら √|x|＜5*|k|
この既に証明されたものを認めるなら本題の解法は以下のようになる:
12a^3-3=b^2 が整数a,bに対して成立していたとする.
このとき 両辺を 144倍すれば
(12a)^3 - 432 = (12b)^2 と変形できる
x = 12a, y = 12b とおけば
y^2 = x^3 - 432 ...(☆) を得る
よって さっきの事実から √|x|＜5*432 を得る
ゆえに |a| ＜ 388800 を得る
逆に この範囲にある整数aに対して
12a^3-3 が平方数になるか全チェックすることで
a = 1 のみが適することがわかり このとき b=±3
したがって とくに求める自然数解は (a,b)=(1,3) だけである
次の結果を適用すれば機械的にチェックできる:
[事実]
整数定数kが 0＜|k|≦10^6 の範囲にあるとき
整数x,yが y^2=x^3+k を満たすなら √|x|＜5*|k|
この既に証明されたものを認めるなら本題の解法は以下のようになる:
12a^3-3=b^2 が整数a,bに対して成立していたとする.
このとき 両辺を 144倍すれば
(12a)^3 - 432 = (12b)^2 と変形できる
x = 12a, y = 12b とおけば
y^2 = x^3 - 432 ...(☆) を得る
よって さっきの事実から √|x|＜5*432 を得る
ゆえに |a| ＜ 388800 を得る
逆に この範囲にある整数aに対して
12a^3-3 が平方数になるか全チェックすることで
a = 1 のみが適することがわかり このとき b=±3
したがって とくに求める自然数解は (a,b)=(1,3) だけである
>>165
ありがとう。
ただし、その方法はまだ理解できません。解を出して欲しいんです。
軍事機密のすれに理由があります。
フェルマーの最終定理のn=3の解が見付かります。
ちなみに、ぼくはここ3-6年頑張って一旦諦めたのでここに聞きにきました。
答えてくれたのでまたこの研究にとり励もうと思います。(取り組もう)。
ありがとう。
ただし、その方法はまだ理解できません。解を出して欲しいんです。
軍事機密のすれに理由があります。
フェルマーの最終定理のn=3の解が見付かります。
ちなみに、ぼくはここ3-6年頑張って一旦諦めたのでここに聞きにきました。
答えてくれたのでまたこの研究にとり励もうと思います。(取り組もう)。
未来から来た僕型翻訳「じゃあ、解は他にあるんですね。前提が証明されていないので」。
すやすや😪。。。。。。。。。。。。。
>>168
「条件」のところのkは0ではないというのが抜けていた
もうちょっと補足すると以下の問題は"ある意味"で完全に解かれている:
a,b,cを0でない整数定数とするとき, a,b,cだけに依存する計算可能な定数dが存在して
整数x,yに対して a*y^2 = b*x^3 + c ならば 常に max{|x|,|y|}＜d が成立する
この結果は例えば bakerという数学者が証明したものの一部だけれども
残念ながら 今のところ証明されているものでは
計算可能といってもa,b,cがかなり小さい場合ですらdが異様な大きさになってしまって 世界の全てのコンピュータを利用しても計算できなくなってしまって実用性皆無
一方で代数的な解法に興味があるなら
本題の場合なら たとえば K=Q(2^(1/3)) として
必要ならばKのQ上のガロア閉包のL=Q(2^(1/3),ω)を用意して
KあるいはLの整数環上で考える
まずさきにやるべきことは
(1) 類数を決定すること
(2) 単数をすべて決定すること
(3) 整基底を決定すること
これらがスタート地点
これらを楽しんでいるうちに
もともとの不定方程式なんてどうでもよくなるかもしれない
不定方程式論に興味があるならp-adicのskolmの方法などを学ぶのがよい
「条件」のところのkは0ではないというのが抜けていた
もうちょっと補足すると以下の問題は"ある意味"で完全に解かれている:
a,b,cを0でない整数定数とするとき, a,b,cだけに依存する計算可能な定数dが存在して
整数x,yに対して a*y^2 = b*x^3 + c ならば 常に max{|x|,|y|}＜d が成立する
この結果は例えば bakerという数学者が証明したものの一部だけれども
残念ながら 今のところ証明されているものでは
計算可能といってもa,b,cがかなり小さい場合ですらdが異様な大きさになってしまって 世界の全てのコンピュータを利用しても計算できなくなってしまって実用性皆無
一方で代数的な解法に興味があるなら
本題の場合なら たとえば K=Q(2^(1/3)) として
必要ならばKのQ上のガロア閉包のL=Q(2^(1/3),ω)を用意して
KあるいはLの整数環上で考える
まずさきにやるべきことは
(1) 類数を決定すること
(2) 単数をすべて決定すること
(3) 整基底を決定すること
これらがスタート地点
これらを楽しんでいるうちに
もともとの不定方程式なんてどうでもよくなるかもしれない
不定方程式論に興味があるならp-adicのskolmの方法などを学ぶのがよい
>>173
ガロアの顔が嘘つきにみえてる昔から。ピエロに似てるがそれはアメリカらしいものを日本が馬鹿にする理由であって。単にガロアの顔は嘘つきにみえる。因みにあのウィッテンやファインマンも怪しい怪しくなってきました。。
因みにその嘘つきにみえてる人達の本はとてもとても欲しい(借りるか買いたい)し読みたいです。
ガロアの顔が嘘つきにみえてる昔から。ピエロに似てるがそれはアメリカらしいものを日本が馬鹿にする理由であって。単にガロアの顔は嘘つきにみえる。因みにあのウィッテンやファインマンも怪しい怪しくなってきました。。
因みにその嘘つきにみえてる人達の本はとてもとても欲しい(借りるか買いたい)し読みたいです。
>>148
4 = (a+2b+3c)^2 = 4(ab+bc+ca) + (a+c)^2 + 2b^2 + 2(b+2c)^2 ≧ 4,
∴ a+2b+3c=2, ab+bc+ca=1, a+c=0, b=0, b+2c=0,
解なし
4 = (a+2b+3c)^2 = 4(ab+bc+ca) + (a+c)^2 + 2b^2 + 2(b+2c)^2 ≧ 4,
∴ a+2b+3c=2, ab+bc+ca=1, a+c=0, b=0, b+2c=0,
解なし
>>165
ありがとう
(432/b+b)/2=a^3
にできますね。理由は今日はつかれたので答えられません。
答えられませんというか唯単にお薬飲んで寝る時間なので。
これにb=?⇒a=!の解は組み合わせは幾つかありますか？?。
ありがとう
(432/b+b)/2=a^3
にできますね。理由は今日はつかれたので答えられません。
答えられませんというか唯単にお薬飲んで寝る時間なので。
これにb=?⇒a=!の解は組み合わせは幾つかありますか？?。
これもだめになりますね。二次方程式なので。寝ます。
hall予想になります。
ただ、置き換えの技はこれから身に付けていこうとおもいまし。
432/a=b
a=c
とか？...?。
ただ、置き換えの技はこれから身に付けていこうとおもいまし。
432/a=b
a=c
とか？...?。
各時刻n=1,2,...において確率pで起こる事象Aがある。各時刻でAが起こるかどうかは他の時刻に依存せず独立にpである。
ある自然数kに対してnを十分大きく取れば、時刻nまでにAが1回以上起こる確率P[n]について
1-P[n]<10^(-k)
とできることを示せ。
ある自然数kに対してnを十分大きく取れば、時刻nまでにAが1回以上起こる確率P[n]について
1-P[n]<10^(-k)
とできることを示せ。
1-P[n] = (1-p)^n
>>160
教科書の例
x^2 + y^2≠0 → z = (x^2 - y^2)^2/(x^2 + y^2)^2
x = y = 0 → z = 1
教科書の例
x^2 + y^2≠0 → z = (x^2 - y^2)^2/(x^2 + y^2)^2
x = y = 0 → z = 1
>>181
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．
⇒
fは微分可能であるから連続でもある．
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．
⇒
fは微分可能であるから連続でもある．
図の赤線部で不等号があるのはなぜですか？
シュワルツの不等式は、一般に複素数では成り立たないと思うのですが。
さすがに物理の問題をここに記載すると叩かれるだろうな。
複素ベクトルの内積の定義を知らないふりか
というか、なぜシュワルツの不等式？見た感じ(積分の絶対値)≦(絶対値の積分)を指してるように思えるけど
ただ-|f|≦f≦|f|に積分の単調性を適用しただけのものだし、意味としてはシュワルツというより三角不等式じゃないの？
ただ-|f|≦f≦|f|に積分の単調性を適用しただけのものだし、意味としてはシュワルツというより三角不等式じゃないの？
dz も |dz| (線素での積分) になってる
>>195
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．（すなわちfはC^1級である．）
⇒
fは微分可能である.
よって，fは連続でもある．
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．（すなわちfはC^1級である．）
⇒
fは微分可能である.
よって，fは連続でもある．
>>194
それでぇあ結局命題って何ですか？真偽が決まっているものでも無く真偽が決められるものでも無いのでは命題という概念自体がおかしいのでは
それでぇあ結局命題って何ですか？真偽が決まっているものでも無く真偽が決められるものでも無いのでは命題という概念自体がおかしいのでは
>>164
>>165
有理数の問題に拡張したら却って簡単になったようだ
ということで 簡単な解法を紹介しておきます
12a^3-3=b^2 を満たす有理数a,bの組を任意に取る(例えば,a=1,b=3が存在する)
このとき, a=0 でないことに注意する(a=0とすると, b^2 = -3 となり矛盾する)
ここで r = (3+b)/(6a), s = (3-b)/(6a) とおくと
r^3+s^3 =(b^2+3)/(12*a^3) = (12a^3)/(12a^3) = 1
つまり r^3+s^3=1 であることがいえる.
FLTのn=3のときの結果から rs=0 であることが導かれる
これは b=±3 であることを意味する
つまり 有理数a,bに対して 12a^3-3=b^2 が成立しているなら
必ず b^2=9 であることが示された
したがって求める有理数解は(a,b)=(1,±3)に限ることが示された.
以上の方法は 式変形によって FLTのn=3の場合に帰着するという方法です
もっともFLTのn=3の結果を用いているので自己完結した解法ではありません
まあともかくもこの問題に限って言うと有名問題に帰着できるということになりました
一般的にはこのような巧みな式変形を用いたところで別の問題がつくられるだけで
議論は進行しないのですが今回のケースはFLTに"偶然"帰着できたということになりそうです
以上です
>>165
有理数の問題に拡張したら却って簡単になったようだ
ということで 簡単な解法を紹介しておきます
12a^3-3=b^2 を満たす有理数a,bの組を任意に取る(例えば,a=1,b=3が存在する)
このとき, a=0 でないことに注意する(a=0とすると, b^2 = -3 となり矛盾する)
ここで r = (3+b)/(6a), s = (3-b)/(6a) とおくと
r^3+s^3 =(b^2+3)/(12*a^3) = (12a^3)/(12a^3) = 1
つまり r^3+s^3=1 であることがいえる.
FLTのn=3のときの結果から rs=0 であることが導かれる
これは b=±3 であることを意味する
つまり 有理数a,bに対して 12a^3-3=b^2 が成立しているなら
必ず b^2=9 であることが示された
したがって求める有理数解は(a,b)=(1,±3)に限ることが示された.
以上の方法は 式変形によって FLTのn=3の場合に帰着するという方法です
もっともFLTのn=3の結果を用いているので自己完結した解法ではありません
まあともかくもこの問題に限って言うと有名問題に帰着できるということになりました
一般的にはこのような巧みな式変形を用いたところで別の問題がつくられるだけで
議論は進行しないのですが今回のケースはFLTに"偶然"帰着できたということになりそうです
以上です
A,p,qは実数の定数とする。実数xが動くときAcos(x+p)+qの最大値を求めよ。
xが動ける範囲が不明だが、2π以上に亘って動けるなら
|A| + q.
|A| + q.
2020年5月号の数学セミナーのp.30に以下の記述がありました。
『以下にベクトル空間の直和による分解の例を二つ挙げます。
(e) n次正方行列全体のなす空間は対称行列 (tA = A)全体と
交代行列全体 (tA = -A)全体の直和。
(f) R上の実関数のなす空間は偶関数 (f(-x) = f(x))全体と
奇関数 (f(-x) = -f(x)) 全体の直和。』
これは正しいでしょうか？
行列全体のなす空間、実関数のなす空間ではない気がするのですが…。
『以下にベクトル空間の直和による分解の例を二つ挙げます。
(e) n次正方行列全体のなす空間は対称行列 (tA = A)全体と
交代行列全体 (tA = -A)全体の直和。
(f) R上の実関数のなす空間は偶関数 (f(-x) = f(x))全体と
奇関数 (f(-x) = -f(x)) 全体の直和。』
これは正しいでしょうか？
行列全体のなす空間、実関数のなす空間ではない気がするのですが…。
お願いします
自己解決しました
>>207
勘違いしてました。
A = (A + tA)/2 + (A - tA)/2
f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2
なので正しいですね…。
勘違いしてました。
A = (A + tA)/2 + (A - tA)/2
f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2
なので正しいですね…。
>>181
z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2 は y/x =tanθ の関数。
f_x = 8xyy(xx-yy)/(xx+yy)^3 = (2/r)sin(4θ)sinθ,
f_y =-8xxy(xx-yy)/(xx+yy)^3 =-(2/r)sin(4θ)cosθ,
(0,0) に近づく方向によっては発散する。
(0,0) で不連続
z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2 は x軸、y軸 上では z=1
(0,0) に近づく方向により別の値に近づく。
(0,0) で不連続。
しかし妙な例だ…
z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2 は y/x =tanθ の関数。
f_x = 8xyy(xx-yy)/(xx+yy)^3 = (2/r)sin(4θ)sinθ,
f_y =-8xxy(xx-yy)/(xx+yy)^3 =-(2/r)sin(4θ)cosθ,
(0,0) に近づく方向によっては発散する。
(0,0) で不連続
z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2 は x軸、y軸 上では z=1
(0,0) に近づく方向により別の値に近づく。
(0,0) で不連続。
しかし妙な例だ…
A,B,a,b,α,βは実数の定数とする。
実数xが-∞<x<∞を変化するとき、
y=Acos(ax+α)+Bsin(bx+β)
の最大値をA,B,a,b,α,βのうち必要なもので表せ。
実数xが-∞<x<∞を変化するとき、
y=Acos(ax+α)+Bsin(bx+β)
の最大値をA,B,a,b,α,βのうち必要なもので表せ。
どう考えてもa,b,α,βはいらん
そもそもa/bが有理数でないと最大値持たないケースも出るし
愚問
愚問
>>213
最大値がある関数（Acos(～)）と最大値がある関数（Bsin(～)）を足したら、最大値が存在しなくなることがある、ということでしょうか？
直観に反する結果でよく分かりません…
最大値がある関数（Acos(～)）と最大値がある関数（Bsin(～)）を足したら、最大値が存在しなくなることがある、ということでしょうか？
直観に反する結果でよく分かりません…
